Reguła dopełniacza w statystyce

W statystyce i prawdopodobieństwie reguła dopełniacza stanowi, że prawdopodobieństwo wystąpienia dowolnego zdarzenia A będzie zawsze równe jedności minus prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia przeciwnego lub komplementarnego do zdarzenia A. Innymi słowy, jest to reguła wskazująca, że ​​prawdopodobieństwa zdarzenia i jego dopełnienia są powiązane za pomocą następującego wyrażenia:

Zasada ta jest jedną z podstawowych własności prawdopodobieństwa i mówi nam, że zawsze możemy obliczyć prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia, jeśli znamy prawdopodobieństwo jego dopełnienia i odwrotnie. Jest to szczególnie ważne, ponieważ w wielu rzeczywistych sytuacjach, w których musimy obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, znacznie łatwiej jest zamiast tego obliczyć bezpośrednio prawdopodobieństwo jego dopełnienia. Następnie, po obliczeniu, używamy reguły dopełniacza, aby określić prawdopodobieństwo, którego chcieliśmy początkowo.

Oto kilka prostych przykładów zastosowania tej zasady:

• Jeśli prawdopodobieństwo, że Real Madryt wygra mecz piłkarski Ligi Mistrzów, wynosi 34/57 lub 0,5965, prawdopodobieństwo, że nie wygra meczu Ligi Mistrzów, wynosi 1-34/57 = 23/57 lub 0,4035.
• Prawdopodobieństwo, że zwykła sześciościenna kostka wyląduje na parzystej liczbie mniejszej niż 6, wynosi 1/3, więc prawdopodobieństwo, że kostka nie wyląduje na parzystej liczbie mniejszej niż 6, wynosi 2/3.

Dowód reguły dopełnienia

Regułę dopełniacza można zademonstrować na kilka różnych sposobów, z których każdy ułatwi czytelnikowi zapamiętanie. Aby przeprowadzić tę demonstrację, musimy zacząć od zdefiniowania kilku podstawowych terminów, takich jak to, co jest wydarzeniem i co jest jego uzupełnieniem. Ponadto musimy podać niektóre z głównych aksjomatów, na których opiera się prawdopodobieństwo.

Eksperymenty, wyniki, przestrzeń próbki i zdarzenia

W statystyce i prawdopodobieństwie mówimy o przeprowadzaniu eksperymentów , takich jak rzucanie monetami, rzucanie kostką, wybieranie karty lub talii z losowo przetasowanej talii i tak dalej. Za każdym razem, gdy przeprowadzamy eksperyment, otrzymujemy wynik , taki jak wybranie dwójki trefl z talii hiszpańskich kart do gry.

Całkowity zestaw wszystkich możliwych różnych wyników, które może dać eksperyment, nazywa się przestrzenią próbki i jest zwykle reprezentowany przez literę S.

Z drugiej strony określony wynik lub zestaw wyników eksperymentu jest znany jako zdarzenie . Zdarzenia mogą być pojedynczymi wynikami, w takim przypadku nazywane są zdarzeniami prostymi, lub zdarzeniami złożonymi, które składają się z więcej niż jednego elementu lub wyniku.

Co to jest wtyczka wydarzenia?

Dopełnienie zdarzenia to nic innego jak zbiór wszystkich innych możliwych wyników w przestrzeni próbki, które nie obejmują wyników samego zdarzenia . W przypadku przykładu rzutu kostką uzupełnieniem zdarzenia, w którym kostka wypadnie na przykład 5, jest inne zdarzenie, w którym kostka wypadnie 1, 2, 3, 4, 6 lub cokolwiek innego. To samo, nie mieści się w 5.

Wtyczki są często reprezentowane na różne sposoby. Dwie najczęstsze formy to:

• Umieszczenie ukośnika nad nazwą zdarzenia (na przykład A̅ oznacza dopełnienie zdarzenia A).
• Umieszczenie C jako indeksu górnego (AC ⁾ .

W obu przypadkach brzmi „dopełnienie A”, „dopełnienie A” lub „nie A”.

Łatwym sposobem zrozumienia zarówno koncepcji wtyczki, jak i samej zasady wtyczki jest użycie diagramów Venna . Poniższy rysunek przedstawia prosty diagram dowolnego eksperymentu i pojedynczego zdarzenia, które nazwiemy A.

Na diagramach Venna, takich jak ten, cały prostokąt reprezentuje przestrzeń próbki eksperymentu, podczas gdy cały obszar prostokąta (w tym przypadku zarówno szary, jak i niebieski obszar) reprezentuje prawdopodobieństwo przestrzeni próbki, która przez definicja , jest równa 1. Dzieje się tak dlatego, że jeśli przeprowadzimy eksperyment, to jest absolutnie pewne, że otrzymamy jakiś wynik zawarty w przestrzeni próbki, ponieważ zawiera ona wszystkie możliwe wyniki.

Niebieskie kółko obejmuje obszar przestrzeni pokazowej, w którym mają leżeć wszystkie możliwe wyniki zdarzenia A. Na przykład, jeśli zdarzenie A wyrzuciło liczbę parzystą, to ten niebieski obszar musi zawierać wyniki 2, 4 i 6 Z drugiej strony cały obszar poza zdarzeniem A (czyli szara strefa) jest dopełnieniem A, ponieważ zawiera inne wyniki (1, 3 i 5).

Reguła dopełnienia i diagramy Venna

Kluczem do zrozumienia reguły dopełniacza za pomocą diagramów Venna jest to, że obszar dowolnego zdarzenia na tych diagramach jest proporcjonalny do jego prawdopodobieństwa; całkowita powierzchnia prostokąta odpowiada prawdopodobieństwu 1. Jak wyraźnie widać, zdarzenie A (niebieskie kółko) i jego dopełnienie A̅ (szary obszar) razem tworzą cały prostokąt.

Z tego powodu suma ich obszarów, które reprezentują ich odpowiednie prawdopodobieństwa, musi być równa 1, co jest polem przestrzeni próbki, S. Zmieniając to, otrzymalibyśmy:

To jest reguła dopełniacza.

Reguła dopełnienia z aksjomatów prawdopodobieństwa

Każde zdarzenie i jego dopełnienie tworzą parę zdarzeń rozłącznych lub wzajemnie się wykluczających, ponieważ jeśli zdarzy się jedno, z definicji niemożliwe jest zajście drugiego. W tych warunkach prawdopodobieństwo sumy tych dwóch zdarzeń jest po prostu określone przez sumę poszczególnych prawdopodobieństw. To jest do powiedzenia:

Ponadto, jak powiedzieliśmy wcześniej, suma zdarzeń A i ich dopełnienia AC ^daje w wyniku przestrzeń próbki:

Podstawiając P(AUC ^C ) do powyższego równania, a następnie podstawiając prawdopodobieństwo S, które z definicji wynosi 1, otrzymujemy:

Przestawiając dwa ostatnie człony, otrzymujemy regułę dopełnienia.

Przykład problemu z aplikacją reguły wtyczki

Poniżej przedstawiono przykład typowego problemu, w którym szczególnie przydatne jest użycie reguły wtyczki.

oświadczenie

Załóżmy, że mamy obwód składający się z 5 identycznych chipów połączonych szeregowo, czyli jeden po drugim. Prawdopodobieństwo, że chip ulegnie awarii w ciągu pierwszego roku jego produkcji, wynosi 0,0002. Jeśli którykolwiek z 5 układów ulegnie awarii, cały system ulegnie awarii. Chcesz znaleźć prawdopodobieństwo, że system ulegnie awarii w pierwszym roku.

Rozwiązanie

Nazwijmy F (od niepowodzenia) wynik, w którym element lub układ systemowy ulegnie awarii, a E (sukces) dla wyniku, w którym element nie ulegnie awarii lub, co jest tym samym, działa. Wtedy dane podane w oświadczeniu to:

Eksperyment, w którym określa się, czy cały system zawiedzie, faktycznie odpowiada przeprowadzeniu 5 jednoczesnych eksperymentów, w których określa się, czy któryś z elementów ulegnie awarii. Tak więc przestrzeń próbki dla tego eksperymentu składa się ze wszystkich kombinacji wyników sukcesu lub porażki dla każdego z 5 komponentów. Będąc połączonymi szeregowo, wiemy, że kolejność ma znaczenie. Dlatego przestrzeń próbki jest utworzona przez:

Ta przestrzeń prób zawiera 2 ⁵ =32 możliwych wyników odpowiadających wszystkim możliwym kombinacjom Es i Fs. Ponieważ chcemy obliczyć prawdopodobieństwo awarii systemu, interesujące nas zdarzenie, które nazwiemy zdarzeniem A, jest dane przez wszystkie wyniki, w których zawiedzie co najmniej jeden z elementów. Innymi słowy, jest to określone przez następujący zestaw wyników:

W rzeczywistości istnieje 2 ⁵ -1=31 możliwych wyników, w których co najmniej jeden z pięciu elementów zawodzi. Gdybyśmy chcieli obliczyć prawdopodobieństwo A (czyli P(A)), musielibyśmy obliczyć prawdopodobieństwo każdego z tych wyników; byłaby to niemała praca.

Rozważmy jednak teraz komplementarne zdarzenie A, to znaczy zdarzenie, w którym system działa (które będziemy nazywać A ^C ). Jak widać, jedynym sposobem, aby cały system działał, jest działanie wszystkich pięciu elementów obwodu, czyli:

Obliczenie tego prawdopodobieństwa jest znacznie łatwiejsze niż obliczenie poprzedniego. Następnie, biorąc pod uwagę to prawdopodobieństwo, używamy reguły dopełniania, aby obliczyć prawdopodobieństwo A. Ponieważ wyniki każdego żetonu są od siebie niezależnymi zdarzeniami, prawdopodobieństwo A ^C jest po prostu iloczynem prawdopodobieństwa, że ​​każdy żeton działa, powiedzmy :

Ale jakie jest prawdopodobieństwo E? Pamiętaj, że każdy żeton albo działa, albo nie działa, więc E jest dopełnieniem F. Zatem, jeśli mamy prawdopodobieństwo F (które jest podane w ćwiczeniu), możemy obliczyć prawdopodobieństwo E, korzystając z reguły dopełnienia:

Teraz możemy obliczyć prawdopodobieństwo, że cały system zadziała:

I ponownie stosując regułę dopełnienia, obliczamy prawdopodobieństwo, że system zawiedzie:

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo, że system zawiedzie w pierwszym roku, wynosi 0,010 lub 1,0%.

Bibliografia

Pożerać, JL (1998). PRAWDOPODOBIEŃSTWO I STATYSTYKA DLA INŻYNIERII I NAUK . Międzynarodowi wydawcy Thomson, SA

Zasada uzupełnienia . (nd). Fhybea. https://www.fhybea.com/complement-rule.html

Reguła dopełnienia w prawdopodobieństwie . (2021, 1 stycznia). MateMobile. https://matemovil.com/regla-del-complemento-en-probabilidades/