Regula complementului în statistică

În statistică și probabilitate, regula complementului stabilește că probabilitatea ca orice eveniment A să se producă va fi întotdeauna egală cu unitatea minus probabilitatea ca evenimentul opus sau complementar cu A să se producă . Cu alte cuvinte, este o regulă care indică faptul că probabilitățile unui eveniment și complementul său sunt legate prin intermediul următoarei expresii:

Această regulă este una dintre proprietățile de bază ale probabilității și ne spune că putem calcula oricând probabilitatea oricărui eveniment dacă știm probabilitatea complementului său și invers. Acest lucru este deosebit de important, deoarece în multe situații din lumea reală în care trebuie să calculăm probabilitatea unui eveniment, este mult mai ușor să calculăm probabilitatea complementului său direct. Apoi, odată ce aceasta este calculată, folosim regula complementului pentru a determina probabilitatea pe care am dorit-o inițial.

Câteva exemple simple de aplicare a acestei reguli sunt:

• Dacă probabilitatea ca Real Madrid să câștige un meci de fotbal din Liga Campionilor este 34/57 sau 0,5965, probabilitatea ca acesta să nu câștige un meci din Liga Campionilor este 1-34/57 = 23/57 sau 0,4035.
• Probabilitatea ca un zar comun cu 6 fețe să cadă pe un număr par mai mic de 6 este 1/3, deci probabilitatea ca zarul să nu ajungă pe un număr par mai mic de 6 este 2/3.

Dovada regulii complementului

Regula complementului poate fi demonstrată în mai multe moduri diferite, oricare dintre ele va face mai ușor de amintit pentru cititor. Pentru a face această demonstrație, trebuie să începem prin a defini câțiva termeni de bază precum ce este un eveniment și care este complementul acestuia. În plus, trebuie să menționăm câteva dintre principalele axiome pe care se bazează probabilitatea.

Experimente, rezultate, spațiu de probă și evenimente

În statistică și probabilitate vorbim despre efectuarea de experimente , cum ar fi aruncarea de monede, aruncarea unui zar, alegerea unei cărți sau pachet dintr-un pachet amestecat aleatoriu și așa mai departe. De fiecare dată când efectuăm un experiment, obținem un rezultat , cum ar fi alegerea celor 2 treșoane din pachetul de cărți de joc spaniole.

Setul total al tuturor rezultatelor diferite posibile pe care le poate da un experiment se numește spațiu eșantion și este de obicei reprezentat de litera S.

Pe de altă parte, un anumit rezultat sau un set de rezultate ale experimentului este cunoscut ca un eveniment . Evenimentele pot fi rezultate individuale, caz în care sunt numite evenimente simple, sau pot fi evenimente compuse care sunt alcătuite din mai mult de un element sau rezultat.

Care este pluginul unui eveniment?

Complementul unui eveniment nu este altceva decât un set de toate celelalte rezultate posibile din spațiul eșantion care nu includ rezultatele evenimentului în sine . În cazul exemplului de aruncare a unui zar, complementul evenimentului în care zarul ajunge pe 5, de exemplu, este un alt eveniment în care zarul ajunge pe 1, 2, 3, 4 sau 6 sau orice altceva. Este la fel, nu se încadrează în 5.

Pluginurile sunt adesea reprezentate în moduri diferite. Cele mai comune două forme sunt:

• Plasarea unei bare oblice deasupra numelui evenimentului (de exemplu, A̅ reprezintă complementul evenimentului A).
• Plasarea unui C ca superscript (AC ⁾ .

În ambele cazuri, se citește „complement A”, „complement de A” sau „Nu A”.

O modalitate ușoară de a înțelege atât conceptul pluginului, cât și regula pluginului în sine este utilizarea diagramelor Venn . Următoarea figură prezintă o diagramă simplă a oricărui experiment și un singur eveniment pe care îl vom numi A.

În diagramele Venn ca aceasta, întregul dreptunghi reprezintă spațiul eșantion al experimentului, în timp ce întreaga zonă a dreptunghiului (în acest caz, atât zonele gri, cât și cele albastre) reprezintă probabilitatea spațiului eșantion, care, prin definiția , este egală cu 1. Aceasta deoarece, dacă efectuăm un experiment, este absolut sigur că se va obține un rezultat conținut în spațiul eșantion, deoarece conține toate rezultatele posibile.

Cercul albastru cuprinde zona spațiului de afișare în care se presupune că se află toate rezultatele posibile ale evenimentului A. De exemplu, dacă evenimentul A are un număr par, atunci această zonă albastră trebuie să conțină rezultatele 2, 4 și 6. Pe de altă parte, toată zona care se află în afara evenimentului A (adică zona gri) este complementul lui A deoarece conține celelalte rezultate (1, 3 și 5).

Regula complementului și diagramele Venn

O cheie pentru înțelegerea regulii complementului folosind diagramele Venn este că aria oricărui eveniment din aceste diagrame este proporțională cu probabilitatea acestuia; aria totală a dreptunghiului corespunde unei probabilități de 1. După cum putem vedea clar, evenimentul A (cerc albastru) și complementul său, A̅ (zona gri) formează împreună întregul dreptunghi.

Din acest motiv, suma ariilor lor, care reprezintă probabilitățile lor respective, trebuie să fie egală cu 1, care este aria spațiului eșantion, S. Rearanjand aceasta, am obține:

Aceasta este regula complementului.

Regula complementului din axiomele probabilității

Orice eveniment și complementul său formează o pereche de evenimente disjunse sau care se exclud reciproc, deoarece dacă se întâmplă unul, este imposibil, prin definiție, ca celălalt să se întâmple. În aceste condiții, probabilitatea de unire a acestor două evenimente este dată pur și simplu de suma probabilităților individuale. Adică:

De asemenea, așa cum am spus mai înainte, unirea evenimentelor A și complementul său, A ^C , are ca rezultat spațiul eșantion:

Înlocuind P(AUC ^C ) în ecuația de mai sus și apoi înlocuind probabilitatea lui S care prin definiție este 1, obținem:

Rearanjand ultimii doi membri obtinem regula complementului.

Exemplu de problemă cu aplicarea regulilor de plugin

Următorul este un exemplu de problemă tipică în care utilizarea regulii pluginului este deosebit de utilă.

afirmație

Să presupunem că avem un circuit format din 5 cipuri identice conectate în serie, adică unul după altul. Probabilitatea ca un cip să se defecteze în primul an de fabricație este de 0,0002. Dacă oricare dintre cele 5 cipuri eșuează, întregul sistem eșuează. Vrei să găsești probabilitatea ca sistemul să eșueze în primul an.

Soluţie

Să numim F (pentru eșec) rezultatul în care o componentă sau un cip de sistem eșuează și E (succes) pentru rezultatul în care componenta nu eșuează sau, ceea ce este același lucru, funcționează. Apoi, datele furnizate de declarație sunt:

Experimentul în care se determină dacă întregul sistem eșuează corespunde de fapt cu realizarea a 5 experimente simultane în care se determină dacă vreuna dintre componente eșuează. Deci, spațiul eșantion pentru acest experiment constă din toate combinațiile de rezultate de succes sau eșec pe fiecare dintre cele 5 componente. Fiind conectați în serie, știm că ordinea contează. Prin urmare, spațiul eșantion este format din:

Acest spațiu eșantion conține 2 ⁵ = 32 de rezultate posibile corespunzătoare tuturor combinațiilor posibile de Es și Fs. Deoarece dorim să calculăm probabilitatea ca sistemul să eșueze, evenimentul care ne interesează, pe care îl vom numi eveniment A, este dat de toate rezultatele în care cel puțin una dintre componente eșuează. Cu alte cuvinte, este dat de următorul set de rezultate:

De fapt, există 2 ⁵ -1=31 de rezultate posibile în care cel puțin una dintre cele cinci componente eșuează. Dacă am dori să calculăm probabilitatea lui A (adică P(A)), ar trebui să calculăm probabilitatea fiecăruia dintre aceste rezultate; ar fi o muncă considerabilă.

Totuși, să considerăm acum evenimentul complementar al lui A, adică evenimentul în care sistemul funcționează (pe care îl vom numi A ^C ). După cum putem vedea, singura modalitate de a funcționa întregul sistem este ca toate cele cinci componente ale circuitului să funcționeze, adică:

Calcularea acestei probabilități este mult mai ușoară decât calcularea celei anterioare. Apoi, având în vedere această probabilitate, folosim regula complementului pentru a calcula probabilitatea lui A. Deoarece rezultatele fiecărui cip sunt evenimente independente unul de celălalt, probabilitatea A ^C este pur și simplu produsul probabilității ca fiecare cip să funcționeze, să spunem :

Dar care este probabilitatea lui E? Amintiți-vă că fiecare cip fie funcționează, fie nu funcționează, deci E este complementul lui F. Prin urmare, dacă avem probabilitatea lui F (care este dată în exercițiu), putem calcula probabilitatea lui E folosind regula complementului :

Acum putem calcula probabilitatea ca sistemul complet să funcționeze:

Și, aplicând din nou regula complementului, calculăm probabilitatea ca sistemul să eșueze:

Răspuns

Probabilitatea ca sistemul să eșueze în primul an este de 0,010 sau 1,0%.

Referințe

Devore, JL (1998). PROBABILITATE ŞI STATISTICĂ PENTRU INGINERIE ŞI ŞTIINŢE . International Thomson Publishers, SA

Regula complementului . (nd). Fhybea. https://www.fhybea.com/complement-rule.html

Regula complementului în probabilități . (2021, 1 ianuarie). MateMobile. https://matemovil.com/regla-del-complemento-en-probabilidades/