Tabla de Contenidos
W prawdopodobieństwie oczekiwana wartość zmiennej losowej odnosi się do średniej wartości dużej liczby wystąpień zmiennej . Obliczana jest jako średnia ważona wszystkich możliwych wartości zmiennej losowej, gdzie współczynnik wagowy to nic innego jak prawdopodobieństwo wystąpienia każdej wartości.
Prawdopodobieństwo to dziedzina nauki o ogromnym znaczeniu w dziedzinie gier losowych, wśród których ruletka jest jedną z najpopularniejszych i najłatwiejszych do zrozumienia.
Czym jest ruletka i jak się w nią gra?
Typowe koło ruletki amerykańskiej składa się z koła z szeregiem pól oznaczonych od 1 do 36, z których 18 jest czarnych, a pozostałych 18 czerwonych. Ponadto na przeciwległych końcach koła znajdują się dwie zielone komórki lub szczeliny, oznaczone odpowiednio cyframi 0 i 00, co daje w sumie 38 komórek.
Istnieją również francuskie ruletki, które nie mają pola 00 i dlatego mają łącznie 37 pól.
Gra polega na kręceniu kołem, podczas gdy mała kulka jest rzucana w przeciwnym kierunku. Gdy spinner i piłka zwalniają, piłka ląduje w jednej z 37 lub 38 kieszeni lub szczelin. Zanim piłka się zatrzyma, uczestnicy mogą obstawiać różne rodzaje zakładów. Niektóre z możliwych zakładów to:
- Postaw na konkretny numer (zwykle płaci 35:1)
- Postaw na dwa sąsiednie numery (zwykle wypłacane 17:1)
- Postaw na czerwone lub czarne (zwykle wypłacane 1:1)
- Liczby nieparzyste lub parzyste (zwykle płaci się 1:1)
- Niski lub wysoki zakład, czyli pierwszych 18 numerów (od 1 do 18) lub ostatnich 18 (od 19 do 36) (zwykle wypłacane 1:1)
- Pierwsza dwunastka (1-12) (zwykle płaci 2:1)
- Drugi tuzin (od 13 do 24) (zwykle płaci 2:1)
- Trzeci tuzin (od 25 do 36) (zwykle płaci 2:1)
Jak widać, każdy z tych zakładów oferuje określoną wypłatę, która zależy od prawdopodobieństwa jej wystąpienia.
Następnie obliczymy oczekiwaną wartość wygranej zgodnie z różnymi typami zakładów, które możemy postawić na kole ruletki amerykańskiej. Uzyskane tutaj wyniki można łatwo ekstrapolować na francuską ruletkę, po prostu zmieniając całkowitą liczbę możliwych wyników w mianownikach wszystkich prawdopodobieństw.
We wszystkich przypadkach ustalimy oczekiwaną wartość zysku dla każdego postawionego dolara, chociaż wartość liczbową można przenieść na dowolną inną walutę. Ponadto pomnożenie tej oczekiwanej wartości przez rzeczywistą wartość zakładu da oczekiwaną wartość tego zakładu. Jeśli więc zamiast 1 $ stawiamy 100 $, wystarczy pomnożyć oczekiwaną wartość 1 $ przez 100.
Formuła do obliczania oczekiwanej wartości zakładu w ruletce
Zmienną losową, której wartość oczekiwaną chcemy wyznaczyć, jest kwota, jaką średnio wygramy, jeśli postawimy ten sam zakład w ruletce wiele razy. Stawiając zakład, przeprowadzamy eksperyment, który ma tylko dwa możliwe wyniki: wygrywamy lub przegrywamy. Wygramy, jeśli piłka wyląduje w polu odpowiadającym naszemu zakładowi, w przeciwnym razie przegramy.
Jeśli nazwiemy X zyskiem uzyskanym z obstawiania (nasza zmienna losowa), p prawdopodobieństwem sukcesu, x 1 zyskiem, jaki uzyskamy, jeśli wygramy, q prawdopodobieństwem porażki i x 2 zyskiem (lub stratą), jaki uzyskamy, jeśli przegrywamy, to wartość oczekiwaną zakładu możemy obliczyć jako:
Teraz zobaczymy, jak zastosować tę formułę do różnych zakładów, które możemy postawić.
Oczekiwana wartość zakładu na określoną liczbę w ruletce
Załóżmy, że stawiamy 1 $ na określoną liczbę (0, 00, 1, 2, 3, …).
Wypłata za ten zakład, jeśli wygramy, wynosi 35 do 1, co oznacza, że otrzymujemy 35 $ za każdego postawionego 1 $, plus nasz 1 $ postawiony. Powiemy wtedy, że wartość naszej zmiennej losowej w przypadku sukcesu (x 1 ) wyniesie w tym przypadku +35 USD, ponieważ jest to zysk netto. Prawdopodobieństwo sukcesu (p) wynosi 1/38, ponieważ w sumie jest 38 różnych pól, na które może spaść piłka, a tylko 1, z którym wygramy.
Z drugiej strony, jeśli kulka wyląduje na jakimkolwiek innym numerze, przegrywamy zakład, w takim przypadku kasyno zatrzymuje postawionego 1 $. Zatem nasz „zysk” wyniesie –1$, ponieważ tak naprawdę tracimy pieniądze. Prawdopodobieństwo przegranej (q) wynosi 37/38, ponieważ każde pole inne niż liczba, na którą stawiamy, spowoduje przegraną. Mając te dane możemy zastosować wzór i określić oczekiwaną wartość tego zakładu:
Innymi słowy, wartość oczekiwana obstawiania dowolnej liczby w ruletce to strata 5,3 centa za każdego postawionego dolara.
Oczekiwana wartość zakładu na dwa sąsiednie numery
Załóżmy, że stawiamy 1 $, umieszczając żeton między dwoma sąsiednimi liczbami, takimi jak 2 i 3 lub 17 i 20 (które sąsiadują ze sobą w pionie).
Wypłata za ten zakład, w przeciwieństwie do poprzedniego, wynosi 17 do 1, co oznacza, że za każdego postawionego 1 dolara otrzymujemy zwrot 17 USD, a ponadto otrzymujemy zwrot 1 USD. Wygrana wyniesie w tym przypadku + 17 $, podczas gdy prawdopodobieństwo sukcesu (p) wyniesie 2/38, ponieważ istnieją dwie liczby, które dadzą nam wygraną, podczas gdy w sumie wciąż jest te same 38 komórek.
Z drugiej strony, jeśli przegramy, ponownie tracimy ten sam $1, który postawiliśmy, ale prawdopodobieństwo przegranej (q) wynosi teraz 36/38. Oczekiwana wartość tego zakładu wynosi zatem:
Ponownie oczekuje się, że obstawiając w ruletce dowolną parę sąsiadujących ze sobą numerów kilka razy, stracimy średnio 5,3 centa za każdego postawionego dolara.
Oczekiwana wartość zakładów przez dziesiątki
Istnieje sześć różnych zakładów, które możemy postawić w ruletce, które obejmują tuzin możliwych korzystnych wyników; trzy z nich polegają na obstawianiu pierwszego, drugiego lub trzeciego tuzina numerów (nie licząc 0 i 00), a pozostałe trzy polegają na obstawianiu jednej z trzech kolumn, w których ułożone są liczby na stole ruletki.
Wypłata za każdy z tych zakładów wynosi 2 do 1, co oznacza, że wygrywamy 2 $ za każdego postawionego 1 $ i odzyskujemy 1 $. Prawdopodobieństwo sukcesu wynosi 12/38, ponieważ stawiamy na koszyk 12 różnych numerów. Wreszcie prawdopodobieństwo niepowodzenia wynosi 26/38 przy takiej samej stracie 1 USD (lub zysku – 1 USD, co oznacza to samo).
Oczekiwana wartość naszej zmiennej losowej to w tym przypadku:
Oczekiwana wartość zakładów na czerwone lub czarne, parzyste lub nieparzyste lub niskie lub wysokie zakłady
Wreszcie, istnieje sześć innych różnych zakładów, które możemy postawić w ruletce, które mają zarówno to samo prawdopodobieństwo sukcesu i taką samą wypłatę w przypadku wygranej, jak i to samo prawdopodobieństwo porażki i taką samą stratę pieniędzy w przypadku przegranej, więc obliczymy ich wartość oczekiwaną w ten sam sposób dla wszystkich. Te zakłady to:
- Postaw na czerwień.
- postaw na czarne
- Postaw na parzyste liczby
- Stawiaj na liczby nieparzyste
- Postaw na 18 niższych numerów (liczby od 1 do 18)
- Postaw na wysokie liczby 18 (liczby od 19 do 36)
Chociaż wyglądają jak bardzo różne zakłady, w rzeczywistości są dokładnie takie same. Wszyscy płacą 1 $ za każdy postawiony 1 $ plus 1 $ zwrócony, więc wszyscy netto + 1 $.
Ponadto wszystkie mają takie samo prawdopodobieństwo sukcesu (i, co za tym idzie, niepowodzenia). Na przykład połowa liczb od 1 do 36 jest oznaczona kolorem czerwonym, a druga połowa czarnym, więc istnieje prawdopodobieństwo 18/38, że wypadnie czerwony lub czarny (pamiętaj, że komórki 0 i 00 są zielone, co daje w sumie 38 możliwych wyników).
Jeśli chodzi o liczby nieparzyste i parzyste, ponieważ jest 36 kolejnych liczb, połowa będzie liczbami parzystymi (2, 4, 6, 8, 10, 12, ,…, 34 i 36), a druga połowa będzie liczbami nieparzystymi (1, 3 , 5, 7, 9, 11, …, 33 i 35). Musimy pamiętać, że zero nie jest liczbą parzystą ani nieparzystą, więc ani pole 0, ani pole 00 nie są częścią żadnego z dwóch wyników.
Wreszcie jest 18 niskich liczb i 18 wysokich liczb, więc prawdopodobieństwo uzyskania jednego lub drugiego wyniku również wynosi 18/38.
Z drugiej strony porażka we wszystkich tych przypadkach obejmuje drugą połowę liczb nieuwzględnionych w zakładzie plus 0 i 00, więc w sumie jest 20 możliwych niekorzystnych wyników. Oznacza to prawdopodobieństwo niepowodzenia 20/38.
Oczekiwana wartość każdego z tych zakładów wynosi zatem:
Jak interpretuje się te wyniki?
Ten wynik nie oznacza, że jeśli wejdziemy do kasyna i postawimy np. 1 $ na 21, stracimy 0,053 $. W rzeczywistości, jeśli zagramy tylko raz , wrócimy do domu o 1 $ mniej lub 35 $ więcej.
Wynik ten oznacza, że jeśli obstawiamy ruletkę wiele razy i zawsze stawiamy na jeden numer, czasami wygramy 35 $, a innym razem przegramy 1 $, ale średnio stracimy 0,053 $ za każdego postawionego dolara.
Wynik ten potwierdza popularne powiedzenie, że „bank zawsze wygrywa”, odnoszące się do faktu, że nawet jeśli kasyno czasami wypłaca jackpota jakiemuś szczęśliwemu graczowi, zawsze wygra on wszystko, co przegrał, a nawet więcej. wszystkie małe zakłady, w których uczestnicy przegrywają.
Bibliografia
DeVore, J. (2002). Prawdopodobieństwo i statystyka dla inżynierii i nauk ścisłych (wyd. 5). Thomsona International.
Elisa, M. (2021, 23 kwietnia). Jak wygrać w ruletce: wprowadzenie do prawdopodobieństw i oczekiwanych wartości . Średni. https://www.cantorsparadise.com/how-to-win-at-roulette-intro-to-probabilities-and-expected-values-f23baed1065e
Oczekiwana wartość w statystyce: definicja i obliczenia . (2021, 8 czerwca). Statystyki Jak. https://www.statisticshowto.com/probability-and-statistics/expected-value/
Średnia (wartość oczekiwana), wariancja i odchylenie standardowe dyskretnej zmiennej losowej | matermobil . (2021, 1 stycznia). MateMobile. https://matemovil.com/media-varianza-y-desviacion-estandar-de-una-variable-aleatoria-discreta/
siła studencka. (2021, 8 czerwca). Oczekiwana wartość w statystyce: definicja i obliczenia [wideo]. Statystyki Jak. https://www.statisticshowto.com/probability-and-statistics/expected-value/
