Postać przecięcia z nachyleniem równania liniowego

Tabla de Contenidos

Postać przecięcia z nachyleniem równania pierwszego stopnia jest sposobem wyrażenia tego równania w postaci równania linii prostej . Innymi słowy, jest wyrażona w tej samej postaci matematycznej, co funkcja, która po wykreśleniu w kartezjańskim układzie współrzędnych daje w wyniku linię prostą. Wyrażone w ten sposób równanie liniowe ma następującą postać matematyczną:

równanie linii w postaci punktu przecięcia z nachyleniem

Jak widać, ten sposób przedstawiania równań liniowych charakteryzuje się tym, że zmienna, którą powszechnie uważamy za zmienną zależną (w większości przypadków i , chociaż może się to zmieniać) jest izolowana w jednym z elementów równania (zwykle po lewej) ze współczynnikiem 1; podczas gdy drugi element składa się z terminu zawierającego zmienną niezależną (zwykle x ) i terminu niezależnego.

Interpretacja równania liniowego w postaci punktu przecięcia z nachyleniem

Wyrażony w ten sposób współczynnik zmiennej niezależnej, w tym przypadku m , reprezentuje nachylenie linii, gdy to równanie jest wykreślone w kartezjańskim układzie współrzędnych.

Z drugiej strony niezależny składnik, w tym przypadku b , wskazuje punkt, w którym linia przecina lub przecina oś współrzędnych lub oś y, jak pokazano na poniższym wykresie. Właśnie dlatego nazywa się to formą przecięcia z nachyleniem.

Interpretacja nachylenia

Nachylenie ( m ) wskazuje, o ile zmienia się wartość y punktu na linii , zwiększając wartość x o jedną jednostkę , a zatem reprezentuje nachylenie linii. Ta wartość może być dowolną liczbą wymierną, zarówno dodatnią, jak i ujemną. Istnieją trzy możliwe zakresy wartości, które są różnie interpretowane:

Dodatnie nachylenie (m>0) wskazuje, że linia idzie w górę, gdy poruszamy się od lewej do prawej strony wykresu.
Gdy składnik zmiennej niezależnej nie występuje (to znaczy, gdy w równaniu nie ma x), oznacza to, że nachylenie wynosi zero (m=0). W tym przypadku linia jest pozioma lub równoległa do osi odciętych (oś x).
Gdy nachylenie jest ujemne (m<o), linia opada w miarę przesuwania się wykresu od lewej do prawej.

Interpretacja skrzyżowania

Wyraz niezależny b reprezentuje punkt przecięcia prostej z osią rzędnych, czyli z osią y w kartezjańskim układzie współrzędnych. W tych przypadkach, w których nie ma składnika niezależnego, przyjmuje się, że jego wartość wynosi zero (b=0), więc prosta przechodzi przez początek układu współrzędnych.

Szczególne przypadki równania prostej w postaci przecięcia z nachyleniem

Przypadek 1: y = b

kształt przecięcia z nachyleniem o nachyleniu 0

Gdy równanie ma poprzednią postać, to znaczy, gdy składnik zmiennej niezależnej nie występuje, należy rozumieć, że nachylenie wynosi zero, a zatem równanie reprezentuje linię poziomą przechodzącą przez punkt (0; b ).

Przypadek 2: y = mx

kształt punktu przecięcia z nachyleniem dodatnim

Gdy nie ma niezależnego składnika, oznacza to, że jego wartość wynosi zero, a zatem przecina oś y w punkcie 0. Oznacza to, że prosta przechodzi przez początek układu współrzędnych.

Przypadek 3: 0 = mx + b

kształt przecięcia z nachyleniem z nieokreślonym nachyleniem

W tym przypadku składa się z linii pionowej (równoległej do osi y), która przecina oś odciętych (lub oś x) w punkcie x = – b/m, jak pokazano na poprzednim wykresie.

Jest to niezwykła postać równania linii, w której współczynnik m i niezależny wyraz b tracą swoje normalne znaczenie. Linia pionowa ma nieokreślone nachylenie, to znaczy jej nachylenie nie istnieje. To nie to samo, co stwierdzenie, że jego nachylenie wynosi zero.

Z drugiej strony, ponieważ jest to pionowa linia równoległa do osi y, nigdy nie przecina tej osi. Dlatego niezależny termin b nie wskazuje już przecięcia, jak to miało miejsce w poprzednich przypadkach.

Zalety formy przecięcia z nachyleniem

W porównaniu z innymi sposobami przedstawiania równań liniowych forma przecięcia z nachyleniem ma następujące zalety:

Natychmiast zwraca wartości nachylenia i punktu przecięcia linii z osią y.
Powyższe pozwala w bardzo prosty i szybki sposób zwizualizować wykres równania liniowego w kartezjańskim układzie współrzędnych.
Podając wartość nachylenia, pozwala szybko obliczyć kąt, jaki tworzy linia z osią x za pomocą tangensa.
Pozwala szybko stwierdzić, czy dwie linie są do siebie równoległe, czy nie, po prostu porównując ich nachylenia.
Pozwala szybko określić, czy dwie linie są do siebie prostopadłe.
Samo spojrzenie na postać równania pozwala nam od razu wiedzieć, czy jest to linia rosnąca, malejąca, pozioma czy pionowa.
Umożliwia obliczenie współrzędnej y dowolnego punktu na linii na podstawie jego wartości x w jednym kroku.
Ułatwia metodę podstawieniową rozwiązywania układów równań liniowych dwóch zmiennych, ponieważ równanie jest już rozwiązane dla jednej z nich (y).

Etapy przekształcania formy standardowej w formę przecięcia z nachyleniem

Oprócz postaci przecięcia z nachyleniem, równanie linii można również przedstawić na inne sposoby, z których najważniejszym jest postać standardowa:

W tym przypadku współczynniki A, B i C są liczbami całkowitymi. Gdy masz równanie wyrażone w ten sposób i chcesz je zapisać w postaci przecięcia z nachyleniem, wystarczy wykonać następujące kroki:

Krok 1: Ax jest odejmowana od obu stron równania.

Krok 2: wszystkie współczynniki i wyraz niezależny są dzielone przez współczynnik B (wraz z jego znakiem).

Krok 3: Jeśli to możliwe, uprość dowolny ułamek powstały z dzielenia.

Przykłady transformacji z postaci standardowej do postaci przecięcia z nachyleniem

Przykład 1: 3x + 2y = 4

Krok 1:

Krok 2:

Krok 3:

Jak widać, to równanie odpowiada opadającej linii, która przecina oś Y w punkcie 2.

Przykład 2: x – 4y = 6