Tabla de Contenidos
Conceptul de grade de libertate apare frecvent atât în matematică, cât și în statistică. În funcție de zona în cauză, conceptul variază considerabil.
Conceptul intuitiv de grade de libertate
Intuitiv, numărul de grade de libertate se referă la numărul de alegeri libere pe care le putem face într-o situație dată . De exemplu, să presupunem că un grup de cinci persoane trebuie să aleagă dintre 5 fructe diferite. Prima persoană este liberă să aleagă oricare dintre fructe. Următorul, puteți alege liber dintre cele patru fructe rămase și așa mai departe. La atingerea ultimei persoane, deoarece la început erau doar 5 fructe, această persoană este nevoită să aleagă ultimul fruct, ceea ce înseamnă că, în realitate, ultima persoană nu avea libertate de alegere, în timp ce ceilalți Da.
În acest caz, spunem că au existat patru grade de libertate, deoarece după selectarea primelor patru fructe, fructul celui de-al cincea persoană a fost determinat automat.
Trebuie remarcat faptul că motivul pentru care cei cinci oameni nu au avut opțiunea de a-și alege fructul în mod liber este pentru că erau doar cinci fructe pentru început. Dacă le-am fi spus celor cinci persoane să aleagă fiecare fructul care le-a plăcut cel mai mult, fără a specifica vreo variantă, atunci toți cei cinci ar fi avut libertatea de a alege. Aceasta arată că faptul că erau doar cinci fructe a reprezentat o restricție care a redus gradele de libertate de alegere.
grade de libertate în matematică
Matematic, gradele de libertate sunt definite ca numărul de dimensiuni ale domeniului unui vector aleator . Aceasta înseamnă că sunt numărul de componente ale unui vector aleatoriu ale cărui valori trebuie să le specificăm pentru a cunoaște complet vectorul.
Pentru a înțelege mai bine acest concept, să-l analizăm din punct de vedere geometric. Putem defini un vector aleator ca unul care este format dintr-un set de variabile aleatoare scalare . Fiecare dintre aceste variabile aleatoare reprezintă una dintre componentele vectorului într-o dimensiune. Adică numărul de astfel de variabile sau componente ( n ) definește un spațiu n-dimensional în interiorul căruia vectorul aleatoriu se poate mișca liber, deci spunem că vectorul are n grade de libertate.
De exemplu, dacă vectorul este alcătuit dintr-o singură variabilă aleatoare, atunci acest vector poate varia liber doar de-a lungul unei singure dimensiuni. Ca o consecință a acestui fapt, pentru a defini un anumit vector, este necesar doar să alegem valoarea acelei variabile aleatoare unice, deci spunem că există un singur grad de libertate.
Pe de altă parte, dacă un vector este format din două componente, acesta poate fi reprezentat într-un spațiu bidimensional, adică într-un plan. Spunem că acest vector se poate mișca liber de-a lungul a două dimensiuni în funcție de valorile particulare pe care le asumă aceste două variabile aleatoare, deci spunem că are două grade de libertate.
Același raționament funcționează pentru un vector aleatoriu cu 3, 4 sau mai multe componente.
Un exemplu tipic de vector aleatoriu folosit frecvent în statistică este un eșantion de dimensiunea n. În acest caz, fiecare dintre cele n elemente ale eșantionului este o variabilă aleatorie, iar toate n valorile alcătuiesc vectorul aleator corespunzător eșantionului. De fiecare dată când alegem un eșantion nou, putem obține un vector nou și nimic nu ne interzice să alegem liber și independent fiecare dintre datele care alcătuiesc eșantionul.
Constrângeri ale gradelor de libertate
Din cele explicate în paragrafele precedente se poate deduce că orice vector aleatoriu de n dimensiuni (adică format din n componente independente) va avea n grade de libertate, întrucât oricare dintre cele n componente poate avea orice valoare, adică , nu există nimic care să restricționeze alegerea fiecăreia dintre cele n variabile aleatoare.
Cu toate acestea, dacă variabilele nu sunt independente unele de altele, ci sunt legate de o ecuație matematică, atunci numărul de grade de libertate scade, deoarece vor exista variabile a căror valoare este pe deplin determinată odată ce valorile sunt alese sau specificate. celelalte variabile.
Aceste relații dintre variabilele aleatoare care alcătuiesc vectorul sunt ceea ce știm ca constrângeri sau condiții și sunt echivalentul matematic al condiției „există doar cinci fructe” a explicației noastre intuitive a gradelor de libertate.
Exemplu:
Să presupunem că avem un vector aleator format din cele trei variabile aleatoare x , y și z . Inițial, acest sistem are trei grade de libertate, deoarece trebuie să alegem valorile celor trei variabile pentru a specifica complet un anumit vector.
Cu toate acestea, să presupunem acum că, dintr-un motiv oarecare, aceste variabile trebuie să îndeplinească condiția ca suma lor să fie egală cu 5. Această condiție limitează alegerea noastră a valorilor particulare ale fiecărei variabile, deoarece, după alegerea liberă a primelor două ( x și y , x y z sau y y z ) a treia este determinată de ecuația x + y + z = 5
De exemplu, dacă alegem x = 10 și y = 5 , variabila z nu poate lua nicio valoare, ci trebuie să aibă în mod necesar –10 pentru a îndeplini condiția menționată mai sus.
Dacă includem mai multe constrângeri sau mai multe relații independente între variabile, putem reduce și mai mult numărul de grade de libertate, chiar și până la zero.
grade de libertate în statistică
Cu modul mai clar de a privi gradele de libertate în matematică, va fi mult mai ușor de înțeles gradele de libertate în domeniul statisticii, unde își găsesc cea mai mare parte din utilitate.
Gradele de libertate sunt folosite pentru a efectua calculul statisticilor, precum și pentru a defini distribuții de probabilitate precum distribuția t-student sau distribuția chi-pătrat.
În aceste contexte, gradele de libertate constau în numărul de variabile pe care trebuie să le precizăm pentru a determina valoarea unei variabile statistice precum media eșantionului, varianța, abaterea standard a eșantionului etc.
De exemplu, în calcularea mediei eșantionului pentru un eșantion de dimensiunea n, trebuie să cunoaștem toate valorile celor n elemente din eșantion. Media se calculează cu ajutorul următoarei expresii:
Cu toate acestea, odată ce media eșantionului, care calculează media populației, este calculată, aceasta poate fi utilizată pentru a calcula alte variabile statistice, cum ar fi varianța eșantionului și abaterea standard. În aceste cazuri, având în vedere că media și valorile individuale ale elementelor eșantionului sunt legate prin intermediul ecuației anterioare, ceea ce reprezintă o restricție, este adevărat că orice mărime calculată din medie va avea n-1 grade de libertate. :
Referințe
De la Cruz-Oré, JL (2013). Ce înseamnă grade de libertate? Jurnalul Peruvian de Epidemiologie , 17 (2), 1–6. https://www.redalyc.org/pdf/2031/203129458002.pdf
DeVore, J. (2002). Probabilitate și statistică pentru inginerie și științe (ed. a 5-a). Thomson International.
Grade de libertate . (2012, 18 noiembrie). Enciclopedia financiară. http://www.enciclopediafinanciera.com/definicion-grados-de-libertad.html
Editor de blog Minitab. (2019, 18 aprilie). Ce sunt gradele de libertate în statistică? Blog Minitab. https://blog.minitab.com/en/what-are-degrees-of-freedom-in-statistics
Pacheco, J. (2019, 15 octombrie). ▷ Grade de libertate în statistică ( ce sunt și cum sunt aplicate) | 2021 . Web și Companii. https://www.webyempresas.com/grados-de-libertad-en-estadistica/
