Care sunt posibilele rezultate ale aruncării a trei zaruri simultan?

Aruncarea cu monede și zaruri sau scoaterea orbește bile dintr-o cutie sunt unele dintre cele mai simple experimente pe care le putem efectua pentru a ne testa înțelegerea diferitelor concepte legate de statistică. Sunt experimente ușor de efectuat, pe care oricine le poate face acasă, dau rezultate clare și fără ambiguitate, iar acestea pot fi ușor convertite în date numerice.

În cazul aruncării zarurilor, există și o relație clară între ele și jocurile de noroc, ceea ce face ca aplicarea statisticilor să fie mai tangibilă în ceva ce face parte din viața de zi cu zi a multor oameni sau, cel puțin, ceva cu ceea ce aproape toți. dintre noi am întâlnit cel puțin o dată în viața lor.

Aruncarea a trei zaruri simultan poate produce diferite tipuri de rezultate pe care le putem interpreta în moduri diferite. Ne poate interesa rezultatele individuale în sine, sau putem fi interesați de valoarea sumei sau de numărul de rezultate pare sau impare care apar între zaruri etc. Dintre cele trei, cel mai obișnuit este să fii interesat de rezultatul sumei valorilor celor trei zaruri. În secțiunile următoare, vom explora cum să calculăm probabilitatea de apariție a fiecăreia dintre sume atunci când aruncăm trei zaruri în același timp.

Spațiul de probă pentru aruncarea a trei zaruri

Lansarea unui singur zar cub este un experiment simplu care are doar șase rezultate posibile. Adică este un experiment al cărui spațiu eșantion este format din rezultatele S _{1 date} = {1; 2; 3; 4; 5; 6}.

Când aruncați două zaruri simultan, se poate presupune că rezultatul fiecărui zar este independent de celălalt, astfel încât fiecare poate rezulta în oricare dintre cele șase rezultate anterioare. Acest lucru aduce drept consecință că se pot da 6 ² = 36 de rezultate posibile corespunzătoare tuturor combinațiilor posibile între cele 6 valori ale unui zar și cele 6 valori ale celeilalte.

În acest caz, vom avea un spațiu eșantion de S _{2 dat} = {11; 12; 13; 14; cincisprezece; 16; douăzeci și unu; 22; 23; 24; 25; 26; …; 61; 62; 63; 64; 65; 66}. Din aceste 36 de rezultate, numărul de combinații unice (fără a se lua în considerare ordinea) poate fi calculat prin intermediul unei combinatorii cu repetare în care se iau grupuri de n = 2 (cele două zaruri care se aruncă) cu m = 6 rezultate posibile. :

Aceste 21 de rezultate corespund cu {11; 12; 13; 14; cincisprezece; 16; 22; 23; 24; 25; 26; 33; 3. 4; 35; 36; 44; Patru cinci; 46; 55; 56; 66}. Probabilitatea fiecăruia dintre aceste rezultate corespunde cu 1/36 înmulțit cu numărul de permutări diferite care pot fi create cu cifrele fiecărui număr (1 dacă numărul se repetă, ca în 11, 22 etc., și 2 dacă numărul nu se repetă, deoarece putem avea 12 sau 21, 13 sau 31 etc.)

În cazul aruncării a 3 zaruri, numărul total de rezultate posibile în spațiul eșantion este dat de 6 ³ = 216. Aceste rezultate sunt S _{3 zaruri} = {111; 112; 113; 114; 115; 116; 121; …; 126; 131; …; 136; …; 166; 211; 212; …; 656; 666}. În acest caz, probabilitatea oricărui rezultat individual trebuie să fie 1/216.

Probabilitatea rezultatelor individuale la aruncarea a trei zaruri

Acum că am definit bine spațiul eșantion al tuturor rezultatelor posibile ale aruncării a 3 zaruri, să vedem cum să calculăm probabilitatea fiecăruia dintre diferitele rezultate care pot fi obținute.

În cazul aruncării a trei zaruri, având în vedere că ordinea în care apar rezultatele este irelevantă, multe dintre cele 216 rezultate se vor repeta efectiv. Numărul total de rezultate unice poate fi calculat din nou ca o combinație de grupuri de câte 3 cu câte 6 opțiuni fiecare și cu posibilitatea de repetări, adică:

Dintre aceste 56 de rezultate, cele formate din trei numere egale (să le numim AAA) apar o singură dată. Pe de altă parte, cele cu două cifre identice și una diferită (AAB) se repetă de 3 ori fiecare (corespunzând permutărilor AAB, ABA și BAA). În cele din urmă, cei care au trei cifre diferite (ABC) vor apărea 3! = de 6 ori (ABC, ACB, BAC, BCA, CAB și CBA).

Din aceste informații și numărul total de rezultate posibile (216), putem calcula probabilitatea fiecărui rezultat ca

În funcție de rezultat, are 1, 2 sau 3 figuri diferite. Cele 56 de rezultate posibile și probabilitățile lor sunt prezentate în următorul tabel:

Probabilitatea sumei la aruncarea a trei zaruri

După cum am menționat anterior, atunci când aruncați zarurile, un rezultat mai important decât numărul particular pe care fiecare cap aterizează este suma zarurilor. În experimentul în care se aruncă trei zaruri și se obține suma, spațiul eșantion este format din toate sumele posibile între trei numere de la 1 la 6.

Cea mai mică valoare care poate rezulta din această sumă este cea obţinută atunci când cele trei zaruri aterizează pe 1, obţinându-se o sumă de 1+1+1 = 3, în timp ce valoarea maximă corespunde cu 6+6+6 = 18, cu posibilitatea de obţinere a oricăreia dintre sumele intermediare. Prin urmare, spațiul eșantion al acestui experiment corespunde cu:

S = {3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; unsprezece; 12; 13; 14; cincisprezece; 16; 17; 18}

Ultima coloană a tabelului arată numărul total de rezultate pe care le oferă fiecare sumă, inclusiv rezultatele echivalente (din toate permutările fiecărei combinații unice). De exemplu, pentru suma de 15, aruncarea zarurilor trebuie să fie 366, 356 sau 555. Dar există 3 permutări de 366 (366, 636 și 663) și 6 permutări de 356 (356, 365, 536, 563, 635 și 653) și unul singur din 555, deci numărul total de rezultate posibile egal cu 15 este 10.

Cu tabelul anterior putem exersa calcularea probabilității fiecărei sume pentru aruncarea a trei zaruri în două moduri diferite. Acestea sunt detaliate mai jos.

Strategia 1: Utilizarea probabilității fiecărui rezultat unic

Prima strategie constă în adăugarea probabilității tuturor rezultatelor unice pe care le poate da fiecare sumă. Aceasta implică utilizarea rezultatelor unice din a treia coloană și probabilitatea respectivă a fiecărui rezultat prezentat mai sus.

Exemplu

Să presupunem că dorim să calculăm probabilitatea ca suma celor trei zaruri să fie 11 (adică P(11)). În acest caz, există 6 combinații unice (indiferent de ordine) care dau o sumă de 11. Aceste rezultate sunt (conform coloanei a treia a tabelului de mai sus): {146; 155; 236; 245; 335; 344}.

Probabilitatea fiecărui rezultat este determinată pe baza numărului total de permutări posibile în fiecare caz, așa cum sa explicat în secțiunea anterioară. În acest caz:

Prin urmare, probabilitatea ca rezultatul sumei să fie 11 va fi:

În mod similar, dacă am dori probabilitatea ca suma să fie 16, rezultatul ar fi suma probabilităților de 466 și 556, care sunt ambele egale cu 1/72, deci probabilitatea ar fi:

Strategia 2: Utilizarea numărului total de rezultate corespunzător fiecărei sume

În acest caz, se ia o cale mai simplă, atâta timp cât există o listă cu toate rezultatele posibile pentru fiecare însumare, inclusiv permutările. Atunci probabilitatea fiecărei sume este pur și simplu numărul total de rezultate pentru suma împărțit la numărul total de rezultate posibile (216).

Exemplu

În cazul sumei = 11, numărul total de rezultate posibile care dau respectiva sumă este 27 (vezi a treia coloană a tabelului precedent), deci probabilitatea ca suma lui 11 să fie:

După cum puteți vedea, rezultatul este același ca înainte și este foarte simplu dacă avem un tabel ca cel anterior deja construit. Cu toate acestea, pentru cazurile mai complexe în care există mai multe rezultate posibile (cum ar fi aruncarea a 4, 5 sau 4 zaruri), această strategie poate fi mai puțin convenabilă, iar prima mai practică.

Referințe

Graffe, S. (21 septembrie 2021). Care este probabilitatea ca atunci când aruncați trei zaruri, să obțineți o sumă de 7? Quora. https://en.quora.com/What%C3%A9-probabilidad-hay-que-al-lanzar-tres-dados-salga-una-sumatoria-de-7

Montagud Rubio, N. (2022, 17 martie). Tehnici de numărare: tipuri, cum să le folosești și exemple . Psihologie și minte. https://psicologiaymente.com/miscelanea/tecnicas-de-conteo

Naps. (2017, 16 noiembrie). Tehnici de numărare în probabilitate și statistică . Naps Tehnologie și educație. https://naps.com.mx/blog/tecnicas-de-conteo-en-probabilidad-y-estadistica/

Valdés Gómez, J. (23 noiembrie 2016). Combinații cu repetare . Youtube. https://www.youtube.com/watch?v=WqHZx64RW-Q