Tabla de Contenidos
Un set de numere este de nenumărat atunci când nu este posibil să se atribuie un număr natural unic tuturor elementelor sale . Cu alte cuvinte, mulțimile nenumărabile sunt cele care nu au o corespondență unu-la-unu cu numerele naturale.
De obicei, folosim intuitiv numere naturale pentru a număra și facem acest lucru atribuind un număr natural fiecărui element al grupului pe care vrem să-l numărăm, secvenţial. De exemplu, atunci când numărăm numărul de degete pe care le avem pe o mână, atribuim fiecăruia dintre degete un număr natural unic, începând cu 1 și terminând cu 5. Apoi știm că există 5 degete pe mâini, deoarece aceasta este cea mai mare valoare. atribuim degetelor. Cu alte cuvinte, numărăm degetele.
Această idee nu poate fi aplicată unor seturi de numere. În unele cazuri, mulțimile sunt atât de mari încât chiar și utilizarea numerelor naturale infinite nu ar fi suficientă pentru a numerota toate elementele mulțimii. Deoarece mulțimea numerelor naturale este infinită, ideea că există mulțimi nenumărate sugerează ideea că există unele infinitate care sunt mai mari decât altele și numai acele mulțimi care au o infinitate de aceeași „mărime” ca și mulțimea numerelor naturale. sunt numărabile.numerele naturale. Numărul de elemente dintr-o mulțime se numește cardinal, deci mulțimile nenumărate sunt cele al căror cardinal este mai mare decât cel al numerelor naturale.
Unele proprietăți ale mulțimilor numărabile și nenumărabile
Pentru a înțelege de ce unele mulțimi sunt numărabile și altele nu, este util să cunoaștem unele proprietăți ale mulțimilor:
- Dacă A este o submulțime a lui B și A este nenumărabil, atunci B este și nenumărabil. Cu alte cuvinte, orice mulțime care conține o mulțime nenumărabilă trebuie să fie ea însăși nenumărabilă.
- Dacă A este nenumărabil și B este orice set (numărabil sau nu), atunci uniunea AUB este, de asemenea, nenumărabilă.
- Dacă A este nenumărabil și B este orice mulțime, atunci produsul cartezian A x B este de asemenea nenumărabil.
- Dacă A este infinit (chiar și infinit numărabil), atunci setul de puteri a lui A este nenumărabil.
Exemple ale celor mai comune seturi nenumărate
Mulțimea numerelor reale (R)
Mulțimea numerelor reale este primul exemplu de mulțime nenumărabilă. Dar de unde știm că sunt de nenumărat dacă au elemente infinite și avem și numere naturale infinite de atribuit? Facem acest lucru datorită argumentului diagonal al lui Cantor.
Diagonala lui Cantor
Argumentul diagonal al lui Cantor ne permite să arătăm că submulțimea numerelor reale care se află între două limite bine definite, de exemplu, între 0 și 1, este o mulțime nenumărabilă. În consecință, prin proprietățile deja menționate ale mulțimilor nenumărabile, mulțimea completă a tuturor numerelor reale trebuie să fie de asemenea nenumărabilă.
Să presupunem că creăm o listă infinită de numere reale între 0 și 1. Este complet irelevant modul în care este construită această listă. Singurul lucru care contează este că toate numerele sunt unice. Acum, vom atribui fiecăruia dintre aceste numere un număr natural unic, începând cu 1 și lucrând secvenţial. Un exemplu al acestei liste este prezentat în următorul tabel:
| Nu. | R. | ||||||||
| 1 | 0, | 2 | 2 | 4 | 5 | 8 | 7 | 9 | 6… |
| 2 | 0, | 5 | 2 | 1 | 3 | 2 | 4 | 0 | 2… |
| 3 | 0, | 6 | 4 | 0 | 5 | 7 | 8 | 3 | 0… |
| 4 | 0, | 1 | 7 | 9 | 8 | 2 | 2 | 4 | 3… |
| 5 | 0, | 8 | 5 | 5 | 4 | 7 | 3 | 2 | 2… |
| 6 | 0, | 0 | 4 | 8 | 3 | 8 | 1 | 5 | 3… |
| 7 | 0, | 7 | 8 | 4 | 2 | 0 | 9 | 1 | 0… |
| 8 | 0, | 3 | 4 | 6 | 7 | 9 | 1 | 3 | 5… |
| … | … |
În acest moment, atribuim un număr natural unic tuturor numerelor din lista noastră. Deoarece această listă este infinită și fiecare număr real corespunde unui număr natural, atunci „cheltuim” toate numerele naturale din acest tabel. Ce a făcut Canto a fost să arate că există cel puțin un număr real suplimentar care nu se află pe această listă și, prin urmare, nu poate fi numărat. Acest număr se construiește luând toate elementele diagonalei care traversează tabelul, apoi adunând 1. Adică noul număr va începe cu prima cifră a primului număr mărită cu o unitate, apoi va avea a doua cifră de al doilea număr a crescut cu o unitate, apoi a treia cifră a celui de-al treilea număr și așa mai departe.
În următorul tabel, elementele de pe diagonală sunt evidențiate cu caractere aldine și numărul rezultat în urma operației se adaugă la ultimul rând:
| Nu. | R. | ||||||||
| 1 | 0, | 2 | 2 | 4 | 5 | 8 | 7 | 9 | 6… |
| 2 | 0, | 5 | 2 | 1 | 3 | 2 | 4 | 0 | 2… |
| 3 | 0, | 6 | 4 | 0 | 5 | 7 | 8 | 3 | 0… |
| 4 | 0, | 1 | 7 | 9 | 8 | 2 | 2 | 4 | 3… |
| 5 | 0, | 8 | 5 | 5 | 4 | 7 | 3 | 2 | 2… |
| 6 | 0, | 0 | 4 | 8 | 3 | 8 | 1 | 5 | 3… |
| 7 | 0, | 7 | 8 | 4 | 2 | 0 | 9 | 1 | 0… |
| 8 | 0, | 3 | 4 | 6 | 7 | 9 | 1 | 3 | 5 … |
| … | … | 2+1 | 2+1 | 0+1 | 8+1 | 7+1 | 1+1 | 1+1 | 5+1 |
| 0, | 3 | 3 | 1 | 9 | 8 | 2 | 2 | 6… |
Numărul rezultat este 0,33198226…
După cum putem vedea, deoarece prima cifră a noului număr (care este 3) este diferită de prima cifră a primului număr din listă (care este 2), atunci va fi un număr diferit de primul, chiar dacă toate celelalte numere numere sunt exact aceleași. Deoarece a doua cifră (3) este diferită de a doua cifră a celui de-al doilea număr (2), atunci va fi diferită și de al doilea număr.
Același argument poate fi continuat la nesfârșit prin avansarea de-a lungul diagonalei, asigurându-se că numărul rezultat va fi diferit cu cel puțin o cifră de toate numerele infinite din tabel.
Cu toate acestea, din moment ce deja „cheltuim” sau i-am atribuit toate numerele naturale înainte de a crea acest nou număr, atunci nu mai avem niciun număr natural unic de atribuit, așa că concluzionăm că mulțimea numerelor reale între 0 și 1, și, prin urmare, extensia tuturor numerelor reale, este o mulțime nenumărabilă.
Mulțimea numerelor transcendentale
Numerele transcendentale sunt cele care aparțin mulțimii numerelor reale, dar nu sunt numere algebrice. Aceasta înseamnă că nu sunt rădăcini ale unei ecuații polinomiale de forma:
unde toți coeficienții sunt numere întregi. Să numim A mulțimea tuturor numerelor reale algebrice și T restul numerelor reale, adică a celor transcendentale. Este ușor de observat că mulțimea totală de numere reale, R , este uniunea mulțimilor A și T , adică:
Se poate arăta că mulțimea numerelor algebrice este numărabilă. De asemenea, am demonstrat deja că numerele reale sunt de nenumărat. Deoarece R este nenumărabil, nu poate fi format prin unirea a două mulțimi numărabile. Știind că A este numărabil, concluzionăm că T este nenumărabil.
Setul de secvențe de numere binare
O succesiune de numere binare este pur și simplu un șir de 0 și 1 de orice lungime. Dacă unim toate secvențele posibile de numere binare, obținem setul de secvențe de numere binare. Acesta nu este altceva decât un subset al numerelor reale în care singurele cifre sunt 0 și 1.
Este foarte ușor să arătăm că acest set de numere este nenumărabil folosind același argument Cantor cu care arătăm că R este nenumărabil. Singura avertizare este că, în loc să adăugăm 1 numerelor de pe diagonală, pur și simplu inversăm valoarea acestora, înlocuind 0 cu 1 și invers.
La fel ca și înainte, secvența binară rezultată va fi diferită de orice set infinit de secvențe pe care l-am inclus în lista originală, deci este un set nenumărabil.
Alte succesiuni de numere cu baze diferite
Argumentul din secvențe de numere binare și din numere reale poate fi extins la orice șir de numere de orice bază. În acest sens, mulțimea tuturor secvențelor de numere hexazecimale va fi de nenumărat; la fel va fi și mulțimea de secvențe de numere ternare, cuaternare etc.
Referințe
Exemple comune de mulțimi nenumărate . (2020, 16 martie). PeoplePerProject. https://en.peopleperproject.com/posts/9312-common-examples-of-uncountable-sets
Ivorra Castillo, C. (sf). TEORIA MULTILOR . UV.es. https://www.uv.es/ivorra/Libros/TC.pdf
Libretexte. (2021, 7 iulie). 1.4: Seturi numărabile și nenumărabile . Matematică LibreTexts. https://math.libretexts.org/Bookshelves/Combinatorics_and_Discrete_Mathematics/An_Introduction_to_Number_Theory_(Veerman)/01%3A_A_Quick_Tour_of_Number_Theory/1.04%3A_Countable_and_Uncountable_Sets
Schwartz, R. (2007, 12 noiembrie). Seturi numărabile și nenumărabile . Brown Math. https://www.math.brown.edu/reschwar/MFS/handout8.pdf
Seturi nenumărate | Exemple de seturi nenumărate . (21 septembrie 2020). Cuemath. https://www.cuemath.com/learn/Mathematics/uncountable-sets/
