Când și cum să folosiți parantezele, parantezele și acoladele în matematică

Printre combinațiile de simboluri care implică calcule aritmetice sau expresii algebrice, este obișnuit să găsim trei simboluri, care sunt adesea confundate în utilizarea lor; paranteze ( ), paranteze drepte [ ] și acolade { }. Sa vedem care este aplicatia specifica a fiecaruia impreuna cu cateva exemple de fixare a ideilor.

Parantezele ( ) sunt folosite pentru a grupa numere și variabile, într-un calcul sau într-o ecuație algebrică. Când găsim paranteze în mijlocul diferitelor operații aritmetice, ni se spune ordinea în care ar trebui făcute. Să ne amintim că, fără nicio altă indicație, înmulțirea și împărțirea au prioritate față de adunarea și scăderea, iar exponențiația față de înmulțire și împărțire. Când trebuie efectuate operații cu aceeași prioritate, calculul se desfășoară de la stânga la dreapta în expresia matematică. Să vedem rolul parantezelor care indică ordinea operațiilor în exemplul următor.

9 – 5 ÷ (8 – 3) × 2 + 6

Parantezele ne spun că operația care este propusă în spațiul său trebuie mai întâi efectuată, fără a avea în vedere ordinea obișnuită a priorităților în care se efectuează operațiile aritmetice. În acest exemplu, operațiile de înmulțire și împărțire ar trebui efectuate înainte de scădere, totuși, deoarece operația 8 – 3 este cuprinsă în paranteze, trebuie să facem mai întâi acest calcul. Odată efectuate toate calculele din paranteze, în acest caz doar 8 – 3, acestea sunt eliminate și se procedează la celelalte operații cu prioritățile obișnuite. În acest caz, (8 – 3) este înlocuit cu 5, iar secvența de rezoluție a acestui calcul ar fi următoarea.

9 – 5 ÷ (8 – 3) × 2 + 6 = 9 – 5 ÷ 5 × 2 + 6

9 – 5 ÷ 5 × 2 + 6 = 9 – 1 × 2 + 6

9 – 1 × 2 + 6 = 9 – 2 + 6

9 – 2 + 6 = 7 + 6

7 + 6 = 13

Parantezele indică, de asemenea, implicit că aceasta este o operație de înmulțire. De exemplu, în expresia 3(2 + 5) parantezele indică faptul că adăugarea trebuie efectuată mai întâi în interiorul spațiului parantezelor, 2 + 5. Dar nu există nicio operație explicită între trei și spațiul parantezelor, astfel încât se presupune că este o înmulțire. Un caz mai general, cu două paranteze, ar fi expresia (6 –3)(2 + 3). Din nou, mai întâi trebuie să rezolvăm cele două calcule în spațiul dintre paranteze, adică 6 – 3 și 2 + 3, apoi presupunem că trebuie să facem produsul ambelor rezultate. Pentru claritate, să dezvoltăm calculul.

(6 – 3)(2 + 3) = (6 – 3) × (2 + 3)

(6 – 3) × (2 + 3) = (3) × (3)

(3) × (3) = 3 × 3

3 × 3 = 9

Parantezele sunt folosite și atunci când este necesară gruparea numerelor și variabilelor într-un calcul sau într-o ecuație algebrică, dar când parantezele au fost deja folosite. Adică, dacă este necesară gruparea numerelor și variabilelor în spațiul care este deja grupat, grupul interior este indicat cu paranteze și cel exterior cu paranteze pătrate. Dacă este necesară o altă grupare de ordinul al treilea în același spațiu, atunci se vor folosi acolade. Secvența, care este cunoscută și sub numele de paranteze imbricate, ar urma următoarea ordine: { [ ( ) ] }

Să ne uităm la un exemplu de expresie matematică care combină parantezele și parantezele pătrate. Ca și în cazul parantezelor, dacă nu există o operație explicită lângă paranteze, se presupune că este o înmulțire.

4 – 3[4 – 2(6 – 3)] ÷ 3

În această expresie, trebuie mai întâi să rezolvăm operațiile din spațiul parantezelor.

4 – 2 (6 – 3)

Această expresie, la rândul său, are o ordine de priorități indicată prin paranteze; În primul rând, trebuie să rezolvați diferența 6 – 3. Să vedem dezvoltarea completă a secvenței de calcul.

4 – 3[4 – 2(6 – 3)] ÷ 3 = 4 – 3 × [4 – 2 × (6 – 3)] ÷ 3

4 – 3 × [4 – 2 × (6 – 3)] ÷ 3 = 4 – 3 × [4 – 2 × (3)] ÷ 3

4 – 3 × [4 – 2 × (3)] ÷ 3 = 4 – 3 × [4 – 6] ÷ 3

4 – 3 × [4 – 6] ÷ 3 = 4 – 3 × [-2] ÷ 3

4 – 3 × [-2] ÷ 3 = 4 + 6 ÷ 3

4 + 6 ÷ 3 = 4 + 2

4 + 2 = 6

Acum să ne uităm la un exemplu care combină cele trei simboluri.

2{1 + [4(2 + 1) + 3]}

După cum am menționat deja, regula generală este de a rezolva parantezele imbricate din interior spre exterior. Să vedem secvența de calcul.

2{1 + [4(2 + 1) + 3]} = 2 × {1 + [4 × (2 + 1) + 3]}

2 × {1 + [4 × (2 + 1) + 3]} = 2 × {1 + [4 × (3) + 3]}

2 × {1 + [4 × (3) + 3]} = 2 × {1 + [12 + 3]}

2 × {1 + [12 + 3]} = 2 × {1 + [15]}

2 × {1 + [15]} = 2 × {16}

2 × {16} = 32

Parantezele, parantezele și parantezele sunt adesea denumite paranteze rotunde, pătrate și, respectiv, ondulate. În unele expresii sunt folosite doar paranteze chiar și atunci când există mai multe spații de calcul imbricate. Acest lucru se face în special atunci când imbricarea este mai mare de trei niveluri, caz în care nu ar mai exista simboluri care diferențiază nivelurile de imbricare. Când sunt folosite doar paranteze, trebuie avută o grijă deosebită pentru a identifica primul spațiu dintre paranteze în cuibărit, a-l rezolva și apoi a trece la nivelul următor.

Fântână

Samuel Selzer, Algebră și geometrie analitică. A doua editie. Buenos Aires, 1970.