Co to jest średnia z matematyki?

W matematyce średnia, zwana także średnią, to liczba, która podsumowuje wartość zestawu liczb lub danych w jednym . Jest znany jako miara tendencji centralnej, ponieważ reprezentuje w pewien sposób wartość, która znajduje się w centrum zbioru danych.

Po co są średnie?

Średnie są bardzo pomocne, ponieważ pozwalają nam zobaczyć w ogólnych zarysach zachowanie dużej liczby danych bez gubienia się w szczegółach każdej z poszczególnych wartości. Używając analogii, obliczenie średniej pozwala nam zobaczyć las jako całość, zamiast skupiać się na drzewach.

Na przykład możemy mieć tabelę, w której znajdują się wartości wzrostu 100 uczniów tej samej klasy placówki oświatowej. Najprawdopodobniej żadna z tych osób nie ma dokładnie tego samego wzrostu, więc większość wartości w tabeli będzie inna.

Co by się stało, gdyby ktoś zapytał nas, ile wzrostu mają uczniowie tej klasy w tym kampusie? Błędem byłoby podanie wzrostu któregokolwiek z nich jako odpowiedzi. Tutaj zaczynają pomagać średnie. Zamiast zgłaszać 100 różnych wysokości, średnia pozwala podsumować wszystkie te informacje w jednej liczbie. Moglibyśmy więc powiedzieć, że studenci na kampusie mają średnio 1,67 m wzrostu (gdyby tak było).

Nie oznacza to, że nie wszyscy uczniowie mierzą 1,67, ani nawet, że żaden z nich nie ma takiego wzrostu. Po prostu liczba, która najlepiej reprezentuje wzrost uczniów w tej klasie w tym kampusie, wynosi 1,67 m.

Utrata informacji przy obliczaniu średnich

Oczywiście, podsumowując dane w postaci średniej, tracisz wiele informacji. Informacje są poświęcane dla jasności. Obliczanie średnich jest częścią tak zwanej statystyki opisowej, która jest niczym innym jak zestawem technik i obliczeń, które pozwalają opisać zachowanie lub charakterystykę dużego zbioru danych za pomocą kilku liczb.

Same średnie zwykle nie dostarczają wystarczających informacji dla wielu aplikacji, które im składamy. Aby odzyskać część brakujących informacji, często podaje się średnie wraz z pewną miarą rozproszenia poszczególnych danych wokół średniej, taką jak wariancja lub odchylenie standardowe.

Rodzaje średnich i ich wzory

Istnieją różne sposoby obliczania średniej ze zbioru danych. Prowadzi to do różnych rodzajów średnich, a raczej średnich.

• Średnia arytmetyczna (X̅ lub AM)
• Ważona średnia arytmetyczna (WAM)
• Średnia geometryczna (GM)
• Średnia harmoniczna (HM)
• Średnie kwadraty pierwiastków (RMS)

Średnia arytmetyczna (X̅ lub AM)

Średnia arytmetyczna lub AM jest najczęściej używaną formą średniej w życiu codziennym. Jest to prosta suma elementów do uśrednienia, podzielona przez całkowitą liczbę elementów lub danych.

Średnia arytmetyczna jest reprezentowana w wielu kontekstach matematycznych przez symbol reprezentujący uśrednioną zmienną z kreską nad nią. Na przykład średnia arytmetyczna zmiennej X jest reprezentowana jako X̅ (X-bar). Czasami jest również reprezentowany przez AM _X . Jego formułę podaje:

W tym równaniu Xi reprezentuje _i -ty pojedynczy element danych, a n jest całkowitą liczbą uśrednianych elementów danych.

Ta średnia ma tę właściwość, że znajduje się w centrum wszystkich danych, w taki sposób, że suma odchyleń wszystkich poszczególnych danych w stosunku do średniej wynosi zawsze zero.

Średnia arytmetyczna jest bardzo wrażliwa na wartości odstające lub dane ekstremalne. Oznacza to, że gdy w zbiorze danych istnieje wartość, która jest albo znacznie większa niż zdecydowana większość innych danych, albo znacznie mniejsza, te skrajne dane przyciągają średnią w jej kierunku, oddalając ją od większości innych danych.

Ważona średnia arytmetyczna (WAM lub W)

Średnia arytmetyczna nadaje jednakową wagę wszystkim uśrednianym danym. Jednak nie zawsze jest to wygodne, ponieważ niektóre dane mogą być ważniejsze niż inne. W takich przypadkach stosuje się ważoną średnią arytmetyczną lub średnią ważoną, która jest zwykle reprezentowana przez symbol W (z angielskiego „ ważona średnia” ).

W przypadku uśredniania ważonego względna ważność każdego elementu danych jest wprowadzana do obliczeń w postaci określonego współczynnika ważenia ( wi ₎ dla każdego elementu danych ( Xi ₎ . Im większa ważność danych, tym większy współczynnik ich ważenia, a tym samym większy wpływ na ostateczną średnią. Wzór na obliczenie średniej ważonej to:

Współczynnik wagowy można wybrać arbitralnie, aw niektórych przypadkach można go nawet obliczyć za pomocą odpowiedniej funkcji wagowej, jeśli uzna się to za konieczne.

Przykład sytuacji, w której średnia ważona jest bardziej odpowiednia niż średnia prosta, podano w przypadku obliczania średniej ocen studenta. Średnia arytmetyczna lub prosta średnia nie jest odpowiednia w tych przypadkach, ponieważ istnieją przedmioty, które wymagają znacznie więcej pracy i poświęcenia niż inne, a także przedmioty, które są ważniejsze niż inne dla akademickiej przyszłości studenta. Z tego powodu powinni wnosić większy wkład w GPA niż mniej ważne przedmioty.

W takich przypadkach liczba jednostek kredytowych podmiotu jest zwykle stosowana jako czynnik ważący.

średnia geometryczna (GM)

Przy obliczaniu średniej geometrycznej zamiast sumowania danych i dzielenia ich przez liczbę danych mnoży się razem n poszczególnych danych i bierze się n-ty pierwiastek z iloczynu łącznego.

Ta średnia ma tę właściwość, że wynosi zero, jeśli którekolwiek z uśrednianych danych wynosi zero. Ponadto, jeśli liczba elementów danych jest parzysta, to średnia geometryczna nie jest zdefiniowana dla danych ujemnych, dlatego jej użyteczność jest ograniczona do liczb ściśle dodatnich.

Ten typ średniej jest często używany przy obliczaniu średnich procentowych.

Średnia harmoniczna (HM)

Średnia harmoniczna, czyli HM, jest rodzajem średniej często używanej do uśredniania wielkości obliczanych jako iloczyny lub ilorazy. Niektóre ważne przykłady to obliczanie średnich prędkości podczas podróży o równej długości, stosunek ceny do zysku (PER) inwestycji na giełdzie itp.

Wzór na obliczenie średniej harmonicznej składa się z odwrotności średniej arytmetycznej odwrotności poszczególnych danych. Innymi słowy, jest to określone następującym równaniem:

Średnia kwadratowa (RMS)

Znany również jako średnia kwadratowa, RMS reprezentuje rodzaj średniej odpowiedniej dla danych, które mają zarówno wartości dodatnie, jak i ujemne. Dzieje się tak, ponieważ odpowiada pierwiastkowi kwadratowemu ze średniej arytmetycznej kwadratów poszczególnych danych. Dzięki podniesieniu każdej części danych do kwadratu uzyskany wynik będzie zawsze dodatni, więc wpływ tego znaku na obliczenie średniej jest wyeliminowany.

RMS jest podawany przez:

Najczęstszym zastosowaniem RMS jest obliczenie skutecznego napięcia prądu przemiennego z przebiegiem sinusoidalnym. W tym przypadku najważniejsza jest średnia amplituda fali, a nie średnia wartość napięcia, które ze względu na symetrię wokół 0 V wynosi zero.

Inne miary tendencji centralnej: mediana i moda

Oprócz różnych środków, które widzieliśmy wcześniej, istnieją również inne miary tendencji centralnej, które są używane głównie w statystyce. Są to mediana i tryb.

Mediana (X̃)

W zbiorze danych ilościowych uporządkowanych od najmniejszego do największego mediana reprezentuje dane centralne lub wartość zmiennej, która dzieli serię danych na dwie połowy lub zestawy o tej samej liczbie danych. W ten sposób wyznaczenie mediany, reprezentowanej przez umieszczenie tyldy lub tyldy nad symbolem zmiennej będącej przedmiotem zainteresowania (na przykład ṽ może reprezentować medianę szeregu danych dotyczących prędkości), zależy od całkowitej liczby Dane dostępne.

Mediana niekoniecznie jest obliczana, ale raczej identyfikowana w zbiorze danych. Aby określić medianę, najpierw należy uporządkować wszystkie dane od najmniejszej do największej, a następnie ponumerować je w kolejności od 1 wzwyż. Następny krok zależy od tego, czy całkowita liczba obecnych danych (n) jest parzysta czy nieparzysta:

Liczba danych nieparzystych: Jeżeli szereg zawiera nieparzystą liczbę danych, to medianą będą dane oznaczone liczbą (n+1)/2. Na przykład, jeśli w sumie jest 15 punktów danych, medianą będzie punkt danych (15+1)2=8, ponieważ pozostawia to 7 punktów danych poniżej i 7 punktów danych powyżej mediany.

Liczba parzystych danych: W tym przypadku nie ma centralnych danych, które dzielą szereg na dwie równe połowy, więc mediana jest obliczana jako średnia arytmetyczna dwóch centralnych danych, to znaczy danych o numerze n/2 i danych (n/2) +1. Na przykład, jeśli seria danych zawiera 24 elementy danych, mediana będzie prostą średnią między elementem danych 2/2=12 a elementem danych (2/24)+1=13.

Mediana ma tę zaletę, że jest mniej wrażliwa na wartości ekstremalne niż średnia. Jednak nie jest to dobra miara tendencji centralnej, jeśli dane są wypaczone.

Tryb (Mo _X )

Tryb jest po prostu najczęściej występującą wartością lub kategorią w zbiorze danych. Jest to coś w rodzaju „najgorętszej” wartości w serii i reprezentuje najwyższy szczyt, gdy dane są reprezentowane w postaci histogramu.

Przykład obliczania różnych średnich

Załóżmy, że mamy następującą serię danych odpowiadających wzrostowi 30 uczniów w dziale matematyki w szkole w stolicy. Wszystkie wysokości podane są w metrach.

Z tych danych wyznacz a) średnią arytmetyczną; b) średnia geometryczna; c) średnia harmoniczna; d) RMS, oraz e) mediana.

Rozwiązanie

Ponieważ jesteśmy proszeni o wyznaczenie mediany, a do tego potrzebujemy uporządkować i zidentyfikować dane, zaczniemy od tego, ponieważ zwykle ułatwia to inne obliczenia:

Teraz, korzystając z tej tabeli, obliczymy średnie, o które jesteśmy proszeni. W obu przypadkach jest to po prostu kwestia zastosowania równań przedstawionych powyżej:

Średnia arytmetyczna

Średnia geometryczna

Średnia harmoniczna

RMS

Mediana

Ponieważ jest to parzysta liczba danych, medianą będzie średnia arytmetyczna danych 30/2=15 i (30/2)+1=16, czyli będzie to średnia między 1,58 a 1,59:

Bibliografia

Conthe, M. (2017, 21 lipca). Średnia arytmetyczna czy średnia geometryczna? Ekspansja. https://www.expansion.com/blogs/conthe/2017/07/21/un-calculo-poco-armonico.html

Ciesz się matematyką. (2011). Definicja: średnia . Enjoythemathematics.com. https://www.disfrutalasmatematicas.com/definiciones/average.html

Larios, R. (2020, 9 września). Jaka jest średnia z matematyki? Ucz się w domu II . Unia Jalisco. https://www.unionjalisco.mx/2020/09/09/que-es-el-promedio-en-matematicas-aprende-en-casa-ii/

López, JF (2021, 2 lutego). średnia geometryczna . Economipedia. https://economipedia.com/definiciones/media-geometrica.html

Matematyka, M. (2020, 25 czerwca). średnie; Arytmetyka; geometryczne i harmoniczne; nieruchomości; aplikacje . Matematyka https://matematicas.review/promedios-aritmetico-geometrico-y-armonico-propiedades-aplicaciones/

Pérez P., J. i Merino, M. (2011). Definicja średniej . Definicja. https://definicja.de/średnia/

Uniwersytet Otwarty. (2020). Nauka podstawowa: rozumienie liczb . Otwarta nauka. Dostępne pod adresem https://www.open.edu/openlearn/science-maths-technology/basic-science-understanding-numbers/content-section-overview .