Tabla de Contenidos
Odchylenie standardowe, reprezentowane albo przez grecką literę σ (sigma), albo przez literę S , jest miarą zmienności serii danych. Dokładniej, reprezentuje miarę średnich odchyleń danych próbki lub populacji w odniesieniu do średniej populacji, wskazując w ten sposób, jak rozproszone są dane wokół wspomnianej centralnej wartości tendencji.
Wysokie odchylenie standardowe wskazuje, że średnio dane są dalekie od średniej w obu kierunkach (dane są bardzo rozłożone), podczas gdy małe odchylenie standardowe wskazuje na coś przeciwnego.
Odchylenie standardowe jest zawsze obliczane jako pierwiastek kwadratowy z innej miary zmienności, zwanej wariancją. Istnieje kilka sposobów obliczania wariancji w zależności od rodzaju dostępnych danych (próba lub populacja), co skutkuje więcej niż jednym sposobem obliczania odchylenia standardowego.
W obu przypadkach stosuje się nieco inne formuły, które opisano w następnej sekcji. Poniżej opisano, jak obliczyć każdy z nich krok po kroku i „ręcznie”. Opisuje również, jak używać kalkulatorów z funkcjami statystycznymi i arkuszy kalkulacyjnych, takich jak Excel lub Arkusze Google, do obliczania tej ważnej zmiennej statystycznej.
Istnieją dwa rodzaje odchylenia standardowego
W statystyce istnieją dwa rodzaje miar opisowych serii danych, w zależności od tego, czy dostępne są wszystkie dane z populacji, czy tylko z próby. Te miary, które są używane do opisu populacji, nazywane są parametrami populacji i są zwykle oznaczane greckimi literami. Tymczasem parametry opisujące próbkę nazywane są statystykami i są zwykle przedstawiane małymi literami.
W związku z tym istnieją dwa rodzaje odchylenia standardowego:
- Odchylenie standardowe populacji , które jest parametrem populacji reprezentowanym przez grecką literę σ (mała sigma).
- Odchylenie standardowe próbki , które jest parametrem statystycznym reprezentowanym przez literę S.
Poniżej znajdują się wzory do obliczania obu typów odchylenia standardowego.
Wzory do obliczania odchylenia standardowego populacji σ
W tych równaniach x i reprezentuje wartość każdego pojedynczego elementu danych, μ to średnia populacji, a n to całkowita liczba elementów danych w populacji.
Wzory do obliczania odchylenia standardowego próbki S
W tych równaniach x i reprezentuje wartość każdego pojedynczego elementu danych w próbie, ¯x to średnia próbki, a n to całkowita liczba elementów danych w próbie.
Jedyną rzeczywistą różnicą w sposobie obliczania dwóch odchyleń standardowych jest to, że w jednym przypadku dzieli się je przez n, aw drugim przez n – 1 . Ta ostatnia ma na celu skorygowanie różnicy między średnią z próby a średnią z populacji, które zwykle nie są takie same.
Jakiej formuły należy użyć?
Jedyną rzeczą, którą należy wziąć pod uwagę przy podejmowaniu decyzji, którego wzoru użyć, jest to, czy dane, dla których ma zostać obliczone odchylenie standardowe, reprezentują wszystkie dane w populacji, czy tylko próbę. Zwykle wynika to z wypowiedzi (w przypadku rozwiązania problemu statystycznego) lub ze sposobu pozyskania danych.
WSKAZÓWKA: W razie wątpliwości najbezpieczniej jest założyć, że jest to próba, ponieważ rzadko dysponuje się wszystkimi danymi dotyczącymi populacji.
Jeśli chodzi o użycie pierwszego (tego po lewej) lub drugiego (tego po prawej) wzoru dla σ lub dla S, w obu przypadkach dwa przedstawione równania dają ten sam wynik. Jednak bardziej praktyczne jest użycie wzoru po prawej stronie, nawet jeśli może się to wydawać bardziej skomplikowane. Powód jest bardzo prosty: do obliczenia odchylenia standardowego potrzeba mniej kroków za pomocą wzorów po prawej stronie niż tych po lewej stronie.
Jak obliczyć odchylenie standardowe „ręcznie”
Poniżej przedstawiamy kroki, które należy wykonać, aby obliczyć odchylenie standardowe, na przykładzie ilustrującym ten proces.
Problem
Określono czas, w jakim próbka 15 samochodów napełniła zbiornik paliwa na stacji paliw. Dane, mierzone w sekundach, przedstawiono poniżej:
| 71 | 65 | 48 | 76 | 80 |
| 64 | 42 | 55 | 80 | 66 |
| 53 | 49 | 70 | 67 | 42 |
Wyznacz odchylenie standardowe.
Rozwiązanie: w tym przypadku instrukcja określa, że dane odpowiadają próbce, więc równanie, którego użyjemy do wyznaczenia odchylenia standardowego (próbki), będzie miało postać:
Aby zastosować ten wzór, wystarczy obliczyć sumę danych (∑X i ), sumę kwadratów danych (∑X i 2 ) oraz całkowitą liczbę danych (n). Można to łatwo osiągnąć, wykonując następujące kroki:
Krok 1: Uporządkuj dane pionowo
Obliczenie odchylenia standardowego jest łatwiejsze, jeśli masz dane ułożone na pionowej liście, ponieważ ułatwia to kolejne kroki. Nie jest to bezwzględnie konieczne, ale pomaga również identyfikować każdy element danych za pomocą numeru, ponieważ łatwo dostarcza całkowitą liczbę elementów danych (n), które są niezbędne do zastosowania formuły. Danych nie trzeba w żaden sposób porządkować.
| # | Xi_ _ | x ja 2 |
| 1 | 71 | |
| 2 | 65 | |
| 3 | 48 | |
| 4 | 76 | |
| 5 | 80 | |
| 6 | 64 | |
| 7 | 42 | |
| 8 | 55 | |
| 9 | 80 | |
| 10 | 66 | |
| jedenaście | 53 | |
| 12 | 49 | |
| 13 | 70 | |
| 14 | 67 | |
| piętnaście | 42 |
Krok 2: oblicz kwadrat każdej z danych
Następnym krokiem jest podniesienie do kwadratu każdego pojedynczego elementu danych, a następnie zapisanie wyniku w kolumnie obok niego.
| # | Xi_ _ | x ja 2 |
| 1 | 71 | 5041 |
| 2 | 65 | 4225 |
| 3 | 48 | 2304 |
| 4 | 76 | 5776 |
| 5 | 80 | 6400 |
| 6 | 64 | 4096 |
| 7 | 42 | 1764 |
| 8 | 55 | 3025 |
| 9 | 80 | 6400 |
| 10 | 66 | 4356 |
| jedenaście | 53 | 2809 |
| 12 | 49 | 2401 |
| 13 | 70 | 4900 |
| 14 | 67 | 4489 |
| piętnaście | 42 | 1764 |
Krok 3: Zsumuj wszystkie oryginalne dane
Dodajemy wszystkie wartości, które pojawiają się w kolumnie, którą identyfikujemy jako X i i zapisujemy wynik na końcu tej kolumny.
Krok 4: Dodaj wszystkie kwadraty danych i zapisz wynik na dole kolumny
Dodajemy wszystkie wartości, które pojawiają się w kolumnie, którą identyfikujemy jako X i 2 i zapisujemy wynik na końcu tej kolumny. Po wykonaniu kroków 3 i 4 tabela będzie wyglądać następująco:
| # | Xi_ _ | x ja 2 |
| 1 | 71 | 5041 |
| 2 | 65 | 4225 |
| 3 | 48 | 2304 |
| 4 | 76 | 5776 |
| 5 | 80 | 6400 |
| 6 | 64 | 4096 |
| 7 | 42 | 1764 |
| 8 | 55 | 3025 |
| 9 | 80 | 6400 |
| 10 | 66 | 4356 |
| jedenaście | 53 | 2809 |
| 12 | 49 | 2401 |
| 13 | 70 | 4900 |
| 14 | 67 | 4489 |
| piętnaście | 42 | 1764 |
| Liczba danych (n) | Suma danych ( ∑X i ) | Suma kwadratów ( ∑X i 2 ) |
| piętnaście | 928 | 59750 |
Krok 5: Zastosuj wzór na odchylenie standardowe
Ostatnim krokiem jest po prostu zastąpienie wartości na końcu tabeli odpowiednią formułą:
Jak obliczyć odchylenie standardowe za pomocą kalkulatora statystycznego
Większość kalkulatorów naukowych i finansowych ma specjalne funkcje ułatwiające obliczanie wszystkich miar tendencji centralnej i rozrzutu stosowanych w statystyce. Procedura niezależnie od modelu kalkulatora jest zawsze taka sama:
Krok 1 – Wejdź w tryb statystyk
Kalkulatory mają zwykle specjalny tryb dla funkcji statystycznych. Zwykle można uzyskać do niego dostęp, naciskając przycisk MODE , po którym następuje liczba, która zwykle pojawia się na ekranie obok STAT , SD (dla odchylenia standardowego ) lub czegoś podobnego.
Krok 2 – Wyczyść pamięć
W starszych kalkulatorach na ekranie nie jest wyświetlane, czy w pamięci kalkulatora znajdują się już dane, dlatego przed rozpoczęciem należy zawsze wyczyścić pamięć. W tym celu należy nacisnąć klawisz CLR lub MCL , a następnie wybrać opcję TRYB (spowoduje to skasowanie tylko danych zapisanych w trybie statystyki). W wielu przypadkach po wykonaniu tego kroku konieczne jest ponowne wejście do trybu statystyk.
Krok 3: wprowadź wszystkie dane
Wszystkie dane są wprowadzane sekwencyjnie, jeden po drugim, naciskając pomiędzy nimi klawisz DT , DATA lub podobny.
Krok 4: uzyskaj wynik
Ostatnim krokiem jest po prostu zapytanie kalkulatora o odchylenie standardowe. Lokalizacja wyników różni się znacznie w zależności od modelu i marki kalkulatorów. W niektórych musisz nacisnąć klawisz SHIFT , a następnie klawisz, który mówi S-VAR powyżej , w innych jest inaczej. Wskazane jest zapoznanie się z instrukcją obsługi kalkulatora.
Po uzyskaniu odpowiedniego menu musimy wybrać, które z dwóch odchyleń standardowych potrzebujemy. Jeśli są to dane dotyczące populacji, wybieramy opcję, która mówi σ lub σ(n). Jeśli są to przykładowe dane, wybieramy opcję, która mówi σ(n-1) lub S.
Jak obliczyć odchylenie standardowe w programie Microsoft® Excel™
Najłatwiejszym sposobem obliczenia odchylenia standardowego są arkusze kalkulacyjne, takie jak Excel lub Arkusze Google. Te programy mają już wszystkie protokoły do obliczania różnych zmiennych statystycznych, których możemy potrzebować. Odbywa się to w dwóch prostych krokach:
Krok 1: wklej lub dodaj dane
Jest to tak proste, jak bezpośrednie skopiowanie danych, jedna po drugiej, do oddzielnych komórek (w postaci kolumn, wierszy lub macierzy, nie ma znaczenia jaka). W przypadku naszego przykładu:
KROK 2: Napisz wzór na odchylenie standardowe, którego potrzebujemy
Zależy to od używanego arkusza kalkulacyjnego i ustawionego języka. W przypadku programu Microsoft® Excel™, wersja hiszpańska, wzory na odchylenie standardowe są następujące:
| Odchylenie standardowe próbki (S): | =ODCH.STANDARDOWE.M(dane 1; dane 2;…; dane n) |
| Odchylenie standardowe populacji (σ): | =STDEV.P(dane 1; dane 2;…;dane n) |
Nie musisz wprowadzać poszczególnych danych, wystarczy zaznaczyć komórki, do których dane zostały już wklejone. W naszym przykładzie dane mieszczą się w zakresie od komórki B1 do komórki F3, która jest zapisana jako B2:F3.
Wreszcie, klawisz ENTER jest wciśnięty i GOTOWE! Otrzymuje się odchylenie standardowe.
Bibliografia
- Bhandari, P. (2021, 21 stycznia). Zrozumienie i obliczenie odchylenia standardowego . Pobrane z https://www.scribbr.com/statistics/standard-deviation/
- Espinoza, CI i Echecopar, AL (2020). Aplikacje statystyczne wykorzystujące MS Excel z przykładami krok po kroku (wydanie hiszpańskie) ( wyd . 1). Lima, Peru: Luis Felipe Arizmendi Echecopar i Duo Negocios SAC.
- Webster, A. (2001). Statystyka stosowana w biznesie i gospodarce (wydanie hiszpańskie) . Toronto, Kanada: Irwin Professional Publishing.
- DEVESTA (funkcja DEVESTA) . Wsparcie Microsoft Office. Pobrano z https://support.microsoft.com/es-es/office/desvesta-funci%C3%B3n-desvesta-5ff38888-7ea5-48de-9a6d-11ed73b29e9d .
