Reguła mnożenia dla niezależnych zdarzeń

Istnieje wiele sytuacji, w których jesteśmy zainteresowani znalezieniem prawdopodobieństwa wystąpienia dwóch zdarzeń jednocześnie. Niektórzy z nich są:

• Znajdź prawdopodobieństwo wyrzucenia podwójnej szóstki, gdy rzucasz dwiema kośćmi jednocześnie lub jedną po drugiej.
• Znajdź prawdopodobieństwo, że osoba wybrana losowo z grupy jest zarówno kobietą, jak i ciemnoskórą.
• Prawdopodobieństwo wybrania pary uczniów przeciwnej płci z oddziału szkolnego.
• Prawdopodobieństwo jednoczesnej awarii dwóch redundantnych systemów sterowania podczas startu rakiety kosmicznej.

Tę klasę problemów można rozwiązać za pomocą ogólnej zasady mnożenia prawdopodobieństw. Reguła ta stanowi, że dla dwóch zdarzeń A i B prawdopodobieństwo ich jednoczesnego wystąpienia, czyli prawdopodobieństwo przecięcia się, wyraża się wzorem:

W tym równaniu P(A|B) jest warunkowym prawdopodobieństwem wystąpienia zdarzenia A przy danym B. Powyższe jest ogólną zasadą mnożenia i dotyczy dowolnej pary zdarzeń. W niektórych przypadkach prawdopodobieństwo warunkowe jest nieznane lub trudne do określenia; jednak w przypadku zdarzeń niezależnych prawdopodobieństwo to jest uproszczone, dając podstawę do reguły mnożenia dla zdarzeń niezależnych.

Reguła mnożenia dla niezależnych zdarzeń

Co to są wydarzenia niezależne?

Dwa zdarzenia A i B są od siebie niezależne, jeśli zajście jednego z nich nie wpływa na prawdopodobieństwo zajścia drugiego. W kategoriach matematycznych oznacza to, że prawdopodobieństwo warunkowe zajścia jednego ze zdarzeń, zakładając, że zaszło drugie, jest równe prostemu prawdopodobieństwu zajścia pierwszego. Innymi słowy, dwa zdarzenia będą niezależne tylko wtedy, gdy:

Interpretacja powyższego jest taka, że ​​prawdopodobieństwo wystąpienia A przy założeniu, że wystąpiło B, jest równe prawdopodobieństwu wystąpienia A. Oznacza to, że wystąpienie B nie wpłynęło na prawdopodobieństwo wystąpienia A, więc oba zdarzenia zachodzą. sposób.

Każda para zdarzeń niespełniających powyższego warunku będzie zdarzeniami zależnymi.

Jak w tym przypadku wpływa reguła mnożenia?

Jak widać, pierwsze wyrażenie warunku niezależności można wykorzystać do uproszczenia ogólnej reguły mnożenia, ponieważ pierwszy czynnik można zastąpić prostym prawdopodobieństwem A, otrzymując w ten sposób następujące wyrażenie:

Powyższe wyrażenie jest znane jako zasada mnożenia prawdopodobieństw zdarzeń niezależnych . Oznacza to, że jeśli wiemy, że dwa zdarzenia są od siebie niezależne i znamy prawdopodobieństwo ich wystąpienia, to możemy znaleźć prawdopodobieństwo, że oba wystąpią w tym samym czasie, po prostu mnożąc te prawdopodobieństwa.

Przykłady niezależnych zdarzeń

Brak informacji może utrudnić określenie, czy dwa zdarzenia są niezależne. Na przykład mogłoby nam się wydawać, że brązowe włosy nie mają nic wspólnego z występowaniem raka piersi, ale fizjologia ludzkiego organizmu jest tak złożona, że ​​żaden lekarz nie odważyłby się tego stwierdzić.

Istnieje jednak wiele prostych eksperymentów, w których możemy łatwo stwierdzić, czy dwa zdarzenia są niezależne.

• Rzuć dwiema kostkami jednocześnie. Rzucając dwoma kośćmi, wynik jednej nie wpływa w żaden sposób na wynik drugiej kości, więc zdarzenie, w którym jedna kość wypadnie na danej liczbie, jest niezależne od zdarzenia, w którym druga kość wypadnie na innej liczbie. to samo, nawet.
• Wyniki rzutu tą samą kostką dwa razy z rzędu są również niezależne od siebie z tych samych powodów.
• Rzuć dwukrotnie monetą. Fakt, że wypadnie orzeł lub reszka za pierwszym razem, nie wpłynie na wynik następnego rzutu.
• W fabryce lodówek, która ma dwie niezależne linie produkcyjne dla komponentów wykorzystujących oddzielne surowce i robociznę, można założyć, że prawdopodobieństwo awarii jednego z dwóch komponentów jest niezależne od prawdopodobieństwa awarii drugiego.
• Losowe dobranie karty lub talii z talii, zastąpienie jej, a następnie losowe dobranie innej karty z talii to osobne zdarzenia, ponieważ zastąpienie oryginalnej karty w talii resetuje szanse na wyciągnięcie którejkolwiek z oryginalnych kart.

Przykłady zdarzeń, które nie są niezależne

• Losowe wyciągnięcie karty lub talii z talii, a następnie wyciągnięcie kolejnej karty z tej samej talii bez zastąpienia pierwszej nie są zdarzeniami niezależnymi, ponieważ wyciągnięcie pierwszej zmniejsza całkowitą liczbę kart znajdujących się w talii, co wpływa na prawdopodobieństwo wychodzi inna karta. Ponadto, jeśli nie wymienimy pierwszej karty, prawdopodobieństwo, że ta karta wypadnie po raz drugi, wynosi zero.
• W pracującym samochodzie prawdopodobieństwo przegrzania silnika samochodu i prawdopodobieństwo awarii pompy wodnej chłodzącej silnik nie są zdarzeniami niezależnymi, ponieważ w przypadku awarii pompy wodnej znacznie bardziej prawdopodobne jest przegrzanie silnika.
• Jeszcze łatwiejszym do zrozumienia przykładem jest to, że uzyskiwanie dobrych ocen ze statystyki nie jest niezależne od nauki , ponieważ jeśli się uczymy, mamy większe szanse na uzyskanie dobrych ocen.

Przykłady obliczeń prawdopodobieństwa z wykorzystaniem reguły mnożenia dla zdarzeń niezależnych

Przykład 1: Dwukrotny rzut monetą

Załóżmy, że chcemy obliczyć prawdopodobieństwo, że przy dwukrotnym rzucie monetą wypadnie orzeł w obu rzutach.

Jeśli nazwiemy A zdarzeniem, w którym pierwszy rzut wypadnie reszką, a B zdarzeniem, w którym drugi rzut wypadnie reszką, to prawdopodobieństwo, o które jesteśmy proszeni, jest prawdopodobieństwem przecięcia się A z B, ponieważ chcemy, aby oba zdarzenia miały miejsce . Oznacza to, że niewiadomą jest P(A∩B).

Ponieważ są tylko dwa możliwe wyniki każdego rzutu, prawdopodobieństwo wystąpienia każdego zdarzenia jest takie samo:

Teraz, ponieważ wiemy, że zdarzenia są niezależne, możemy użyć reguły mnożenia, aby określić prawdopodobieństwo przecięcia:

Przykład 2: Rzut dwiema kostkami

Obliczmy prawdopodobieństwo, że przy rzucie dwiema zwykłymi sześciościennymi kostkami jedna z nich wyląduje na jednej, a druga na parzystej liczbie.

Nazwijmy następujące zdarzenia A i B:

       A = jedna z kostek wypada na 1.

       B = jedna z kostek wypada na parzystej liczbie.

To, co chcemy obliczyć, to znowu P(A∩B).

Ponieważ wynik każdej kostki jest niezależny od liczby, która daje drugą, możemy obliczyć P(A∩B) za pomocą reguły mnożenia dla niezależnych zdarzeń. Ale najpierw potrzebujemy prawdopodobieństw A i B.

Kostka ma 6 ścianek z liczbami od 1 do 6, które się nie powtarzają. Zatem jest tylko jedna 1, a są trzy liczby parzyste, a mianowicie 2, 4 i 6. Zatem prawdopodobieństwa wystąpienia oddzielnych zdarzeń wynoszą:

Korzystając z tych prawdopodobieństw i reguły mnożenia, otrzymujemy pożądane prawdopodobieństwo:

Przykład 3: Części, które uległy awarii

Fabryka produkująca sprzęt komputerowy wykorzystuje między innymi dwa różne chipy lub układy scalone pochodzące od dwóch różnych producentów. Według producenta pierwszego chipa prawdopodobieństwo jego awarii w normalnych warunkach pracy wynosi 0,00133. Ze swojej strony drugi producent chwali się, że tylko dwa jego układy ulegają awarii na każde 5000 zainstalowanych jednostek. Właściciel fabryki chce znaleźć prawdopodobieństwo, że oba komponenty ulegną awarii w tym samym czasie. Awarię każdej marki chipów można uznać za niezależną od drugiej.

W tym przypadku sama instrukcja określa, że ​​te dwa zdarzenia są niezależne, więc możemy zastosować powyższą regułę mnożenia. Dodatkowo podane jest również prawdopodobieństwo awarii pierwszego chipa, które nazwiemy zdarzeniem A. Prawdopodobieństwo awarii drugiego chipa (zdarzenie B) można obliczyć na podstawie informacji dostarczonych przez producenta:

Tak więc prawdopodobieństwo, że oba komponenty ulegną awarii w tym samym czasie, wynosi:

Bibliografia

Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność . (nd). Zdrowia Uniwersytetu Florydy. https://bolt.mph.ufl.edu/6050-6052/unit-3/module-7/

Pożerać, JL (1998). PRAWDOPODOBIEŃSTWO I STATYSTYKA DLA INŻYNIERII I NAUK . Międzynarodowi wydawcy Thomson, SA

Frost, J. (2021, 10 maja). Reguła mnożenia do obliczania prawdopodobieństw . Statystyki autorstwa Jima. https://statisticsbyjim.com/probability/multiplication-rule-calculating-probabilities/

Zasada mnożenia, rozwiązane zadania . (2021, 1 stycznia). MateMobile. https://matemovil.com/regla-de-la-multiplicacion-o-producto-de-probabilidades/

Reguła mnożenia prawdopodobieństwa . (nd). Nauczyciele uniwersyteccy. https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/multiplication-rule-of-probability

Reguła mnożenia (prawdopodobieństwo) [Przykłady] . (nd). Fhybea. https://www.fhybea.com/multiplication-rule.html

Ogólna zasada mnożenia . (nd). Khan academy. https://www.khanacademy.org/math/ap-statistics/probability-ap/probability-multiplication-rule/a/general-multiplication-rule