Kiedy i jak używać nawiasów, nawiasów i nawiasów klamrowych w matematyce

Wśród kombinacji symboli, które obejmują obliczenia arytmetyczne lub wyrażenia algebraiczne, często można znaleźć trzy symbole, których użycie jest często mylone; nawiasy okrągłe ( ), kwadratowe [ ] i nawiasy klamrowe { }. Zobaczmy, jakie jest konkretne zastosowanie każdego z nich wraz z kilkoma przykładami, aby naprawić pomysły.

Nawiasy okrągłe ( ) służą do grupowania liczb i zmiennych w obliczeniach lub równaniach algebraicznych. Kiedy znajdujemy nawiasy w środku różnych operacji arytmetycznych, mówi się nam, w jakiej kolejności należy je wykonać. Pamiętajmy, że bez żadnego innego oznaczenia mnożenie i dzielenie mają pierwszeństwo przed dodawaniem i odejmowaniem, a potęgowanie nad mnożeniem i dzieleniem. Gdy muszą być wykonane operacje o tym samym priorytecie, obliczenia przebiegają od lewej do prawej w wyrażeniu matematycznym. Przyjrzyjmy się roli nawiasów wskazujących kolejność działań w poniższym przykładzie.

9 – 5 ÷ (8 – 3) × 2 + 6

Nawiasy mówią nam, że operacja proponowana w jej przestrzeni musi być najpierw wykonana, bez uwzględnienia zwykłej kolejności priorytetów, w jakiej wykonywane są operacje arytmetyczne. W tym przykładzie operacje mnożenia i dzielenia musiałyby zostać wykonane przed odejmowaniem, jednak ponieważ operacje 8 – 3 są ujęte w nawiasy, musimy najpierw wykonać te obliczenia. Po wykonaniu wszystkich obliczeń w nawiasach, w tym przypadku tylko 8 – 3, są one eliminowane i przechodzimy do innych operacji ze zwykłymi priorytetami. W tym przypadku (8 – 3) jest zastępowane przez 5, a kolejność rozstrzygania tego obliczenia byłaby następująca.

9 – 5 ÷ (8 – 3) × 2 + 6 = 9 – 5 ÷ 5 × 2 + 6

9 – 5 ÷ 5 × 2 + 6 = 9 – 1 × 2 + 6

9 – 1 × 2 + 6 = 9 – 2 + 6

9 – 2 + 6 = 7 + 6

7 + 6 = 13

Nawiasy również pośrednio wskazują, że jest to operacja mnożenia. Na przykład w wyrażeniu 3(2 + 5) nawiasy wskazują, że dodawanie musi być najpierw wykonane wewnątrz przestrzeni nawiasów, 2 + 5. Ale nie ma jawnej operacji między trzema a przestrzenią nawiasów, więc przyjmuje się, że jest mnożeniem. Bardziej ogólnym przypadkiem, z dwoma nawiasami, byłoby wyrażenie (6 –3)(2 + 3). Ponownie najpierw musimy rozwiązać dwa obliczenia w przestrzeni między nawiasami, czyli 6 – 3 i 2 + 3, a następnie zakładamy, że musimy zrobić iloczyn obu wyników. Dla jasności opracujmy obliczenia.

(6 – 3)(2 + 3) = (6 – 3) × (2 + 3)

(6 – 3) × (2 + 3) = (3) × (3)

(3) × (3) = 3 × 3

3 × 3 = 9

Nawiasy są również używane, gdy konieczne jest pogrupowanie liczb i zmiennych w obliczeniu lub w równaniu algebraicznym, ale gdy nawiasy zostały już użyte. Oznacza to, że jeśli konieczne jest pogrupowanie liczb i zmiennych w przestrzeni, która jest już pogrupowana, grupa wewnętrzna jest oznaczona nawiasami okrągłymi, a zewnętrzna nawiasami kwadratowymi. Jeśli konieczne jest inne grupowanie trzeciego rzędu w tej samej przestrzeni, wówczas zostaną użyte nawiasy klamrowe. Sekwencja, znana również jako zagnieżdżone nawiasy, byłaby zgodna z następującą kolejnością: { [ ( ) ] }

Spójrzmy na przykład wyrażenia matematycznego, które łączy nawiasy okrągłe i kwadratowe. Podobnie jak w przypadku nawiasów okrągłych, jeśli obok nawiasów nie ma jawnej operacji, przyjmuje się, że jest to mnożenie.

4 – 3[4 – 2(6 – 3)] ÷ 3

W tym wyrażeniu musimy najpierw rozwiązać operacje wewnątrz przestrzeni nawiasów.

4 – 2(6 – 3)

To wyrażenie z kolei ma kolejność priorytetów wskazaną w nawiasach; Najpierw musisz rozwiązać różnicę 6 – 3. Zobaczmy pełny rozwój sekwencji obliczeń.

4 – 3[4 – 2(6 – 3)] ÷ 3 = 4 – 3 × [4 – 2 × (6 – 3)] ÷ 3

4 – 3 × [4 – 2 × (6 – 3)] ÷ 3 = 4 – 3 × [4 – 2 × (3)] ÷ 3

4 – 3 × [4 – 2 × (3)] ÷ 3 = 4 – 3 × [4 – 6] ÷ 3

4 – 3 × [4 – 6] ÷ 3 = 4 – 3 × [-2] ÷ 3

4 – 3 × [-2] ÷ 3 = 4 + 6 ÷ 3

4 + 6 ÷ 3 = 4 + 2

4 + 2 = 6

Teraz spójrzmy na przykład, który łączy trzy symbole.

2{1 + [4(2 + 1) + 3]}

Jak już wspomniano, ogólną zasadą jest rozwiązywanie zagnieżdżonych nawiasów od wewnątrz na zewnątrz. Zobaczmy kolejność obliczeń.

2{1 + [4(2 + 1) + 3]} = 2 × {1 + [4 × (2 + 1) + 3]}

2 × {1 + [4 × (2 + 1) + 3]} = 2 × {1 + [4 × (3) + 3]}

2 × {1 + [4 × (3) + 3]} = 2 × {1 + [12 + 3]}

2 × {1 + [12 + 3]} = 2 × {1 + [15]}

2 × {1 + [15]} = 2 × {16}

2 × {16} = 32

Nawiasy okrągłe, kwadratowe i klamrowe są również często nazywane odpowiednio nawiasami okrągłymi, kwadratowymi i klamrowymi. W niektórych wyrażeniach używane są tylko nawiasy, nawet jeśli istnieje wiele zagnieżdżonych przestrzeni obliczeniowych. Odbywa się to zwłaszcza wtedy, gdy zagnieżdżenie jest większe niż trzy poziomy, w którym to przypadku nie byłoby już symboli różnicujących poziomy zagnieżdżenia. Gdy używane są tylko nawiasy, należy zachować szczególną ostrożność, aby zidentyfikować pierwszy odstęp między nawiasami w zagnieżdżeniu, rozwiązać go, a następnie przejść do następnego poziomu.

Fontanna

Samuel Selzer, Algebra i geometria analityczna. Druga edycja. Buenos Aires, 1970.