Tabla de Contenidos
Begrepet frihetsgrader dukker ofte opp i både matematikk og statistikk. Avhengig av hvilket område det er snakk om, varierer konseptet betydelig.
Det intuitive konseptet om frihetsgrader
Intuitivt refererer antall frihetsgrader til antall frie valg vi kan ta i en gitt situasjon . Anta for eksempel at en gruppe på fem personer må velge mellom 5 forskjellige frukter. Den første personen står fritt til å velge hvilken som helst av fruktene. Den neste kan du fritt velge blant de resterende fire fruktene, og så videre. Ved å nå den siste personen, siden det bare var 5 frukter i begynnelsen, blir denne personen tvunget til å velge den siste frukten, noe som betyr at i virkeligheten hadde den siste personen ingen valgfrihet, mens de andre Ja.
I dette tilfellet sier vi at det var fire frihetsgrader, siden etter å ha valgt de fire første fruktene, ble den femte personens frukt bestemt automatisk.
Det skal bemerkes at grunnen til at de fem personene ikke hadde muligheten til å velge frukt fritt, er fordi det kun var fem frukter til å begynne med. Hvis vi hadde fortalt de fem personene om å velge den frukten de likte best, uten å spesifisere noe alternativ, så hadde alle fem personene hatt valgfriheten. Dette viser at det at det kun var fem frukter representerte en begrensning som reduserte gradene av valgfrihet.
frihetsgrader i matematikk
Matematisk er frihetsgradene definert som antall domenedimensjoner til en tilfeldig vektor . Dette betyr at de er antallet komponenter i en tilfeldig vektor hvis verdier vi må spesifisere for å kjenne vektoren fullstendig.
For bedre å forstå dette konseptet, la oss analysere det fra et geometrisk synspunkt. Vi kan definere en tilfeldig vektor som en som er dannet av et sett med skalære tilfeldige variabler . Hver av disse tilfeldige variablene representerer en av komponentene i vektoren i én dimensjon. Det vil si at antallet slike variabler eller komponenter ( n ) definerer et n-dimensjonalt rom som den tilfeldige vektoren kan bevege seg fritt innenfor, så vi sier at vektoren har n frihetsgrader.
For eksempel, hvis vektoren består av en enkelt tilfeldig variabel, kan denne vektoren bare variere fritt langs en enkelt dimensjon. Som en konsekvens av dette, for å definere en bestemt vektor, er det bare nødvendig å velge verdien av den enkelte tilfeldige variabelen, så vi sier at det bare er én frihetsgrad.
På den annen side, hvis en vektor er dannet av to komponenter, kan den representeres i et todimensjonalt rom, det vil si i et plan. Vi sier at denne vektoren kan bevege seg fritt langs to dimensjoner avhengig av de spesielle verdiene som disse to tilfeldige variablene antar, så vi sier at den har to frihetsgrader.
Det samme resonnementet fungerer for en tilfeldig vektor med 3, 4 eller flere komponenter.
Et typisk eksempel på en tilfeldig vektor som ofte brukes i statistikk er et utvalg av størrelse n. I dette tilfellet er hvert av de n elementene i prøven en tilfeldig variabel, og alle de n verdiene utgjør den tilfeldige vektoren som tilsvarer prøven. Hver gang vi velger en ny prøve, kan vi få en ny vektor, og det er ingenting som hindrer oss i å velge fritt og uavhengig hver av dataene som utgjør prøven.
Begrensninger av frihetsgrader
Fra det som er forklart i de foregående avsnittene kan det utledes at enhver tilfeldig vektor med n dimensjoner (det vil si dannet av n uavhengige komponenter) vil ha n frihetsgrader, siden enhver av de n komponentene kan ha hvilken som helst verdi, dvs. , er det ingenting som begrenser valget av hver av de n tilfeldige variablene.
Imidlertid, hvis variablene ikke er uavhengige av hverandre, men er knyttet til en matematisk ligning, reduseres antallet frihetsgrader, siden det vil være variabler hvis verdi er fullstendig bestemt når verdiene er valgt eller spesifisert. de andre variablene.
Disse forholdene mellom de tilfeldige variablene som utgjør vektoren er det vi kjenner som begrensninger eller betingelser, og er den matematiske ekvivalenten til «det er bare fem frukter»-betingelsen for vår intuitive forklaring av frihetsgrader.
Eksempel:
Anta at vi har en tilfeldig vektor som består av de tre tilfeldige variablene x , y og z . I utgangspunktet har dette systemet tre frihetsgrader, siden vi må velge verdiene til de tre variablene for å spesifisere en bestemt vektor fullt ut.
Men anta nå at disse variablene av en eller annen grunn må oppfylle betingelsen om at summen deres er lik 5. Denne betingelsen begrenser vårt valg av de spesielle verdiene til hver variabel, siden etter fritt valg av de to første ( x og y , x y z eller y y z ) den tredje bestemmes av ligningen x + y + z = 5
Hvis vi for eksempel velger x = 10 og y = 5 , kan ikke variabelen z anta noen verdi, men må nødvendigvis være verdt –10 for å overholde den nevnte betingelsen.
Hvis vi inkluderer flere begrensninger eller mer uavhengige sammenhenger mellom variablene, kan vi redusere antallet frihetsgrader ytterligere, helt ned til null.
frihetsgrader i statistikk
Med den klarere måten å se på frihetsgrader i matematikk, vil det være mye lettere å forstå frihetsgrader innenfor statistikkfeltet, hvor de finner det meste av nytten.
Frihetsgradene brukes til å utføre beregning av statistikk, samt til å definere sannsynlighetsfordelinger som t -studentfordelingen eller kjikvadratfordelingen.
I disse sammenhengene består frihetsgradene av antall variabler som vi må spesifisere for å bestemme verdien av en statistisk variabel som utvalgets gjennomsnitt, varians, utvalgets standardavvik osv.
For eksempel, når vi beregner prøvegjennomsnittet for et utvalg av størrelse n, må vi kjenne alle verdiene til de n elementene i prøven. Gjennomsnittet beregnes ved hjelp av følgende uttrykk:
Når imidlertid utvalgets gjennomsnitt, som beregner populasjonsgjennomsnittet, er beregnet, kan det brukes til å beregne andre statistiske variabler som utvalgets varians og standardavvik. I disse tilfellene, gitt at gjennomsnittet og de individuelle verdiene til prøveelementene er relatert ved hjelp av den forrige ligningen, som representerer en begrensning, er det sant at enhver mengde beregnet fra gjennomsnittet vil ha n-1 frihetsgrader :
Referanser
De la Cruz-Oré, JL (2013). Hva betyr grader av frihet? Peruvian Journal of Epidemiology , 17 (2), 1–6. https://www.redalyc.org/pdf/2031/203129458002.pdf
DeVore, J. (2002). Sannsynlighet og statistikk for ingeniørvitenskap og vitenskap (5. utg.). Thomson International.
Frihetsgrader . (2012, 18. november). Financial Encyclopedia. http://www.enciclopediafinanciera.com/definicion-grados-de-libertad.html
Minitab Blog Editor. (2019, 18. april). Hva er grader av frihet i statistikk? Minitab-blogg. https://blog.minitab.com/en/what-are-degrees-of-freedom-in-statistics
Pacheco, J. (2019, 15. oktober). ▷ Frihetsgrader i statistikk ( Hva er de og hvordan brukes de) | 2021 . Web og selskaper. https://www.webyempresas.com/grados-de-libertad-en-estadistica/
