Znaczenie centralnego twierdzenia granicznego

Centralne twierdzenie graniczne jest podstawowym twierdzeniem teorii prawdopodobieństwa. Termin „centralny” jest równoważny z fundamentalnym lub o centralnym znaczeniu i został ukuty przez George’a Polyá w 1920 r., Oznaczając znaczenie twierdzenia w teorii prawdopodobieństwa. Twierdzenie graniczne ma kilka wersji proponowanych przez różnych matematyków. Zasadniczo centralne twierdzenie graniczne mówi, że przy pewnych hipotezach rozkład sumy bardzo dużej liczby zmiennych losowych jest zbliżony do rozkładu normalnego .

Centralne twierdzenie graniczne

Stwierdzenie centralnego twierdzenia granicznego jest abstrakcyjne, ale zobaczmy, jak je zrozumieć krok po kroku. Załóżmy, że mamy prostą losową próbę n elementów z populacji będącej przedmiotem zainteresowania. W tej próbie można obliczyć średnią próbki, która reprezentuje średnią populacji będącej przedmiotem zainteresowania. Rozkład średniej próbki można wygenerować, wybierając wielokrotnie proste próbki losowe z tej samej populacji, które mają tę samą wielkość, a następnie obliczając średnią z każdej z tych próbek. Każda z prostych próbek losowych musi być niezależna od pozostałych.

Centralne twierdzenie graniczne dotyczy rozkładu średnich z próby i mówi, że rozkład ten jest zbliżony do rozkładu normalnego. Im większe proste próby losowe, tym lepsze przybliżenie do rozkładu normalnego rozkładu średnich z próby. Należy zauważyć, że centralne twierdzenie graniczne stwierdza, że ​​w tych warunkach rozkład średniej próbki jest normalny, niezależnie od jej początkowego rozkładu. Nawet jeśli populacja ma rozkład skośny, co jest częstą sytuacją podczas badania parametrów, takich jak dochody ludzi lub ich waga, rozkład średniej próby będzie normalny, jeśli wielkość próby będzie wystarczająco duża.

I właśnie w tym momencie leży znaczenie centralnego twierdzenia granicznego, ponieważ pozwala ono uprościć problemy statystyczne podczas pracy z rozkładem, który można uznać za normalny. Istnieje wiele bardzo istotnych zastosowań, w których konieczne jest uwzględnienie, że populacja ma rozkład normalny, takich jak testy hipotez lub określanie przedziałów ufności.

Nie jest trudno znaleźć zestawy danych z rzeczywistego świata, które pokazują wartości odstające, rozkłady skośne lub wiele pików. Ale stosując centralne twierdzenie graniczne, jeśli wybrano odpowiednią wielkość próby, można rozwiązać problemy, w których populacje nie mają rozkładu normalnego. Dlatego nawet jeśli rozkład badanej populacji nie jest znany, centralne twierdzenie graniczne zapewnia, że ​​jeśli weźmiemy wystarczająco duże próbki, rzeczywisty rozkład można przybliżyć rozkładem normalnym. W określonych sytuacjach eksploracyjna analiza danych może pomóc w zmierzeniu wielkości próby, tak aby centralne twierdzenie graniczne było ważne.

Fontanna

Jimena Blaiotta, Pablo Delieutraz. Centralne twierdzenie graniczne .  Wydział Nauk Ścisłych i Przyrodniczych, Uniwersytet Buenos Aires, Argentyna, 2004.