Jakie są liczby rzeczywiste?

Liczby mają różne właściwości i można je podzielić na różne grupy. Jedną z tych grup, mającą szerokie zastosowanie w różnych gałęziach matematyki, są liczby rzeczywiste. Aby lepiej je zrozumieć, najpierw zobaczmy, jakie są różne typy liczb.

Liczby

Pierwszą rzeczą, której dowiadujemy się o liczbach, jest to, jak ich używać do liczenia; zaczynamy od dopasowania ich palcami do wykonania prostych operacji. Zatem nasze dziesięć palców jest podstawą systemu dziesiętnego. Stamtąd liczymy tak duże ilości, jak tylko możemy i zauważamy, że liczby są nieskończone. I tak, dodając zero (0), gdy nie mamy nic do policzenia, powstają liczby naturalne.

Na liczbach naturalnych wykonujemy działania arytmetyczne, a kiedy od jakiejś liczby odejmujemy kolejną liczbę, musimy wprowadzić liczby ujemne. Dodając więc liczby ujemne do naturalnych, otrzymujemy zbiór liczb całkowitych.

Wśród operacji arytmetycznych, które wykonujemy na liczbach, jest dzielenie. Stwierdzamy, że są przypadki, w których podczas dzielenia jednej liczby przez drugą wynik nie jest liczbą całkowitą; W wielu przypadkach ten wynik dzielenia może być dokładnie przedstawiony tylko przez samo wyrażenie dzielenia, czyli ułamek. Tak skonstruowany jest zbiór liczb wymiernych, w którym wszystkie liczby są zapisane w postaci ułamka zwykłego, a liczby całkowite mają w mianowniku liczbę 1.

To starożytne cywilizacje zauważyły, że istnieją liczby, których nie można przedstawić w postaci ułamków. Pracując z figurami geometrycznymi, znaleźli liczbę pi, zależność między promieniem a długością koła, liczbę, której nie można wyrazić jako iloraz dwóch liczb całkowitych. Tak jest również w przypadku pierwiastka kwadratowego z liczby 2 (to znaczy liczby, która pomnożona przez samą siebie da w rezultacie liczbę 2). Istnieje wiele liczb pojawiających się w różnych gałęziach wiedzy, które nie należą do zbioru liczb wymiernych. Liczby te, których nie można dokładnie przedstawić jako iloraz dwóch liczb całkowitych, nazywane są liczbami niewymiernymi. Zbiór liczb wymiernych i niewymiernych stanowi zatem zbiór liczb rzeczywistych.

Liczby rzeczywiste są częścią jeszcze większego zestawu liczb: liczb zespolonych. To rozszerzenie zbioru liczb rzeczywistych powstaje, gdy chcemy obliczyć pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej; Ponieważ iloczyn dwóch liczb ujemnych jest zawsze dodatni, nie ma liczby rzeczywistej, która pomnożona przez samą siebie jest ujemna. Następnie definiowana jest liczba urojona i , która reprezentuje pierwiastek kwadratowy z -1, i powstaje zbiór liczb zespolonych.

reprezentacja dziesiętna

Wszystkie liczby można wyrazić w postaci dziesiętnej; Na przykład liczbę wymierną 1/2 można wyrazić w postaci dziesiętnej jako 0,5. W przeciwieństwie do liczby wymiernej 1/2, którą można dokładnie przedstawić za pomocą jednego miejsca po przecinku, inne liczby wymierne mają nieskończoną liczbę miejsc po przecinku i nieMożna je wyrazić dokładnie za pomocą reprezentacji dziesiętnej. Tak jest w przypadku liczby 1/3; Jego dziesiętna reprezentacja to 0,33333…, z nieskończoną liczbą miejsc po przecinku. Te liczby wymierne nazywane są okresowymi liczbami dziesiętnymi, ponieważ we wszystkich przypadkach istnieje ciąg liczb, który powtarza się nieskończenie wiele razy. W przypadku liczby 1/3 ta sekwencja to 3; w przypadku liczby 1/7 jej postać dziesiętna to 0,1428571428571…, a ciąg powtarzający się w nieskończoność to 142857. Liczby niewymierne nie są okresowymi liczbami dziesiętnymi; nie ma sekwencji, która powtarza się nieskończenie wiele razy w jej reprezentacji dziesiętnej.

Reprezentacja wizualna

Liczby rzeczywiste można zwizualizować, przypisując każdą z nich do jednego z nieskończenie wielu punktów wzdłuż linii prostej, jak pokazano na rysunku. W tym graficznym przedstawieniu znajduje się liczba pi, której wartość wynosi w przybliżeniu 3,1416, liczba e , która wynosi w przybliżeniu 2,7183, oraz pierwiastek kwadratowy z liczby 2, wynoszący w przybliżeniu 1,4142. Od liczby 0 na prawo dodatnie liczby rzeczywiste znajdują się w postaci rosnącej, a na lewo liczby ujemne zwiększające swoją wartość bezwzględną w tym kierunku.

Niektóre własności liczb rzeczywistych

Liczby rzeczywiste zachowują się jak liczby całkowite lub wymierne, które są nam bardziej znane. Możemy dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić je w ten sam sposób; jedynym wyjątkiem jest dzielenie przez liczbę 0, operacja, która nie jest możliwa. Kolejność dodawania i mnożenia nie jest ważna, ponieważ właściwość przemienności nadal obowiązuje, a właściwość rozdzielności obowiązuje w ten sam sposób. W ten sam sposób dwie liczby rzeczywiste x i y są uporządkowane w unikalny sposób i tylko jedna z poniższych relacji jest poprawna:

x = y , x < y lub x > y

Liczby rzeczywiste są nieskończone, podobnie jak liczby całkowite i wymierne. W zasadzie jest to oczywiste, ponieważ zarówno liczby całkowite, jak i wymierne są podzbiorami liczb rzeczywistych. Jest jednak różnica: w przypadku liczb całkowitych i liczb wymiernych mówi się, że są to liczby przeliczalnie nieskończone; zamiast tego liczby rzeczywiste są nieskończenie niezliczone.

O zbiorze mówimy, że jest przeliczalny lub przeliczalny, gdy każdy jego element składowy można powiązać z liczbą naturalną. Związek jest oczywisty w przypadku liczb całkowitych; w przypadku liczb wymiernych można to postrzegać jako skojarzenie z parą liczb naturalnych, licznikiem i mianownikiem. Ale to skojarzenie nie jest możliwe w przypadku liczb rzeczywistych.

Źródła

• Arias Cabezas, Jose Maria, Maza Saez, Ildefonso. Arytmetyka i algebra . W Carmona Rodríguez, Manuel, Díaz Fernández, Francisco Javier, wyd. Matematyka 1. Bruño Editorial Group, Limited Company, Madryt, 2008.
• Carlosa Ivory. Logika i teoria mnogości . 2011.