Jak obliczyć medianę rozkładu wykładniczego

Rozkład wykładniczy jest szczególnym przypadkiem rozkładu gamma. Jest to ciągły rozkład używany do opisu rozkładu prawdopodobieństwa czasu, jaki upłynął między zdarzeniami w procesie Poissona. Odnosi się to do tych procesów, w których zdarzenia zachodzą w sposób ciągły i niezależnie od siebie, ale ze stałą średnią częstotliwością.

Rozkład wykładniczy jest zgodny z następującą funkcją prawdopodobieństwa:

gdzie X jest ciągłą zmienną losową, a lambda ( λ ) jest charakterystycznym parametrem każdego rozkładu. Poniższy rysunek przedstawia wykres tej funkcji dystrybucji dla różnych wartości λ.

Jak widać, funkcja ta zanika wykładniczo od wartości początkowej równej λ i asymptotycznie dąży do zera wraz ze wzrostem x.

Średnia tej funkcji rozkładu jest określona przez μ = 1/ λ, a jej wariancja to σ ² = (1/ λ) ² . W poniższych sekcjach pokazano, jak obliczyć medianę.

Znaczenie rozkładu wykładniczego

Jak wspomniano na początku, rozkład wykładniczy można zastosować do dowolnego systemu, który jest zgodny z procesem Poissona. Oznacza to, że służy do opisu czasów między zdarzeniami, takimi jak przybycie klientów do obiektów usługowych, czasów między awariami systemów elektronicznych lub komponentów, a przetrwaniem istot żywych.

Co to jest mediana?

Zanim przystąpimy do obliczania mediany, musimy zrozumieć, co to jest. Mediana rozkładu prawdopodobieństwa odpowiada wartości zmiennej losowej, która dzieli rozkład na pół. W przypadku zmiennych dyskretnych oznacza to pozostawienie tej samej liczby wartości po obu stronach mediany. W przypadku funkcji wykładniczej i innych funkcji rozkładu ciągłego mediana jest punktem, który po obu stronach pozostawia ten sam obszar pod krzywą gęstości prawdopodobieństwa.

Innym, bardziej praktycznym sposobem patrzenia na medianę, którego użyjemy, aby ją znaleźć w tym artykule, jest to, że odpowiada ona punktowi, w którym funkcja dystrybucji ma wartość 0,5. Oznacza to, że odpowiada rozwiązaniu następującego równania:

Obliczanie mediany rozkładu wykładniczego

Aby znaleźć medianę rozkładu wykładniczego, użyjemy funkcji rozkładu i znajdziemy wartość zmiennej losowej, dla której rozkład ma wartość 0,5, jak wyjaśniono w poprzedniej sekcji. Innymi słowy, powiemy, że mediana (Me) jest wartością zmiennej losowej x, dla której sprawdza się, że:

Wszystko, co musimy teraz zrobić, to podłączyć plik pdf ( f(x) ) odpowiadający rozkładowi wykładniczemu i zintegrować:

Gdzie skorzystaliśmy z częściowej definicji funkcji rozkładu prawdopodobieństwa, która ma wartość zero dla wszystkich wartości zmiennej losowej mniejszych lub równych zeru. To jest prosta całka:

Teraz ustawiamy równe ½ i rozwiązujemy równanie, aby znaleźć medianę, Me.

Na koniec jest przestawiany, logarytm naturalny jest brany na obu prętach i Me jest czyszczone:

Dlatego mediana rozkładu wykładniczego jest dana przez ln2/λ.

Odchylenie rozkładu wykładniczego

Jeśli porównamy wartość mediany, którą właśnie otrzymaliśmy, ln2/λ, z wartością mediany tego rozkładu, o której mówiliśmy na początku, 1/λ, szybko zdamy sobie sprawę, że mediana jest mniejsza od średniej, ponieważ ln2 jest liczbą mniejszą od 1.

Ilekroć średnia nie pokrywa się z medianą, mówi się, że rozkład jest skośny. Ponieważ w tym przypadku średnia jest większa niż mediana, mówi się, że funkcja wykładnicza jest pochylona w prawo .

Ponieważ mediana jest miarą tendencji centralnej, która jest mniej wrażliwa na wartości skrajne niż średnia, w przypadkach takich jak ten, w których stwierdzono istnienie odchylenia, preferowane jest użycie mediany do przedstawienia tej tendencji centralnej.

Bibliografia

LesKanaris. (nd). Jak obliczyć medianę rozkładu wykładniczego – Ciekawe – 2021. Źródło: https://us.leskanaris.com/2916-exponential-distribution-medians.html

Lifehack. (2018). Jak obliczyć medianę rozkładu wykładniczego – 2021 r. Źródło: https://esp.lifehackk.com/14-calculate-the-median-of-exponential-distribution-3126442-7366

Prosta matematyka. (2021, 6 września). Mediana – rozkład wykładniczy [plik wideo]. Odzyskane z https://www.youtube.com/watch?v=0s3h1Tfysog

Mtz De Lejarza E., J. i Mtz De Lejarza E., I. (1999). Rozkład wykładniczy. Pobrane z https://www.uv.es/ceaces/base/modelos%20de%20probabilidad/exponencial.htm