Formule pentru calcularea suprafețelor și volumelor formelor geometrice

Formulele pentru a calcula aria și volumul unei sfere sunt

• Suprafață = 4πr ²
• Volumul = (4/3)πr ³

2. Calculul ariei și volumului unui con

Un con este o piramidă cu o bază circulară, ale cărei laturi înclinate se întâlnesc într-un punct central pe axa conului, o linie perpendiculară pe planul bazei care trece prin centrul circumferinței care constituie baza conului, după cum se arată Puteți vedea în figura de mai sus. Pentru a calcula aria suprafeței sau volumul acesteia, trebuie cunoscute raza bazei r și lungimea laturii s . Dacă valoarea lungimii laturii s nu este cunoscută , aceasta poate fi calculată cunoscând înălțimea conului h (vezi figura de mai sus).

s = √ (r ² + h ² )

Suprafața totală a conului poate fi calculată ca suma suprafeței bazei și a suprafeței laterale.

• Aria de bază: πr ²
• Zona laterală: πrs
• Aria totală = πr ²   + πrs

Pentru a calcula volumul unui con, aveți nevoie doar de raza bazei și de înălțimea.

• Volumul = 1/3 πr ² h

3. Calculul suprafeței și volumului unui cilindru

Calculele de suprafață și volum sunt mai ușoare pentru un cilindru decât pentru un con. Cilindrul are baza circulara iar liniile care la rotire genereaza suprafata laterala sunt paralele si perpendiculare pe baza. Pentru a calcula suprafața sau volumul acesteia, sunt necesare doar raza r  și înălțimea h .

Ca si in cazul conului, aria suprafetei este suma suprafetelor care il compun; suma ariei bazei superioare și a bazei inferioare (care sunt egale) și aria suprafeței laterale.

• Suprafață = 2πr ²  + 2πrh
• Volumul = πr ^2h

4. Calculul suprafeței și volumului unei prisme dreptunghiulare

Un dreptunghi desfășurat în trei dimensiuni devine o prismă dreptunghiulară; Sau doar o cutie. Când toate laturile unei prisme dreptunghiulare sunt egale, prisma devine un cub. Prin urmare, atât aria suprafeței, cât și volumul sunt calculate cu aceleași formule. Pentru aceasta este necesar să se cunoască mărimea celor trei laturi ale prismei; a, b și c, în figura de sus.

• Aria = 2(ab) + 2(bc) + 2(ac)
• volum = abc

Dacă avem un cub cu latura a , formulele anterioare devin

• Aria unui cub = 6a ²
• Volumul unui cub = a ³

5. Calculul ariei și volumului unei piramide cu bază pătrată

În acest caz vedem formulele folosite pentru a calcula suprafața și volumul unei piramide cu bază pătrată și triunghiuri echilaterale pe fețele sale. Pentru calcule este necesar să se cunoască latura pătratului bazei b și înălțimea h , aceasta este distanța de la centrul pătratului bazei la vârf, așa cum se arată în figura de mai sus. Și s va fi înălțimea fiecărui triunghi echilateral care alcătuiește fețele piramidei, care poate fi calculată cu următoarea formulă.

s = √ ((b/2) ² + h ² )

Ca și în cazurile anterioare, aria suprafeței este suma ariei bazei plus aria celor patru triunghiuri echilaterale ale fețelor.

• Suprafață = 2bs + b ²
• Volumul = (1/3) b ^2h

6. Calculul suprafeței și volumului unei prisme triunghiulare isoscele

Pentru a aplica formulele pentru calcularea ariei suprafeței și a volumului unei prisme triunghiulare isoscele, sunt necesari trei parametri, conform figurii de mai sus; baza triunghiului isoscel b , înălțimea triunghiului h și lungimea prismei l . Definițiile se completează cu laturile s ale triunghiului isoscel. Latura s a triunghiului poate fi calculată din celelalte date ale triunghiului cu următoarea formulă.

s = √ ((b/2) ² + h ² )

Formulele pentru calcularea suprafeței și volumului sunt următoarele.

• Aria = bh + 2 l s + l b
• Volumul = (1/2) bh l

Dacă doriți să calculați aria suprafeței și volumul unei prisme care nu este un triunghiular isoscel, puteți aplica următoarea procedură. Puteți determina aria A și perimetrul P al bazei și utilizați următoarele formule.

• Suprafata = 2A + P l
• Volumul = A l

7. Calculul ariei și lungimii unui sector circular

Figura de sus prezintă sectorul unui cerc cu raza r definit de unghiul θ , care poate fi exprimat în grade sau radiani. Pentru a calcula aria sectorului circular și lungimea arcului, este necesar ca unghiul θ să fie exprimat în radiani, deci dacă este exprimat în grade, conversia trebuie făcută folosind următoarea formulă.

unghiul θ în radiani = (unghiul θ în grade) π /180

Aria sectorului circular și lungimea arcului se calculează cu următoarele formule.

• Aria = (θ/2) r ²  θ în radiani
• Arc L = θr   θ în radiani

Aria și circumferința unui cerc este un caz particular al unui sector, care apare atunci când unghiul θ este egal cu 2 π . Deci, aria și circumferința unui cerc se calculează după cum urmează.

• Aria unui cerc = π r ² 
• Circumferința = 2 π r

8. Calculul ariei unei elipse

O elipsă, cunoscută și sub numele de oval și care poate fi identificată ca un cerc alungit, este mulțimea de puncte a căror sumă a distanțelor până la două puncte fixe numite focare este constantă. În figura de mai sus, focarele sunt reprezentate de două puncte. O elipsă poate fi definită prin cele două semi-axe ale sale, așa cum se arată în figură; semiaxa mare a și semiaxa minoră b . Aria unei elipse se calculează cu următoarea formulă.

• Aria = πab

9. Calculul ariei și perimetrului unui triunghi

Triunghiul este una dintre cele mai simple forme geometrice și calcularea perimetrului este ușor, cunoscând lungimea fiecăreia dintre laturile sale a, b și c . 

• perimetrul = a + b + c

Pentru a calcula aria triunghiului, este necesară lungimea uneia dintre laturile sale, b  de exemplu în figura de mai sus, și înălțimea h  corespunzătoare acelei laturi, determinată ca lungimea segmentului trasat de la perpendiculara vârfului opus. în lateral.b . Aria triunghiului se calculează ca

• Aria = (1/2) bh

10. Calculul ariei și perimetrului unui paralelogram

Un paralelogram este un patrulater ale cărui laturi opuse sunt paralele, așa cum se arată în figura de mai sus. Deoarece laturile opuse sunt paralele, lungimea laturilor opuse va fi egală. În cazul figurii, acestea sunt laturile lungimii a și b . Perimetrul unui paralelogram este suma laturilor sale.

• Perimetrul unui paralelogram = 2a + 2b

Pentru a calcula aria unui paralelogram, este necesară înălțimea h ; distanța dintre două laturi paralele. Aria poate fi calculată cu înălțimea și latura corespunzătoare acelei înălțimi, b  în cazul figurii.

• Aria unui paralelogram = bh

Un dreptunghi este un caz particular al unui paralelogram; când înălțimea h este egală cu latura a sau, care este aceeași, când laturile adiacente sunt perpendiculare, paralelogramul este dreptunghi și formulele perimetrului și ariei sunt următoarele.

• Perimetrul unui dreptunghi = 2a + 2b 
• Aria unui dreptunghi = ab

La rândul său, un pătrat este un caz particular de paralelogram și dreptunghi; când laturile a și b sunt egale și laturile adiacente sunt perpendiculare. Formulele pentru perimetrul și aria unui pătrat cu latura a sunt următoarele.

• perimetrul unui pătrat = 4a 
• Aria unui dreptunghi = a ²

11. Calculul ariei și perimetrului unui trapez

Un trapez este un patrulater care are două laturi opuse care sunt paralele. Prin urmare, lungimea celor patru laturi ale sale este diferită, în figura de sus b , B , c și d , iar pentru a-i calcula perimetrul este necesar să se cunoască cele patru valori. Perimetrul unui trapez se calculează prin adunarea celor patru valori.

• Perimetrul = b + B + c + d

Pentru a calcula aria unui trapez este necesar să cunoașteți înălțimea h  care poate fi observată în figura de sus și aceasta este distanța dintre cele două laturi paralele.

• Aria = (1/2) (b + B)h

12. Calculul ariei și perimetrului unui hexagon regulat

Un poligon cu șase laturi egale este un hexagon regulat. Lungimea fiecărei laturi r este egală cu distanța fiecărui vârf de la centrul hexagonului. Apotema ( a în figura de sus) este cea mai mică distanță de la centrul hexagonului la una dintre laturi; este înălțimea fiecărui triunghi echilateral care formează hexagonul. Perimetrul unui hexagon regulat se calculează ca

• perimetru = 6r

În timp ce pentru a calcula aria unui hexagon obișnuit, se folosește următoarea formulă

• Aria = (3√3/2)r ²

13. Calculul ariei și perimetrului unui octogon regulat

Un octogon regulat este un poligon cu opt laturi egale. Dacă lungimea fiecărei laturi a octogonului este r , perimetrul unui octogon regulat se calculează ca

• perimetru = 8r

În timp ce pentru a calcula aria unui octogon obișnuit, se folosește următoarea formulă

• Aria = 2(1+√2)r ²

Fântână

Wenninger, Magnus J. Modele de poliedre Cambridge University Press, 1974.