Wzory do obliczania pól i objętości figur geometrycznych

Wzory do obliczania pola i objętości kuli to:

• Powierzchnia = 4πr ²
• Objętość = (4/3)πr ³

2. Obliczanie pola powierzchni i objętości stożka

Stożek to ostrosłup o okrągłej podstawie, którego nachylone boki stykają się w centralnym punkcie na osi stożka z linią prostopadłą do płaszczyzny podstawy przechodzącą przez środek obwodu stanowiącego podstawę stożka, jak pokazano Możesz zobaczyć na powyższym rysunku. Aby obliczyć pole powierzchni lub objętość, należy znać promień podstawy r i długość boku s . Jeżeli długość boku s nie jest znana , można ją obliczyć znając wysokość stożka h (patrz rysunek powyżej).

s = √ (r ² + godz ² )

Całkowitą powierzchnię stożka można obliczyć jako sumę pola podstawy i pola powierzchni bocznej.

• Powierzchnia bazowa: πr ²
• Powierzchnia boczna: πrs
• Powierzchnia całkowita = πr ²   + πrs

Aby obliczyć objętość stożka, potrzebujesz tylko promienia podstawy i wysokości.

• Objętość = 1/3 πr ² godz

3. Obliczanie pola powierzchni i objętości walca

Obliczenia powierzchni i objętości są łatwiejsze dla walca niż dla stożka. Cylinder ma okrągłą podstawę, a linie, które po obróceniu tworzą powierzchnię boczną, są równoległe i prostopadłe do podstawy. Aby obliczyć pole powierzchni lub objętość, potrzebny jest tylko promień r  i wysokość h .

Podobnie jak w przypadku stożka, pole powierzchni jest sumą powierzchni, które go tworzą; suma powierzchni górnej podstawy i dolnej podstawy (które są równe) oraz pola powierzchni bocznej.

• Powierzchnia = 2πr ²  + 2πrh
• Objętość = πr ^2h

4. Obliczanie powierzchni i objętości prostopadłościanu

Prostokąt rozłożony w trzech wymiarach staje się prostopadłościanem; Albo po prostu pudełko. Kiedy wszystkie boki prostopadłościanu są równe, graniastosłup staje się sześcianem. Dlatego zarówno pole powierzchni, jak i objętość oblicza się za pomocą tych samych wzorów. W tym celu konieczna jest znajomość wielkości trzech boków graniastosłupa; a, b i c na górnym rysunku.

• Powierzchnia = 2(ab) + 2(bc) + 2(ac)
• objętość = abc

Jeśli mamy sześcian o boku a , poprzednie formuły stają się

• Powierzchnia sześcianu = 6a ²
• Objętość sześcianu = a ³

5. Obliczanie pola i objętości ostrosłupa o podstawie kwadratowej

W tym przypadku widzimy wzory używane do obliczania pola powierzchni i objętości ostrosłupa o kwadratowej podstawie i trójkątach równobocznych na ścianach. Do obliczeń niezbędna jest znajomość boku kwadratu podstawy b oraz wysokości h , czyli odległości od środka kwadratu podstawy do wierzchołka, jak pokazano na powyższym rysunku. A s będzie wysokością każdego trójkąta równobocznego tworzącego ściany piramidy, którą można obliczyć za pomocą następującego wzoru.

s = √ ((b/2) ² + godz ² )

Podobnie jak w poprzednich przypadkach, pole powierzchni jest sumą pola podstawy plus pole czterech trójkątów równobocznych ścian.

• Powierzchnia = 2bs + b ²
• Objętość = (1/3) b ^2h

6. Obliczanie pola powierzchni i objętości graniastosłupa trójkąta równoramiennego

Aby zastosować wzory do obliczania pola powierzchni i objętości trójkątnego pryzmatu równoramiennego, potrzebne są trzy parametry, zgodnie z powyższym rysunkiem; podstawę trójkąta równoramiennego b , wysokość trójkąta h i długość graniastosłupa l . Definicje są uzupełnione bokami s trójkąta równoramiennego. Bok trójkąta można obliczyć z innych danych trójkąta za pomocą następującego wzoru.

s = √ ((b/2) ² + godz ² )

Wzory do obliczania pola powierzchni i objętości są następujące.

• Pole = bh + 2 l s + l b
• Objętość = (1/2) bh l

Jeśli chcesz obliczyć pole powierzchni i objętość graniastosłupa, który nie jest trójkątem równoramiennym, możesz zastosować następującą procedurę. Możesz wyznaczyć pole A i obwód P podstawy i skorzystać z poniższych wzorów.

• Powierzchnia = 2A + Pl
• Objętość = A l

7. Obliczanie pola i długości wycinka koła

Górna figura przedstawia wycinek koła o promieniu r określonym przez kąt θ , który można wyrazić w stopniach lub radianach. Aby obliczyć pole koła i długość łuku, konieczne jest, aby kąt θ był wyrażony w radianach, więc jeśli jest wyrażony w stopniach, przeliczenia należy dokonać za pomocą następującego wzoru.

kąt θ w radianach = (kąt θ w stopniach) π /180

Powierzchnia okrągłego sektora i długość łuku są obliczane za pomocą następujących wzorów.

• Powierzchnia = (θ/2) r ²  θ w radianach
• Łuk L = θr   θ w radianach

Pole i obwód koła to szczególny przypadek wycinka, który występuje, gdy kąt θ jest równy 2 π . Tak więc pole i obwód koła oblicza się w następujący sposób.

• Powierzchnia koła = π r ² 
• Obwód = 2 πr

8. Obliczanie pola elipsy

Elipsa, znana również jako owal, którą można zidentyfikować jako wydłużone koło, to zbiór punktów, których suma odległości do dwóch stałych punktów zwanych ogniskami jest stała. Na powyższym rysunku ogniska są reprezentowane przez dwa punkty. Elipsę można zdefiniować za pomocą jej dwóch półosi, jak pokazano na rysunku; półoś wielka a i półoś mała b . Pole elipsy oblicza się za pomocą następującego wzoru.

• Powierzchnia = πab

9. Obliczanie pola i obwodu trójkąta

Trójkąt jest jednym z najprostszych kształtów geometrycznych, a obliczenie obwodu jest łatwe, znając długość każdego z jego boków a, b i c . 

• obwód = a + b + do

Do obliczenia pola trójkąta potrzebna jest długość jednego z jego boków, b  jak na powyższym rysunku, oraz odpowiadająca temu bokowi wysokość h  , określona jako długość odcinka poprowadzonego z przeciwległego wierzchołka prostopadle na bok.b. _ Powierzchnia trójkąta jest obliczana jako

• Powierzchnia = (1/2)bh

10. Obliczanie pola i obwodu równoległoboku

Równoległobok to czworokąt, którego przeciwległe boki są równoległe, jak pokazano na powyższym rysunku. Ponieważ przeciwległe boki są równoległe, długości przeciwległych boków będą równe. W przypadku figury są to boki o długości a i b . Obwód równoległoboku to suma jego boków.

• Obwód równoległoboku = 2a + 2b

Aby obliczyć powierzchnię równoległoboku, potrzebna jest wysokość h ; odległość między dwoma równoległymi bokami. Powierzchnię można obliczyć na podstawie wysokości i boku odpowiadającego tej wysokości, b  w przypadku figury.

• Powierzchnia równoległoboku = bh

Prostokąt jest szczególnym przypadkiem równoległoboku; gdy wysokość h jest równa boku a lub, który jest taki sam, gdy sąsiednie boki są prostopadłe, równoległobok jest prostokątem, a wzory na obwód i pole są następujące.

• Obwód prostokąta = 2a + 2b 
• Powierzchnia prostokąta = ab

Z kolei kwadrat jest szczególnym przypadkiem równoległoboku i prostokąta; gdy boki a i b są równe, a sąsiednie boki są prostopadłe. Wzory na obwód i pole kwadratu o boku a są następujące.

• obwód kwadratu = 4a 
• Powierzchnia prostokąta = a ²

11. Obliczanie pola i obwodu trapezu

Trapez to czworokąt, który ma dwa przeciwległe boki, które są równoległe. Dlatego długość jego czterech boków jest różna, na górnym rysunku b , B , c i d , a do obliczenia jego obwodu konieczna jest znajomość tych czterech wartości. Obwód trapezu oblicza się, dodając cztery wartości.

• Obwód = b + B + c + d

Aby obliczyć pole trapezu, należy znać wysokość h  , którą można zaobserwować na górnym rysunku, czyli odległość między dwoma równoległymi bokami.

• Pole = (1/2) (b + B)h

12. Obliczanie pola i obwodu sześciokąta foremnego

Wielokąt o sześciu równych bokach to sześciokąt foremny. Długość każdego boku r jest równa odległości każdego wierzchołka od środka sześciokąta. Apothem ( a na górnym rysunku) to najmniejsza odległość od środka sześciokąta do jednego z boków; jest wysokością każdego trójkąta równobocznego tworzącego sześciokąt. Obwód sześciokąta foremnego oblicza się jako

• obwód = 6r

Chociaż do obliczenia powierzchni sześciokąta foremnego stosuje się następujący wzór

• Pole = (3√3/2)r ²

13. Obliczanie pola i obwodu ośmiokąta foremnego

Regularny ośmiokąt to wielokąt o ośmiu równych bokach. Jeśli długość każdego boku ośmiokąta wynosi r, obwód ośmiokąta foremnego jest obliczany jako

• obwód = 8r

Chociaż do obliczenia powierzchni ośmiokąta foremnego stosuje się następujący wzór

• Pole = 2(1+√2)r ²

Fontanna

Wenninger, Magnus J. Modele wielościanów Cambridge University Press, 1974.