Najpopularniejsze zbiory niepoliczalne

Zbiór liczb jest nieprzeliczalny, gdy wszystkim jego elementom nie można przypisać niepowtarzalnej liczby naturalnej . Innymi słowy, zbiory niepoliczalne to takie, które nie mają relacji jeden do jednego z liczbami naturalnymi.

Zwykle intuicyjnie używamy liczb naturalnych do liczenia i robimy to, przypisując liczbę naturalną do każdego elementu grupy, który chcemy policzyć, sekwencyjnie. Na przykład, licząc liczbę palców, które mamy na dłoni, przypisujemy każdemu z palców unikalną liczbę naturalną zaczynającą się od 1, a kończącą na 5. Wiemy wtedy, że na dłoniach jest 5 palców, ponieważ jest to najwyższa wartość przypisujemy do palców. Innymi słowy, liczymy palce.

Tej idei nie można zastosować do niektórych zestawów liczb. W niektórych przypadkach zbiory są tak duże, że nawet użycie nieskończonych liczb naturalnych nie wystarczyłoby do ponumerowania wszystkich elementów zbioru. Ponieważ zbiór liczb naturalnych jest nieskończony, pomysł, że istnieją zbiory niepoliczalne, sugeruje pogląd, że istnieją pewne nieskończoności, które są większe od innych, i tylko te zbiory, które mają nieskończoność tego samego „rozmiaru” co zbiór liczb naturalnych są policzalne. liczby naturalne. Liczba elementów w zbiorze nazywana jest kardynalną, więc zbiory niepoliczalne to takie, których kardynał jest większy niż liczba naturalna.

Niektóre własności zbiorów przeliczalnych i nieprzeliczalnych

Aby zrozumieć, dlaczego niektóre zbiory są policzalne, a inne nie, warto poznać pewne właściwości zbiorów:

• Jeśli A jest podzbiorem B i A jest niepoliczalne, to B jest również niepoliczalne. Innymi słowy, każdy zbiór, który zawiera zbiór niepoliczalny, sam musi być niepoliczalny.
• Jeśli A jest niepoliczalny, a B jest dowolnym zbiorem (przeliczalnym lub nie), to suma AUB jest również niepoliczalna.
• Jeśli A jest niepoliczalny, a B jest dowolnym zbiorem, to iloczyn kartezjański A x B jest również niepoliczalny.
• Jeśli A jest nieskończone (nawet policzalnie nieskończone), to zbiór mocy A jest niepoliczalny.

Przykłady najczęściej spotykanych zbiorów niepoliczalnych

Zbiór liczb rzeczywistych (R)

Zbiór liczb rzeczywistych jest pierwszym przykładem zbioru nieprzeliczalnego. Ale skąd wiemy, że są one niepoliczalne, jeśli mają nieskończone elementy, a my mamy również nieskończone liczby naturalne do przypisania? Robimy to dzięki argumentowi diagonalnemu Cantora.

Przekątna Cantora

Argument diagonalny Cantora pozwala nam pokazać, że podzbiór liczb rzeczywistych, który leży między dwiema dobrze określonymi granicami, na przykład między 0 a 1, jest zbiorem nieprzeliczalnym. W konsekwencji, na mocy wspomnianych już własności zbiorów nieprzeliczalnych, pełny zbiór wszystkich liczb rzeczywistych również musi być nieprzeliczalny.

Załóżmy, że tworzymy nieskończoną listę liczb rzeczywistych z zakresu od 0 do 1. Nie ma znaczenia, w jaki sposób ta lista jest skonstruowana. Liczy się tylko to, że wszystkie liczby są unikalne. Teraz przypiszemy każdej z tych liczb unikalną liczbę naturalną, zaczynając od 1 i działając sekwencyjnie. Przykład takiej listy przedstawiono w poniższej tabeli:

W tym momencie wszystkim liczbom na naszej liście przypisujemy unikalną liczbę naturalną. Ponieważ ta lista jest nieskończona, a każda liczba rzeczywista odpowiada liczbie naturalnej, „wydajemy” wszystkie liczby naturalne w tej tabeli. Canto pokazał, że istnieje co najmniej jedna dodatkowa liczba rzeczywista, której nie ma na tej liście i dlatego nie można jej policzyć. Ta liczba jest budowana poprzez wzięcie wszystkich elementów przekątnej, która przecina tabelę, a następnie dodanie 1. Oznacza to, że nowa liczba rozpocznie się od pierwszej cyfry pierwszej liczby powiększonej o jedną jednostkę, a następnie będzie miała drugą cyfrę druga liczba wzrosła o jedną jednostkę, następnie trzecia cyfra trzeciej liczby i tak dalej.

W poniższej tabeli elementy na przekątnej zaznaczono pogrubioną czcionką, a liczbę wynikającą z operacji dodano do ostatniego wiersza:

Wynikowa liczba to 0,33198226…

Jak widzimy, skoro pierwsza cyfra nowej liczby (czyli 3) różni się od pierwszej cyfry pierwszej liczby na liście (czyli 2), to będzie to inna liczba niż pierwsza, nawet jeśli wszystkie inne liczby są dokładnie takie same. Skoro druga cyfra (3) różni się od drugiej cyfry drugiej liczby (2), to będzie też różna od drugiej liczby.

Ten sam argument można kontynuować w nieskończoność, przesuwając się wzdłuż przekątnej, upewniając się, że wynikowa liczba będzie różnić się o co najmniej jedną cyfrę od wszystkich nieskończonych liczb w tabeli.

Ponieważ jednak już „wydaliśmy” lub przypisaliśmy wszystkie liczby naturalne przed utworzeniem tej nowej liczby, nie mamy już żadnych unikalnych liczb naturalnych do przypisania, więc dochodzimy do wniosku, że zbiór liczb rzeczywistych między 0 a 1, a zatem rozszerzenie wszystkich liczb rzeczywistych, jest zbiorem nieprzeliczalnym.

Zbiór liczb przestępnych

Liczby przestępne to te, które należą do zbioru liczb rzeczywistych, ale nie są liczbami algebraicznymi. Oznacza to, że nie są pierwiastkami równania wielomianowego postaci:

gdzie wszystkie współczynniki są liczbami całkowitymi. Nazwijmy A zbiorem wszystkich algebraicznych liczb rzeczywistych, a T resztą liczb rzeczywistych, czyli przestępnymi. Łatwo zauważyć, że całkowity zbiór liczb rzeczywistych R jest sumą zbiorów A i T , czyli:

Można wykazać, że zbiór liczb algebraicznych jest przeliczalny. Ponadto udowodniliśmy już, że liczby rzeczywiste są niepoliczalne. Ponieważ R jest niepoliczalny, nie można go utworzyć przez połączenie dwóch policzalnych zbiorów. Wiedząc, że A jest policzalne, dochodzimy do wniosku, że T jest niepoliczalne.

Zestaw binarnych ciągów liczbowych

Sekwencja liczb binarnych to po prostu ciąg zer i jedynek o dowolnej długości. Jeśli połączymy wszystkie możliwe ciągi liczb binarnych, otrzymamy zbiór ciągów liczb binarnych. To nic innego jak podzbiór liczb rzeczywistych, w których jedynymi cyframi są 0 i 1.

Bardzo łatwo jest pokazać, że ten zbiór liczb jest niepoliczalny, używając tego samego argumentu Cantora, za pomocą którego pokazujemy, że R jest niepoliczalny. Jedynym zastrzeżeniem jest to, że zamiast dodawać 1 do liczb na przekątnej, po prostu odwracamy ich wartość, zamieniając 0 na 1 i odwrotnie.

Tak jak poprzednio, wynikowa sekwencja binarna będzie niepodobna do żadnego nieskończonego zestawu sekwencji, który mogliśmy uwzględnić na oryginalnej liście, więc jest to zbiór nieprzeliczalny.

Inne ciągi liczb o różnych podstawach

Argument z ciągów liczb binarnych i liczb rzeczywistych można rozszerzyć na dowolny ciąg liczb o dowolnej podstawie. W tym sensie zbiór wszystkich ciągów liczb szesnastkowych będzie niepoliczalny; podobnie będzie ze zbiorem ciągów liczb trzeciorzędowych, czwartorzędowych itd.

Bibliografia

Typowe przykłady zbiorów nieprzeliczalnych . (2020, 16 marca). Ludzie na projekt. https://en.peopleperproject.com/posts/9312-common-examples-of-uncountable-sets

Ivorra Castillo, C. (sf). TEORIA ZBIORÓW . UV.es. https://www.uv.es/ivorra/Libros/TC.pdf

Libretexty. (2021, 7 lipca). 1.4: Zbiory policzalne i niepoliczalne . Matematyka LibreTexts. https://math.libretexts.org/Bookshelves/Combinatorics_and_Discrete_Mathematics/An_Introduction_to_Number_Theory_(Veerman)/01%3A_A_Quick_Tour_of_Number_Theory/1.04%3A_Countable_and_Uncountable_Sets

Schwartz, R. (2007, 12 listopada). Zbiory policzalne i niepoliczalne . Brązowa matematyka. https://www.math.brown.edu/reschwar/MFS/handout8.pdf

Niezliczone zestawy | Przykłady zbiorów niepoliczalnych . (2020, 21 września). Cuemath. https://www.cuemath.com/learn/Mathematics/uncountable-sets/