Tabla de Contenidos
Abaterea standard a populației este unul dintre cei mai importanți parametri ai populației pentru măsurarea variabilității sau dispersiei datelor în cadrul populației. Ca orice parametru din statistică, acesta este reprezentat printr-o literă grecească, în acest caz, litera σ (sigma). Acest lucru îi permite să fie ușor diferențiat de abaterea standard a eșantionului(e) care, deși similară, nu este aceeași și nici nu este calculată cu aceleași formule.
În continuare, vom vedea, prin intermediul unui exemplu, diferite modalități de a calcula abaterea standard a unei populații. De remarcat că, pentru a calcula abaterea standard a populației , este esențial să cunoaștem toate datele populației. Acest lucru se întâmplă rar în contexte reale, dar este totuși important să înțelegem cum este calculat, deoarece ajută la înțelegerea unora dintre caracteristicile matematice ale acestui parametru important.
Formule pentru abaterea standard a populației
În funcție de datele disponibile, abaterea standard a populației poate fi determinată folosind trei formule diferite.
Definiția matematică a abaterii standard a populației
Abaterea standard este definită ca rădăcina pătrată a varianței, σ 2 . Adică, dacă cunoaștem varianța populației, putem calcula abaterea standard folosind următoarea ecuație:
Acest caz apare rar, dar este bine de reținut.
Alte formule de abatere standard a populației
Dacă în loc să cunoaștem varianța unei populații, cunoaștem toate cele N elemente de date care o cuprind, atunci putem calcula abaterea standard a populației ca rădăcină pătrată a mediei abaterilor pătrate de la medie. Adică:
În această ecuație, x i reprezintă valoarea fiecărui element de date din populație, N reprezintă numărul de elemente de date din populație (sau dimensiunea populației, care este aceeași) și μ este media populației. Rețineți că media populației este reprezentată și de o literă greacă, deoarece este un alt parametru al populației, iar dimensiunea populației este reprezentată de N (litera majusculă) pentru a o deosebi de n care este de obicei asociat cu dimensiunea unui eșantion .
Media populației, μ, este dată de:
Ecuația 2 poate fi extinsă, rearanjată și simplificată pentru a obține:
În cazul în care nu există date individuale ale populației, ci date grupate într-un tabel de frecvență, formulele anterioare sunt ușor modificate pentru a da:
În ecuațiile de mai sus, cantitatea care se află în rădăcină nu este altceva decât varianța populației. Ecuația 4 are avantajul de a fi stabilită exclusiv în ceea ce privește datele populației și nu vreun parametru de populație ca în cazul ecuațiilor 2 și 5.
Exemplu de calcul a abaterii standard a populației
Să presupunem că dorim să determinăm variabilitatea greutății unui anumit model de mașină din care se știe că există doar 20 de exemple în întreaga lume. Datele greutăților în kilograme ale acestor 20 de mașini sunt prezentate în următorul tabel:
| 410 | 408 | 408 | 405 | 391 | 390 | 402 | 397 | 397 | 395 |
| 390 | 404 | 397 | 394 | 399 | 397 | 405 | 408 | 410 | 400 |
Din moment ce știm că există doar 20 de mașini ale acestui model, acestea reprezintă întreaga populație, așa că avem toate datele necesare pentru a determina abaterea standard a populației. Să ne uităm la trei moduri diferite de a determina această abatere standard.
Metoda 1: Calcul bazat pe definiția varianței
Această metodă se bazează pe utilizarea ecuației 2 prezentate mai sus. După cum putem vedea, ecuația necesită utilizarea mediei populației și o altă serie de calcule care sunt detaliate mai jos:
Pasul 1: Determinați media populației
Media populației sau μ se calculează cu ajutorul ecuației 3, adunând toate datele și împărțind la numărul total de date, care este, în acest caz, 20.
Pasul 2: Calculați abaterile de la medie
Acest pas implică calcularea scăderilor (x i – μ). De exemplu:
x 1 – μ = 410 – 400,35kg = 9,65kg
x 2 – μ = 408 – 400,35kg = 7,65kg
x 3 – μ = 408 – 400,35kg = 7,65kg
…
X 20 – μ = 400kg – 400,35kg = – 0,35
Rezultatele sunt prezentate în următorul tabel:
| x i | x i – μ |
| 410 | 9,65 |
| 408 | 7,65 |
| 408 | 7,65 |
| 405 | 4,65 |
| 391 | -9,35 |
| 390 | -10.35 |
| 402 | 1,65 |
| 397 | -3,35 |
| 397 | -3,35 |
| 395 | -5,35 |
| 390 | -10.35 |
| 404 | 3,65 |
| 397 | -3,35 |
| 394 | -6,35 |
| 399 | -1,35 |
| 397 | -3,35 |
| 405 | 4,65 |
| 408 | 7,65 |
| 410 | 9,65 |
| 400 | -0,35 |
Pasul 3: Pătrați toate abaterile de la medie
(x 1 – μ) 2 = (9,65) 2 = 93,1225 kg 2
(x 2 – μ) 2 = (7,65) 2 = 58,5225 kg 2
(x 3 – μ) 2 = (7,65) 2 = 58,5225 kg 2
…
(x 20 – μ) 2 = (– 0,35) 2 = 0,1225 kg 2
Rezultatele sunt prezentate în următorul tabel:
| x i / kg | (x i – μ)/ kg | (x i – μ ) 2 / kg 2 |
| 410 | 9,65 | 93,1225 |
| 408 | 7,65 | 58,5225 |
| 408 | 7,65 | 58,5225 |
| 405 | 4,65 | 21,6225 |
| 391 | -9,35 | 87,4225 |
| 390 | -10.35 | 107,1225 |
| 402 | 1,65 | 2,7225 |
| 397 | -3,35 | 11.2225 |
| 397 | -3,35 | 11.2225 |
| 395 | -5,35 | 28,6225 |
| 390 | -10.35 | 107,1225 |
| 404 | 3,65 | 13,3225 |
| 397 | -3,35 | 11.2225 |
| 394 | -6,35 | 40,3225 |
| 399 | -1,35 | 1,8225 |
| 397 | -3,35 | 11.2225 |
| 405 | 4,65 | 21,6225 |
| 408 | 7,65 | 58,5225 |
| 410 | 9,65 | 93,1225 |
| 400 | -0,35 | 0,1225 |
Pasul 4: Adaugă toate abaterile pătrate
Pasul 5: Aplicați formula ecuației 2
Acum că avem această sumă, tot ce rămâne este să înlocuim această valoare, precum și numărul de date, care este 20, în ecuația 2:
Astfel, obținem că abaterea standard a greutății populației de 20 de mașini este de cca. 6,5 kg.
Metoda 2: Folosind ecuația rearanjată
Acum vom efectua același calcul, dar folosind ecuația 4, care este echivalentă cu ecuația pe care tocmai am folosit-o, dar este mai practică, mai ales dacă lucrați cu un număr mai mare de date. Principalul beneficiu este că nu este necesar să se calculeze un parametru suplimentar (media populației) pentru a putea calcula abaterile, dar totul este calculat pe baza datelor individuale originale. De asemenea, în niciun moment nu trebuie să lucrați cu numere negative, care sunt o sursă majoră de eroare în rândul elevilor.
Pasul 1: Calculați pătratul fiecărei date individuale
Adică, se efectuează următoarele calcule:
(x 1 ) 2 = (410) 2 = 168.100 kg 2
(x 2 ) 2 = (408) 2 = 166,464 kg 2
(x 3 ) 2 = (408) 2 = 166,464 kg 2
…
(x 20 ) 2 = (400) 2 = 160.000 kg 2
Rezultatele sunt prezentate în următorul tabel:
| x i | x i 2 |
| 410 | 168.100 |
| 408 | 166.464 |
| 408 | 166.464 |
| 405 | 164.025 |
| 391 | 152.881 |
| 390 | 152.100 |
| 402 | 161.604 |
| 397 | 157.609 |
| 397 | 157.609 |
| 395 | 156.025 |
| 390 | 152.100 |
| 404 | 163.216 |
| 397 | 157.609 |
| 394 | 155.236 |
| 399 | 159.201 |
| 397 | 157.609 |
| 405 | 164.025 |
| 408 | 166.464 |
| 410 | 168.100 |
| 400 | 160.000 |
Pasul 2: Adaugă toate datele individuale
Pasul 3: Adăugați toate pătratele
Pasul 4: Aplicați formula ecuației 4
Ultimul pas este introducerea acestor două valori și a numărului de date din ecuația 4 pentru a obține abaterea standard a populației:
Metoda 3: Folosirea foilor de calcul
Foile de calcul precum Microsoft Excel, Apple Numbers sau Google Sheets includ printre funcțiile lor de bază calculul direct al abaterii standard (atât eșantionul, cât și populația). Aceste funcții iau ca argument un set de date și efectuează toate calculele afișate în metoda anterioară pentru a returna direct abaterea standard în celula în care este introdusă formula.
Procedura este următoarea:
Pasul 1: Introduceți datele în foaia de calcul
Putem introduce datele sub forma unei coloane, rând sau matrice oriunde în foaia de calcul. Următoarea captură de ecran arată cum arată datele pentru această problemă în Excel 2016.
Pasul 2: Folosiți formula pentru a calcula abaterea standard
Odată adăugate datele, folosim funcția de abatere standard, plasând celulele unde se găsesc datele ca argumente.
Pentru a apela o funcție dintr-o foaie de calcul, începem de obicei prin a tasta semnul egal (=) urmat de numele funcției pe care dorim să o folosim. Numele se schimbă ușor de la o aplicație la alta și în unele cazuri se schimbă și în funcție de limba în care lucrați.
În cazul Excel (versiunea în limba spaniolă), funcția de calcul a abaterii standard a populației se numește STDEV.P, în timp ce în Google Sheets este STDEVP (fără punct). Apoi trebuie să introduceți argumentul (argumentele) funcției între paranteze. În exemplul nostru, trecem ca argument intervalul de celule în care se află datele (de la celula A3 la J4).
Apăsând ENTER, programul rulează funcția și calculează abaterea standard a populației, prezentând rezultatul în celula respectivă, după cum se arată mai jos:
După cum putem vedea, oricare dintre cele trei metode practicate aici produce același rezultat. Sunt doar moduri diferite de a face același lucru.
alte metode
Pe lângă cele trei metode menționate mai sus, calculatoarele științifice și financiare au adesea și o funcție de a determina abaterea standard a unui set de date, fie el eșantion sau populație. Modul în care sunt introduse datele și rezultatele obținute variază de la producător la producător și chiar de la un model de calculator la altul, așa că nu este practic să arăți pașii specifici pentru a face acest lucru aici.
În schimb, vom discuta cei mai importanți pași generali, fără a ne adânci în ei. Oricine dorește să utilizeze această funcție pe calculatorul științific trebuie să consulte manualul de utilizare care a venit împreună cu calculatorul sau să îl caute online pentru a determina combinația de taste specifică în fiecare caz.
Pasul 1: Ștergeți memoria
Pe multe calculatoare, datele stocate anterior nu sunt vizibile. Dacă introducem date despre altele care au fost deja stocate fără să ne dăm seama, calculatorul va da un rezultat greșit. Pentru a vă asigura că acest lucru nu se întâmplă, este recomandabil să ștergeți toată memoria calculatorului (sau cel puțin modul de analiză statistică) înainte de a începe să introduceți date noi.
Pasul 2: Accesați modul statistici
Funcțiile pentru calcularea abaterii standard fac parte din modul „Statistică”, „Statistică” sau pur și simplu „S” la majoritatea calculatoarelor, așa că trebuie să începem prin a intra în acest mod de operare.
Pasul 3: Introduceți datele
Aceasta variază de la un calculator la altul. În unele cazuri datele pot fi adăugate sub formă de tabel, în timp ce în altele datele sunt introduse una câte una după apăsarea tastei DT (sau DAT). Este important să verificați numărul de date introduse la sfârșitul acestui pas pentru a vă asigura că nu lipsesc niciuna.
Pasul 4: Calculați abaterea standard a populației
Odată introduse datele, nu mai rămâne decât să ceri calculatorului rezultatul pe care îl căutăm. Pe multe calculatoare, atât abaterile standard ale eșantionului, cât și ale populației sunt reprezentate prin simbolul σ (în ciuda faptului că aceasta este o eroare în cazul abaterii eșantionului). Cu toate acestea, putem distinge abaterea eșantionului de abaterea populației deoarece abaterea eșantionului este însoțită de n-1 (adică apare ca σ n-1 ), în timp ce abaterea populației apare ca s n . Aceasta se referă la faptul că în calculul abaterii standard ale eșantionului aceasta este împărțită la n-1 în loc de n ca în populație.
Referințe
Devore, JL (2019). Probabilitate și statistică ( ed . I). Cengage Learning.
MateMobile. (2021, 1 ianuarie). Varianța și abaterea standard pentru datele grupate | materialul mobil . https://matemovil.com/varianza-y-desviacion-estandar-para-datos-agrupados-por-intervalos/
Asistență tehnică Google. (nd). STDEV (STDEV) – Ajutor pentru editori Google Docs . Google – Ajutor pentru editori Google Docs. https://support.google.com/docs/answer/3094054?hl=ro-419
Superprof. (nd). Abaterea standard . Dicţionar de matematică | Superprof. https://www.superprof.es/diccionario/matematicas/estadistica/desviacion-estandar.html
TOMi.digital. (nd). Abaterea standard pentru date grupate . https://tomi.digital/en/52202/standard-deviation-for-grouped-data?utm_source=google&utm_medium=seo
