Różnica między odchyleniami standardowymi próby i populacji

Przy obliczaniu odchylenia standardowego należy wziąć pod uwagę dwie sytuacje: odchylenie standardowe populacji lub zbioru wartości oraz odchylenie standardowe próby.

Przypomnijmy sobie, zanim przejdziemy do tych dwóch definicji, że odchylenie standardowe σ jest parametrem pozwalającym ocenić rozrzut zbioru wartości . Jeśli obliczana jest średnia ze zbioru wartości, odchylenie standardowe ocenia różnicę wartości w zestawie od średniej. A średnia zbioru n wartości jest zdefiniowana jako suma ich wszystkich podzielona przez liczbę n wartości . Ogólny wzór używany do obliczania odchylenia standardowego σ pokazano poniżej; polega na odjęciu od każdej wartości analizowanego zbioru, którą zaznaczamy indeksem dolnym i, średnia wszystkich wartości; podnosimy każdą z tych różnic do kwadratu i dodajemy je; Wynik dzielimy przez liczbę wartości w zestawie minus 1 i obliczamy pierwiastek kwadratowy z tej wartości.

Chociaż obie definicje odchylenia standardowego oceniają zmienność, istnieją różnice koncepcyjne między obliczaniem na populacji i na próbie. Różnica dotyczy rozróżnienia między zmienną statystyczną a parametrem matematycznym. Jeśli dane są zbierane od wszystkich członków populacji lub badany jest określony zestaw danych, jest to obliczenie odchylenia standardowego populacji. Jeśli analizujesz dane reprezentujące próbkę z większej populacji, jest to obliczenie odchylenia standardowego próbki. Poniższy rysunek ilustruje graficznie różnicę. Odchylenie standardowe populacji jest parametrem matematycznym o określonej wartości; Odchylenie standardowe próbki jest parametrem statystycznym służącym do oceny zestawu danych, którego wynik jest rzutowany na większy zestaw. Ocena ta zależy od próby, nie jest to wartość określona, ​​jak to ma miejsce w przypadku populacji.

Jakościowo różnica w definicji pociąga za sobą nieco inne obliczenia; W przypadku odchylenia standardowego próbki różnica między każdą wartością a kwadratem średniej jest dzielona przez liczbę wartości minus 1 ( n – 1), jak pokazano w poprzednim wzorze. W przypadku odchylenia standardowego populacji dzieli się je przez n .

Przykład

Zobaczmy przykład naprawy pomysłów. Weźmy zestaw wartości i obliczmy odchylenie standardowe zgodnie z dwiema definicjami. Grupa jest następująca i zawiera 5 wartości ( n = 5), które są następujące:

1, 2, 4, 5, 8

Średnia z tych wartości ma następujące wyrażenie

(1 + 2 + 4 + 5 + 8)/5 = 20/5 = 4

Różnice każdej wartości i średniej kwadratowej są reprezentowane przez następującą sekwencję

(1 – 4) ² = 9

(2 – 4) ² = 4

(4 – 4) ² = 0

(5 – 4) ² = 1

(8 – 4) ² = 16

Suma pięciu wartości wynosi 30.

W przypadku obliczania odchylenia standardowego populacji należy tę wartość podzielić przez n , w tym przykładzie 5 i wynik to 6 . W przypadku odchylenia standardowego próby należy podzielić pomiędzy n – 1; 4 w tym przypadku, a wynik to 7,5 . Aby zakończyć obliczenia, musimy uzyskać pierwiastek kwadratowy; około 2,4495 w przypadku populacji i około 2,7386 w przypadku próby.

Fontanna

Jadolah Dodge. Zwięzła encyklopedia statystyki . Nowy Jork: Springer, 2010.