Wzory na znalezienie momentu bezwładności

Obrotowy moment bezwładności lub po prostu bezwładność obrotowa jest skalarną wielkością fizyczną typową dla każdego obiektu, który ma masę, i mierzy, jak trudno jest obrócić go wokół określonej osi obrotu. Jest obrotowym odpowiednikiem bezwładności liniowej i jako taka jest wielkością wyrażającą trudność zmiany prędkości obiektu, czy to w spoczynku, czy w ruchu, z tą różnicą, że w tym przypadku chodzi o kąt prędkość.

Wielkość ta ma ogromne znaczenie w opisie ruchu obrotowego, ponieważ pozwala zrozumieć różnicę w zachowaniu się ciał, które pomimo tego samego kształtu zewnętrznego i masy zachowują się inaczej pod wpływem sił momentu obrotowego, które powodują, że kręcić się. Różnica ta wynika z różnicy w rozkładzie masy ciała wokół osi obrotu. Z powyższego wynika, że ​​to samo ciało może mieć różne momenty bezwładności obrotowej w zależności od jego położenia względem osi obrotu, co prowadzi do różnych wzorów do obliczania momentu bezwładności.

Biorąc powyższe pod uwagę, jasne jest, że wzorów na znalezienie momentu bezwładności jest tyle, ile jest możliwych kształtów istniejących obiektów i osi obrotu. Istnieją jednak szczególne przypadki regularnych kształtów geometrycznych, które obracają się wokół osi, które pojawiają się naturalnie w praktyce. W kolejnych podrozdziałach zobaczymy najważniejsze wzory do wyznaczania obrotowego momentu bezwładności tych ciał.

Wzór na moment bezwładności cząstki punktowej

Moment bezwładności cząstki punktowej odpowiada pierwotnej definicji tej wielkości fizycznej. Wyrażenie to pochodzi od wyrażenia na energię kinetyczną ruchu obrotowego, gdy jest zapisane jako prędkość kątowa, w.

Załóżmy, że mamy cząstkę o masie m obracającą się wokół centralnej osi, jak poniżej:

Energia kinetyczna tej cząstki, podobnie jak każdej innej poruszającej się cząstki, jest określona przez połowę iloczynu jej masy i jej prędkości (wartości jej prędkości) podniesionej do kwadratu, czyli 1/2 mv ² . Jeśli jednak jedynym ruchem, który opisuje ta cząstka, jest obrót wokół osi (nie ma translacji), możemy wyrazić prędkość liniową cząstki jako funkcję jej prędkości kątowej, zapisując v = rω. W ten sposób energię kinetyczną, która w tym przypadku jest wyłącznie energią kinetyczną ruchu obrotowego, wyraża się jako:

Gdzie moment bezwładności, I , cząstki jest zdefiniowany jako:

W tym wyrażeniu m to masa cząstki punktowej, a r to promień obrotu lub, co jest tym samym, odległość od osi obrotu do cząstki.

Wzór na moment bezwładności zbioru cząstek punktowych

Załóżmy teraz, że nie mamy pojedynczej cząstki obracającej się wokół osi, ale że mamy układ składający się z n cząstek, z których każda ma określoną masę m i każda obraca się w odległości r _i od _osi obrotu , taki jak układ trzech cząstek pokazany poniżej.

Gdybyśmy chcieli obliczyć całkowitą energię kinetyczną tego układu, musielibyśmy tylko dodać energie kinetyczne każdej z trzech cząstek. Jeśli rozszerzymy tę ideę na ogólny przypadek n cząstek i założymy, że wszystkie poruszają się z tą samą prędkością kątową (ponieważ obracają się razem), wówczas całkowita energia kinetyczna ruchu obrotowego układu będzie dana wzorem:

Stąd wynika, że ​​całkowity moment bezwładności układu n cząstek, które obracają się razem wokół tej samej osi, z których każda ma własną masę i własny promień bezwładności, jest określony wzorem:

Ten wzór działa zarówno dla cząstek punktowych, jak i dla cząstek kulistych dowolnej wielkości, o ile oś obrotu znajduje się poza sferą. Jeśli ten warunek jest spełniony, to promień odpowiada odległości między osią a środkiem kuli, a masa odpowiada całkowitej masie kuli.

Wzór całkowy na moment bezwładności ciał sztywnych

Powyższy wzór na moment bezwładności dotyczy układów tworzonych przez cząstki punktowe i dyskretne. Można go jednak rozszerzyć na ciała sztywne, które mają ciągły rozkład masy, tak jak dzieje się to w przybliżeniu z ciałami makroskopowymi.

W takich przypadkach obliczenie momentu bezwładności polega na podziale ciała na elementy o małej masie (Δm _i ), z których każdy znajduje się w odległości r _i od osi obrotu, a następnie zastosowaniu poprzedniego równania. Jeśli jednak przesuniemy rozmiar elementu masy do granicy, w której stanie się on elementem nieskończenie małym lub różniczką masy (dm), wówczas sumowanie stanie się całką, jak pokazano poniżej:

Jest to ogólne wyrażenie pozwalające znaleźć moment bezwładności dowolnego ciała sztywnego, niezależnie od jego kształtu lub rozkładu masy. W większości przypadków, aby przeprowadzić całkowanie, element masy dm zastępuje się iloczynem gęstości ciała pomnożonej przez różnicę objętości dV . Pozwala to na przeprowadzenie całkowania po całej objętości bryły sztywnej, nawet jeśli rozkład masy nie jest równomierny (o ile wiadomo, jak zmienia się w zależności od położenia).

W tym przypadku całkowym wyrażeniem momentu bezwładności jest:

Następnie przedstawimy wynik całkowania poprzedniego wyrażenia dla różnych ciał sztywnych o regularnych kształtach, takich jak między innymi pierścienie, walce i kule. We wszystkich opisanych poniżej przypadkach wymiary i masy rozpatrywanych ciał są reprezentowane dużymi literami, aby odróżnić je od zmiennych całkowania.

Wzór na moment bezwładności cienkiego jednorodnego pierścienia o promieniu R wokół jego osi centralnej

Jednym z najprostszych przypadków całkowania poprzedniego równania jest jednolity pierścień, który obraca się wokół swojego środka symetrii. Poniższy rysunek przedstawia ten przypadek.

W szczególnym przypadku, w którym grubość pierścienia jest pomijalna w porównaniu z jego promieniem, możemy uznać go za masę rozłożoną na obwodzie bez grubości, tak że wszystkie elementy masowe mają zasadniczo ten sam promień, w tym przypadku R. Biorąc pod uwagę te warunki, promień opuszcza całkę, pozostawiając tylko całkę masy różniczkowej dm, która jest po prostu masą pierścienia M. Wynik jest następujący:

W tym wyrażeniu CM wskazuje, że jest to moment bezwładności wokół jego środka masy.

Wzór na moment bezwładności bryłowej kuli o promieniu R obracającej się wokół swojego środka

W przypadku bryłowej kuli o promieniu R i jednolitej gęstości, która obraca się wokół dowolnej ze swoich średnic (osi przechodzącej przez jej środek), takiej jak pokazana poniżej, poprzednią całkę można rozwiązać na różne sposoby, między innymi za pomocą sferycznego układu współrzędnych.

Wynikiem całkowania w tym przypadku jest:

Wzór na moment bezwładności kulistej powłoki o promieniu wewnętrznym R ₁ i promieniu zewnętrznym R ₂ wokół jej środka

Jeśli zamiast pełnej kuli jest to wydrążona kula lub kulista powłoka o grubych ścianach, musimy wziąć pod uwagę dwa promienie, zewnętrzny i wewnętrzny. Są one pokazane na poniższym rysunku.

W tym przypadku rozwiązaniem jest potraktowanie kulistej powłoki jako kuli o promieniu R2, z której usunięto kulę z tego samego materiału z jej środka o promieniu R1. Po określeniu masy, jaką miałaby duża kula i masy małej kuli, która została wycofana przez gęstość pierwotnej powłoki, bezwładności obu kul są odejmowane, aby otrzymać:

Wzór na moment bezwładności cienkiej sferycznej powłoki o promieniu R wokół jej środka

W przypadku, gdy grubość kulistej powłoki jest pomijalna w stosunku do jej promienia lub, co jest tym samym, że R1 _jest praktycznie równe R2 _, moment bezwładności możemy obliczyć tak, jak gdyby był to powierzchniowy rozkład masy, wszystko to znajduje się w odległości R od centrum.

W tym przypadku mamy dwie możliwości. Pierwszym jest rozwiązanie całki od podstaw. Drugi polega na przyjęciu poprzedniego wyniku, wyniku grubej kulistej powłoki, i uzyskaniu granicy, gdy R1 dąży do R2. Wynik jest następujący:

Wzór na moment bezwładności cienkiego pręta o długości L wokół osi prostopadłej przechodzącej przez jego środek masy

Kiedy mamy cienki pręt, w zasadzie możemy myśleć o nim jako o liniowym rozkładzie masy, niezależnie od kształtu jego profilu (tj. niezależnie od tego, czy jest to pręt cylindryczny, kwadratowy czy inny). W takich przypadkach jedyną rzeczą, która ma znaczenie, jest równomierne rozłożenie ciasta na całej długości batonu.

W tym przypadku moment bezwładności wyraża się wzorem:

Wzór na moment bezwładności cienkiego pręta o długości L wokół osi prostopadłej przechodzącej przez jeden koniec

Jest to ten sam przypadek, co powyżej, ale z całym prętem obracającym się wokół osi prostopadłej do jednego końca:

Ponieważ masa pręta znajduje się średnio w większej odległości od osi obrotu, moment bezwładności będzie większy. W rzeczywistości jest czterokrotnie większy niż w poprzednim przypadku, jak pokazuje następujące wyrażenie:

Należy zauważyć, że w tym przypadku oś nie przechodzi przez środek masy, więc indeks dolny CM symbolu momentu bezwładności został pominięty.

Wzór na moment bezwładności litego walcowego pręta o promieniu R wokół jego osi środkowej

Przypadek ten rozwiązuje się w bardzo prosty sposób, stosując cylindryczny układ współrzędnych i rozważając cylinder tak, jakby był utworzony z koncentrycznych cylindrycznych powłok o równej długości, ale o różnych promieniach. Następnie promień jest całkowany od r = 0 do r = R.

Wynikiem tego procesu jest wzór na bezwładność walcowego pręta, który wynosi:

Należy zauważyć, że ponieważ wynik ten nie zależy od długości walca, to samo wyrażenie można zastosować w przypadku okrągłego dysku.

Wzór na moment bezwładności wydrążonego walca o promieniu wewnętrznym R ₁ i promieniu zewnętrznym R ₂ wokół jego osi środkowej

Ten przypadek jest podobny do przypadku grubej kulistej skorupy. Jest stosowana, gdy grubość skorupy lub różnica między jej promieniami zewnętrznymi i wewnętrznymi jest tego samego rzędu wielkości, co same promienie, a zatem nie możemy uznać, że masa jest skoncentrowana na powierzchni. Wręcz przeciwnie, musimy wziąć pod uwagę, że jest to trójwymiarowy rozkład masy wzdłuż grubości skorupy.

Podobnie jak w przypadku grubej kulistej powłoki, moment bezwładności wydrążonego walca o promieniu wewnętrznym R1 _i promieniu zewnętrznym R2 _można znaleźć przez całkowanie bezpośrednie lub odejmując moment bezwładności od cylindra, który został wycofany podczas otwierania środkowego otworu, momentu bezwładności litego cylindra, który ma taką samą gęstość jak powłoka, korzystając ze wzoru z poprzedniej sekcji dla każdej z tych dwóch bezwładności.

Wynik każdej z tych dwóch strategii jest taki sam i został przedstawiony poniżej:

Podobnie jak w poprzednim przypadku, ponieważ wynik ten nie zależy od długości walca, możemy go wykorzystać do obliczenia momentu bezwładności okrągłej tarczy z otworem w środku, takiej jak np. Płyta Blu-ray.

Wzór na moment bezwładności cienkiej cylindrycznej powłoki o promieniu R wokół jej osi środkowej

W przypadku gdy mamy wydrążony walec, taki jak pokazany na poniższym rysunku, w którym grubość cylindrycznej powłoki jest bardzo mała w porównaniu z promieniem walca, możemy założyć, że masa jest rozłożona tylko na powierzchni o promieniu R .

Podobnie jak w innych przypadkach, możemy przeprowadzić bezpośrednie całkowanie za pomocą powierzchniowej gęstości masy lub możemy ocenić wynik grubej cylindrycznej powłoki w granicy, w której R1 dąży do R2. Wynik to:

Ponownie zauważamy, że wynik ten jest niezależny od długości. Oznacza to, że dotyczy to w równym stopniu cienkiej obręczy. W rzeczywistości możemy zweryfikować, że jest to ten sam wynik uzyskany w przekroju odpowiadającym cienkiemu pierścieniowi.

Wzór na moment bezwładności regularnej prostokątnej płyty wokół osi prostopadłej przechodzącej przez jej środek

Na koniec rozważ przypadek prostokątnej płyty, która obraca się wokół osi prostopadłej do dowolnej z jej powierzchni, przechodzącej przez jej środek ciężkości, jak pokazano poniżej.

Wynikiem integracji bezpośredniej jest:

Podobnie jak w poprzednich przypadkach, wynik ten jest niezależny od wysokości lub grubości płyty, więc odnosi się zarówno do arkusza papieru, jak i do litego bloku cementowego.

Bibliografia

Khan academy. (nd). Bezwładność obrotowa (artykuł) . https://en.khanacademy.org/science/physics/torque-angular-momentum/torque-tutorial/a/rotational-inertia

Jedna klasa. (2020, 6 października). OneClass: Zaczynając od wzoru na moment bezwładności pręta . https://oneclass.com/homework-help/physics/6942744-moment-of-inertia-bar.en.html

Serway RA, Beichner RJ i Jewett JW (1999). Fizyka dla naukowców i inżynierów ze współczesną fizyką: 2: t. Tom I (wydanie piąte). Wzgórze McGrawa.

Snapsolve. (nd). Moment bezwładności wydrążonej grubej kulistej powłoki . https://www.snapsolve.com/solutions/Themoment-of-inertia-of-a-hollow-thick-spherical-shell-of-mass-M-and-its-inner-r-1681132593667073