Tabla de Contenidos
Varianta unei variabile aleatoare este o măsură a răspândirii acesteia în jurul mediei . Aceasta înseamnă că este o mărime care indică dispersia medie a valorilor respectivei variabile de ambele părți ale mediei sau amplitudinea distribuției sale de probabilitate. Acest parametru este o cantitate importantă pentru orice variabilă aleatoare, indiferent de distribuția de probabilitate a acesteia.
Pe de altă parte, distribuția Poisson este o distribuție de probabilitate discretă care servește la modelarea frecvenței cu care apar evenimente discrete într-un interval de timp , deși poate fi menționată și în relație cu alte variabile continue, cum ar fi lungimea unui fir. , o suprafață etc.
Distribuția Poisson este de mare importanță, deoarece permite modelarea proceselor la fel de zilnice precum numărul de persoane care sosesc într-o linie la casa de bilete a unui bancomat, precum și procese la fel de complexe precum numărul dezintegrarilor radioactive într-un interval de timp dat. dintr-un eșantion de deșeuri nucleare.
Definiția matematică a distribuției Poisson
O variabilă aleatoare X urmează o distribuție Poisson dacă funcția sa de masă de probabilitate sau PMF are următoarea formă:
În formulă, λ este un parametru întotdeauna pozitiv al distribuției și x reprezintă diferitele valori pe care le poate lua variabila aleatoare. În procesele Poisson, parametrul λ reprezintă în general viteza sau frecvența pe unitatea de timp, pe unitatea de suprafață și așa mai departe.
După cum vom arăta mai târziu, λ este, la rândul său, media distribuției Poisson, precum și varianța acesteia.
Acum că știm ce este această funcție de distribuție și pentru ce este, să ne uităm la o definiție mai formală a varianței, la modul general de a o calcula și, în sfârșit, la modul în care se calculează varianța pentru cazul particular al distribuției Poisson.
Care este varianța?
Din punct de vedere matematic, varianța unei variabile aleatoare X, notată în statistică cu Var(X) , corespunde valorii așteptate a pătratului abaterii respectivei variabile de la media acesteia, care se exprimă cu următoarea formulă:
Deși definiția anterioară poate fi utilizată pentru a calcula varianța oricărei variabile aleatoare, ea poate fi, de asemenea, calculată mai ușor folosind primul și al doilea moment obișnuit, sau momentele din jurul originii (m 1 , m 2 ), după cum urmează :
Acest mod de calculare a varianței este mai convenabil decât primul, așa că va fi cel pe care îl vom folosi în acest articol pentru a calcula varianța distribuției Poisson.
Calculul varianței distribuției Poisson
Calculul mediei sau al primului moment ordinar
Să ne amintim că, pentru orice distribuție discretă, media sau așteptarea lui X poate fi determinată prin intermediul următoarei expresii, care definește primul moment:
Putem lua această sumă de la x=1 în sus, deoarece primul termen este zero. De asemenea, dacă acum înmulțim și împărțim totul cu λ și, de asemenea, înlocuim x!/x cu (x-1)! , noi obținem:
Această expresie poate fi simplificată făcând modificarea variabilei y = x – 1 , lăsând:
Funcția din interiorul însumării este din nou funcția de probabilitate Poisson, care, prin definiție, este însumarea tuturor probabilităților de la zero la infinit a oricărei funcții de probabilitate care trebuie să fie egală cu 1.
Avem deja primul moment sau media funcției Poisson. Vom folosi acum acest rezultat și așteptarea pătratului lui X pentru a găsi varianța.
Calculul celui de-al doilea moment ordinar
Al doilea moment este dat de:
Putem folosi un mic truc pentru a rezolva această sumă care constă în înlocuirea x 2 cu x(x-1)+x:
Acolo unde folosim rezultatul anterior în al doilea termen al însumării, înmulțim și împărțim cu λ 2 pentru a obține exponentul λ x-2 și aplicăm modificarea variabilei y = x – 2 .
Acum, tot ce rămâne este să înlocuim aceste două momente în formula pentru varianță și vom avea rezultatul așteptat:
Referințe
Devore, J. (2021). Probabilitate și statistică pentru inginerie și știință . CENGAGE ÎNVĂȚARE.
Rodó, P. (2020, 4 noiembrie). Distribuția Poisson . Economipedia. https://economipedia.com/definiciones/distribucion-de-poisson.html
UNAM [Luis Rincón]. (2013, 16 decembrie). 0625 Poisson Distribution [Video]. Youtube. https://www.youtube.com/watch?v=y_dOx8FhHpQ
