Jakie są możliwe wyniki rzutu trzema kośćmi jednocześnie?

Rzucanie monetami i kostkami lub ślepe wyjmowanie piłek z pudełka to jedne z najprostszych eksperymentów, które możemy przeprowadzić, aby sprawdzić nasze zrozumienie różnych koncepcji związanych ze statystyką. Są to proste do wykonania eksperymenty, które każdy może wykonać w domu, dają jasne i jednoznaczne wyniki, które można łatwo przekształcić w dane liczbowe.

W przypadku rzutów kośćmi również istnieje wyraźny związek między nimi a grami losowymi, co sprawia, że ​​zastosowanie statystyki jest bardziej namacalne w czymś, co jest częścią codziennego życia wielu ludzi lub przynajmniej czymś, z czym prawie wszyscy z nas spotkało się przynajmniej raz w życiu.

Jednoczesne rzucanie trzema kośćmi może dać różne typy wyników, które możemy interpretować na różne sposoby. Możemy być zainteresowani samymi wynikami, lub wartością sumy lub liczbą parzystych lub nieparzystych wyników, które wypadają między kostkami itp. Z tych trzech najczęstszym jest zainteresowanie wynikiem sumy wartości trzech kostek. W kolejnych sekcjach zbadamy, jak obliczyć prawdopodobieństwo wystąpienia każdej z sum, rzucając jednocześnie trzema kostkami.

Przykładowe miejsce do rzucania trzema kostkami

Rzut pojedynczą kostką to prosty eksperyment, który ma tylko sześć możliwych wyników. Oznacza to, że jest to eksperyment, którego przestrzeń próby jest utworzona przez wyniki S _{1 podane} = {1; 2; 3; 4; 5; 6}.

Rzucając dwiema kostkami jednocześnie można założyć, że wynik każdej kości jest niezależny od drugiej, tak że każda z nich może dać dowolny z sześciu poprzednich wyników. Powoduje to, że można podać 6 ² = 36 możliwych wyników odpowiadających wszystkim możliwym kombinacjom między 6 wartościami jednej kostki i 6 wartościami drugiej.

W tym przypadku będziemy mieć przykładową przestrzeń S _{2 dana} = {11; 12; 13; 14; piętnaście; 16; dwadzieścia jeden; 22; 23; 24; 25; 26; …; 61; 62; 63; 64; 65; 66}. Z tych 36 wyników liczbę unikalnych kombinacji (bez uwzględnienia kolejności) można obliczyć za pomocą kombinatoryki z powtórzeniami, w której bierze się grupy n = 2 (dwie kości, które są rzucane) z m = 6 możliwymi wynikami. :

Te 21 wyników odpowiada {11; 12; 13; 14; piętnaście; 16; 22; 23; 24; 25; 26; 33; 3. 4; 35; 36; 44; Cztery pięć; 46; 55; 56; 66}. Prawdopodobieństwo każdego z tych wyników odpowiada 1/36 pomnożonemu przez liczbę różnych permutacji, które można utworzyć z cyfr każdej liczby (1, jeśli liczba się powtarza, jak w przypadku 11, 22 itd., oraz 2, jeśli liczba liczba się nie powtarza, ponieważ możemy mieć 12 lub 21, 13 lub 31 itd.)

W przypadku rzutu 3 kostkami łączna liczba możliwych wyników w przestrzeni próbnej wynosi 6 ³ = 216. Te wyniki to S _{3 kości} = {111; 112; 113; 114; 115; 116; 121; …; 126; 131; …; 136; …; 166; 211; 212; …; 656; 666}. W takim przypadku prawdopodobieństwo każdego indywidualnego wyniku musi wynosić 1/216.

Prawdopodobieństwo poszczególnych wyników przy rzucie trzema kostkami

Teraz, gdy dobrze zdefiniowaliśmy przestrzeń próbną wszystkich możliwych wyników rzutu 3 kostkami, zobaczmy, jak obliczyć prawdopodobieństwo każdego z różnych wyników, które można uzyskać.

W przypadku rzutu trzema kośćmi, biorąc pod uwagę, że kolejność pojawiania się wyników jest nieistotna, wiele z 216 wyników faktycznie się powtórzy. Łączną liczbę unikalnych wyników można obliczyć ponownie jako kombinację grup po 3 po 6 opcji w każdej iz możliwością powtórzeń, czyli:

Spośród tych 56 wyników, te składające się z trzech równych liczb (nazwijmy je AAA) występują tylko raz. Natomiast te, które mają dwie identyczne figury i jedną inną (AAB) powtarzają się po 3 razy (odpowiadające permutacji AAB, ABA i BAA). Wreszcie ci, którzy mają trzy różne figury (ABC), pojawią się 3! = 6 razy (ABC, ACB, BAC, BCA, CAB i CBA).

Na podstawie tych informacji i całkowitej liczby możliwych wyników (216) możemy obliczyć prawdopodobieństwo każdego wyniku jako

W zależności od wyniku ma 1, 2 lub 3 różne cyfry. W poniższej tabeli przedstawiono 56 możliwych wyników i ich prawdopodobieństwo:

Prawdopodobieństwo sumy przy rzucie trzema kostkami

Jak wspomniano wcześniej, podczas rzucania kostką ważniejszy wynik niż konkretna liczba, na której wyląduje każdy orzeł, to suma kostek. W eksperymencie, w którym rzuca się trzema kostkami i uzyskuje się sumę, przestrzeń prób składa się ze wszystkich możliwych sum między trzema liczbami od 1 do 6.

Najmniejszą wartością, jaka może wyniknąć z tej sumy, jest ta uzyskana, gdy trzy kości wypadną na 1, uzyskując sumę 1+1+1 = 3, natomiast wartość maksymalna odpowiada 6+6+6 = 18, z możliwością uzyskania którejkolwiek z sum pośrednich. Dlatego przestrzeń próbna tego eksperymentu odpowiada:

S = {3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; jedenaście; 12; 13; 14; piętnaście; 16; 17; 18}

Ostatnia kolumna tabeli pokazuje całkowitą liczbę wyników, które daje każda suma, w tym równoważne wyniki (ze wszystkich permutacji każdej unikalnej kombinacji). Na przykład, aby uzyskać sumę 15, w rzucie kostką musi być 366, 356 lub 555. Istnieją jednak 3 permutacje 366 (366, 636 i 663) i 6 permutacji 356 (356, 365, 536, 563, 635 i 653) i jeden z 555, więc łączna liczba możliwych wyników równa 15 wynosi 10.

Korzystając z poprzedniej tabeli, możemy przećwiczyć obliczanie prawdopodobieństwa każdej sumy w rzucie trzema kośćmi na dwa różne sposoby. Są one szczegółowo opisane poniżej.

Strategia 1: Wykorzystanie prawdopodobieństwa każdego unikalnego wyniku

Pierwsza strategia polega na dodaniu prawdopodobieństwa wszystkich unikalnych wyników, które może dać każda suma. Wiąże się to z wykorzystaniem unikalnych wyników z trzeciej kolumny i odpowiedniego prawdopodobieństwa każdego wyniku przedstawionego powyżej.

Przykład

Załóżmy, że chcemy obliczyć prawdopodobieństwo, że suma trzech kostek wynosi 11 (czyli P(11)). W tym przypadku istnieje 6 unikalnych kombinacji (niezależnie od kolejności), które dają sumę 11. Wyniki te to (zgodnie z trzecią kolumną powyższej tabeli): {146; 155; 236; 245; 335; 344}.

Prawdopodobieństwo każdego wyniku jest określane na podstawie całkowitej liczby możliwych permutacji w każdym przypadku, jak wyjaśniono w poprzedniej sekcji. W tym przypadku:

Dlatego prawdopodobieństwo, że wynikiem sumy jest 11, będzie wynosić:

Podobnie, gdybyśmy chcieli, aby prawdopodobieństwo, że suma wynosi 16, wynikiem byłoby sumą prawdopodobieństw 466 i 556, które są równe 1/72, więc prawdopodobieństwo wynosiłoby:

Strategia 2: Wykorzystanie łącznej liczby wyników odpowiadających każdej sumie

W takim przypadku wybierana jest prostsza ścieżka, o ile istnieje lista wszystkich możliwych wyników dla każdego sumowania, w tym permutacji. Wtedy prawdopodobieństwo każdej sumy jest po prostu całkowitą liczbą wyników dla sumy podzieloną przez całkowitą liczbę możliwych wyników (216).

Przykład

W przypadku sumy = 11, łączna liczba możliwych wyników dających tę sumę wynosi 27 (patrz trzecia kolumna poprzedniej tabeli), więc prawdopodobieństwo, że suma 11 będzie wynosić:

Jak widać, wynik jest taki sam jak poprzednio i jest to bardzo proste, jeśli mamy już zbudowaną tabelę taką jak poprzednia. Jednak w bardziej złożonych przypadkach, w których istnieje więcej możliwych wyników (takich jak rzut 4, 5 lub 4 kośćmi), ta strategia może być mniej wygodna, a ta pierwsza bardziej praktyczna.

Bibliografia

Graffe, S. (2021, 21 września). Jakie jest prawdopodobieństwo, że rzucając trzema kostkami wypadnie suma 7? Quora. https://en.quora.com/What%C3%A9-probabilidad-hay-que-al-lanzar-tres-dados-salga-una-sumatoria-de-7

Montagud Rubio, N. (2022, 17 marca). Techniki liczenia: rodzaje, sposoby ich stosowania i przykłady . Psychologia i umysł. https://psicologiaymente.com/miscelanea/tecnicas-de-conteo

drzemki. (2017, 16 listopada). Techniki liczenia w rachunku prawdopodobieństwa i statystyce . Naps Technologia i edukacja. https://naps.com.mx/blog/tecnicas-de-conteo-en-probabilidad-y-estadistica/

Valdés Gómez, J. (2016, 23 listopada). Kombinacje z powtórzeniami . Youtube. https://www.youtube.com/watch?v=WqHZx64RW-Q