Tabla de Contenidos
„Maksimum” i „minimum” można wykorzystać albo do obliczenia zakresu zbioru danych w statystyce opisowej, albo do obliczenia ekstremalnych wartości funkcji w rachunku różniczkowym. Tutaj mówimy o obu zastosowaniach.
Maksimum i minimum w statystyce
W statystyce maksimum i minimum próby, zwane także obserwacjami największymi i najmniejszymi, to wartości największego i najmniejszego elementu w zbiorze danych (tj. próbie).
Jeśli w próbie występują wartości odstające, koniecznie obejmują one maksimum lub minimum próbki, lub jedno i drugie, w zależności od tego, czy są one skrajnie wysokie, czy niskie. Jeśli jednak nie są one nienormalnie daleko od innych obserwacji, maksimum i minimum próbki niekoniecznie są wartościami odstającymi.
Zatem wartości minimalne i maksymalne są również przydatne do zrozumienia danego zestawu danych. Weźmy ten przykład wagi 12 dzieci.
38 50 13 110 26 42 81 22 36 49 77 98
Korzystając z powyższego zestawu danych o wagach dzieci, możemy znaleźć minimum i maksimum. Minimum to po prostu najniższa obserwacja, podczas gdy maksimum to najwyższa obserwacja. Najłatwiejszym sposobem sprawdzenia, jakie jest minimum i maksimum zbioru danych, jest uporządkowanie ich od najmniejszego do największego:
13 22 26 36 38 42 49 50 77 81 98 110
Tak więc dla naszych danych minimum to 13, a maksimum to 110.
Maksimum i minimum w obliczeniach
W rachunku różniczkowym terminy maksimum i minimum odnoszą się do skrajnych wartości funkcji, czyli największej i najmniejszej wartości, jaką osiąga funkcja.
Maksimum oznacza górny limit lub największą możliwą kwotę. Maksimum bezwzględne funkcji to największa liczba zawarta w przedziale funkcji. Innymi słowy, jeśli f(a) jest większe lub równe f(x) dla wszystkich x w dziedzinie funkcji, to f(a) jest absolutnym maksimum.
Na przykład funkcja f(x) = -16×2 + 32x + 6 ma maksymalną wartość 22 dla x = 1 . Każda wartość x daje wartość funkcji, która jest mniejsza lub równa 22, więc 22 jest absolutnym maksimum. W ujęciu graficznym absolutne maksimum funkcji to wartość funkcji, która odpowiada najwyższemu punktowi na wykresie.
Wręcz przeciwnie, minimum oznacza dolny limit lub najmniejszą możliwą kwotę. Absolutne minimum funkcji jest najmniejszą liczbą w jej przedziale i odpowiada wartości funkcji w najniższym punkcie jej wykresu.
Teoria znajdowania wartości maksymalnej i minimalnej funkcji opiera się na fakcie, że pochodna funkcji jest równa nachyleniu stycznej. Kiedy wartości funkcji rosną wraz ze wzrostem wartości zmiennej niezależnej, styczne do wykresu funkcji mają nachylenie dodatnie, a funkcja jest nazywana rosnącą.
I odwrotnie, gdy wartości funkcji maleją wraz ze wzrostem wartości zmiennej niezależnej, styczne mają nachylenie ujemne i mówi się, że funkcja maleje. Dokładnie w punkcie, w którym funkcja przechodzi od rosnącej do malejącej lub od malejącej do rosnącej, styczna jest pozioma (nachylenie 0) , a pochodna wynosi zero.
Źródła
- Becerril, E. (sf). Funkcje rosnące i malejące .
- Franco, A. (2016). Statystyki: wartości maksymalne i minimalne.
- Requena, B. (2014). Maksima i minima funkcji .
- Santiago , R., Gomez, J. & Parra, B. (2003). Teoria maksimów i minimów .
