Tabla de Contenidos
Momentele din calcule în statistică se ocupă de determinarea unor parametri precum media, varianța sau asimetria unei distribuții de probabilitate. Termenul moment derivă din fizică, din calculul centrului de greutate al unui set de corpuri de mase diferite.
definiția momentului
Dacă există o mulțime de n date discrete x 1 , x 2 , x 3 , … x n , momentul de ordin s este definit ca:
( x 1 s + x 2 s + x 3 s +…+ x n s )/ n
Ordinea în care se efectuează calculul este importantă. Mai întâi trebuie să faci ridicarea la puterea s , apoi să faci adunarea și în final împărțirea cu n .
Aplicând această definiție, avem momentul de ordinul întâi când s = 1 și formula anterioară ia forma:
( x 1 + x 2 + x 3 +…+ x n )/ n
Aceasta este expresia formulei pentru media unui set de valori.
Dacă mulțimea pe care o analizăm este formată din cele 4 numere 1, 3, 6, 10, momentul de ordinul I al acestei mulțimi este:
(1 + 3 + 6 + 10)/4 = 5
În acest exemplu se observă că momentul de ordinul întâi este media setului de valori studiat.
Momentul de ordinul doi corespunde lui s = 2, iar definiția devine după cum urmează:
( x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 +…+ x n 2 )/ n
Dacă îl aplicăm exemplului anterior, obținem:
(1 2 + 3 2 + 6 2 + 10 2 )/4 = (1 + 9 + 36 + 100)/4 = 36,5
În mod similar, momentul de ordinul trei corespunde lui s = 3 și formula are forma:
( x 1 3 + x 2 3 + x 3 3 +…+ x n 3 )/ n
Iar calculul din exemplul pe care îl considerăm are expresia:
(1 3 + 3 3 + 6 3 + 10 3 )/4 = (1 + 27 + 216 + 1000)/4 = 311
Momentele mediei unui set de valori
O altă aplicație a conceptului de moment este calcularea mediei unui set de valori. Adică la valorile care se obțin din diferența fiecărei valori a unei mulțimi față de medie. Pentru a face acest lucru, trebuie mai întâi să calculați valoarea medie a setului, apoi să definiți variabila pe care vor fi calculate momentele ca diferență dintre media și fiecare valoare a setului și, în final, să aplicați formula anterioară acestei noi variabile.
Atunci, dacă m este media mulțimii de valori x 1 , x 2 , x 3 , … x n , momentele din jurul mediei m s a unui set de valori vor avea forma:
m s = [( x 1 – m ) s + ( x 2 – m ) s + ( x 3 – m ) s +…+ ( x n – m ) s ]/ n
Conform acestui calcul, momentul de ordinul întâi al mediei este 0. Să vedem cum se obține acest rezultat:
m 1 = [( x 1 – m )+ ( x 2 – m ) + ( x 3 – m ) +…+ ( x n – m )]/ n
m 1 = [ x 1 + x 2 + x 3 +…+ x n – n . m )]/ n
m 1 = [ x 1 + x 2 + x 3 +…+ x n ]/ n – [ n . m ]/ n
m 1 = m – m = 0
Momentul de ordinul doi al mediei are următoarea expresie:
m 2 = [( x 1 – m ) 2 + ( x 2 – m ) 2 + ( x 3 – m ) 2 +…+ ( x n – m ) 2 ]/ n
Aceasta este formula pentru varianța unui set de valori.
Dacă aplicăm această formulă exemplului anterior, avem că media pe care am calculat-o deja este 5, deci formula devine
m 2 = [(1 – 5) 2 + (3 – 5) 2 + (6 – 5) 2 + (10 – 5) 2 ]/4 = 11,5
Astfel, vedem că momentul de ordinul întâi al unui set de valori este media, iar momentul de ordinul doi despre medie este varianța acelei mulțimi. Momentul de ordinul al treilea al mediei a fost folosit de Karl Pearson pentru calcularea asimetriei setului de valori, în timp ce momentul de ordinul al patrulea al mediei este utilizat în calculul curtozei statistice.
Surse
Alexander Mood, Franklin A. Graybill, Duane C. Boes, Introducere în teoria statisticii . Ediția a treia, McGraw-Hill, 1974.
Peter H. Westfall, Înțelegerea metodelor statistice avansate . Boca Raton, FL: CRC Press, 2013.
