Hva er et gjennomsnitt i matematikk?

I matematikk er et gjennomsnitt, også kalt gjennomsnitt, et tall som oppsummerer verdien av et sett med tall eller data i ett . Det er kjent som et mål på sentral tendens fordi det på en eller annen måte representerer en verdi som er i sentrum av en samling av data.

Hva er gjennomsnittene for?

Gjennomsnittene er svært nyttige, siden de lar oss se i store trekk oppførselen til et stort antall data uten å gå oss vill i detaljene til hver av de individuelle verdiene. For å bruke en analogi, ved å beregne et gjennomsnitt kan vi se skogen som en helhet, i stedet for å fokusere på trærne.

For eksempel kan vi ha en tabell der verdiene av høyden til 100 elever i samme klasse på en utdanningsinstitusjon. Mest sannsynlig er ingen av disse personene nøyaktig like høye, så de fleste verdiene i tabellen vil være forskjellige.

Hva ville skje hvis noen spurte oss hvor høye studentene i den klasse er på den campusen? Det ville være feil å gi høyden på noen av dem som svar. Det er her gjennomsnitt begynner å hjelpe. I stedet for å rapportere 100 forskjellige høyder, lar gjennomsnittet deg oppsummere all den informasjonen i et enkelt tall. Vi kan da si at studentene på campus i gjennomsnitt er 1,67 m høye (hvis det var tilfelle).

Dette betyr ikke at ikke alle elever måler 1,67, og heller ikke at noen av dem har denne høyden. Ganske enkelt at tallet som best representerer høyden til elevene i den klasse på den campus er 1,67 m.

Tap av informasjon med beregning av gjennomsnitt

Åpenbart, ved å oppsummere data til et gjennomsnitt, går du glipp av mye informasjon. Informasjon er ofret for klarhet. Beregningen av gjennomsnitt er en del av det som er kjent som beskrivende statistikk, som ikke er noe mer enn et sett med teknikker og beregninger som gjør at oppførselen eller egenskapene til en stor samling av data kan beskrives med få tall.

Gjennomsnittene i seg selv gir vanligvis ikke nok informasjon for mange av applikasjonene vi gir dem. For å gjenopprette noe av den manglende informasjonen, rapporteres ofte gjennomsnitt sammen med et mål på spredningen av individuelle data rundt gjennomsnittet, for eksempel variansen eller standardavviket.

Typer av gjennomsnitt og deres formler

Det er forskjellige måter å beregne et gjennomsnitt på fra en samling data. Dette gir opphav til ulike typer gjennomsnitt eller snarere gjennomsnitt.

• Aritmetisk gjennomsnitt (X̅ eller AM)
• Vektet aritmetisk gjennomsnitt (WAM)
• Geometrisk gjennomsnitt (GM)
• Harmonisk gjennomsnitt (HM)
• Root Mean Squares (RMS)

Aritmetisk gjennomsnitt (X̅ eller AM)

Det aritmetiske gjennomsnittet, eller AM, er den mest brukte formen for gjennomsnitt i dagliglivet. Det er en enkel sum av elementene som skal gjennomsnittliggjøres, delt på det totale antallet elementer eller data.

Det aritmetiske gjennomsnittet er representert i mange matematiske sammenhenger med symbolet som representerer gjennomsnittet av variabelen med en stolpe over seg. For eksempel er det aritmetiske gjennomsnittet av variabelen X representert som X̅ (X-bar). Det er også noen ganger representert av AM _X . Formelen er gitt av:

I denne ligningen representerer X _i det ite individuelle dataelementet og n er det totale antallet dataelementer som gjennomsnittliggjøres.

Dette gjennomsnittet har den karakteristikken at det er i sentrum av alle dataene, på en slik måte at summen av avvikene til alle enkeltdata i forhold til gjennomsnittet alltid er null.

Det aritmetiske gjennomsnittet er svært følsomt for uteliggere eller ekstreme data. Det vil si at når det er en verdi i et datasett som enten er mye større enn det store flertallet av de andre dataene eller mye mindre, trekker disse ekstreme dataene gjennomsnittet mot seg, bort fra flertallet av de andre dataene.

Vektet aritmetisk gjennomsnitt (WAM eller W)

Det aritmetiske gjennomsnittet gir lik betydning eller vekt til alle dataene som gjennomsnittliggjøres. Dette er imidlertid ikke alltid praktisk, siden noen data kan være viktigere enn andre. I disse tilfellene brukes det vektede aritmetiske gjennomsnittet eller det vektede gjennomsnittet, som vanligvis er representert med symbolet W (fra engelsk » veid gjennomsnitt» ).

Ved vektet gjennomsnitt legges den relative betydningen av hver datapost inn i beregningen i form av en bestemt vektingsfaktor ( w _i ) for hver datapost ( X _i ). Jo større viktigheten av dataene er, desto større er vektingsfaktoren, og øker dermed innflytelsen på det endelige gjennomsnittet. Formelen for å beregne det vektede gjennomsnittet er:

Vektingsfaktoren kan velges vilkårlig, og i noen tilfeller til og med beregnes ved hjelp av en passende vektingsfunksjon, etter behov.

Et eksempel på en situasjon hvor det vektede gjennomsnittet er mer hensiktsmessig enn det enkle gjennomsnittet er gitt ved beregning av en elevs karaktergjennomsnitt. Det aritmetiske gjennomsnittet eller det enkle gjennomsnittet er ikke egnet for disse tilfellene, siden det er fag som krever mye mer arbeid og dedikasjon enn andre, og det er også fag som er viktigere enn andre for elevens faglige fremtid. Av denne grunn bør de bidra mer til GPA enn mindre viktige fag.

I disse tilfellene brukes vanligvis fagets antall studiepoeng som vektingsfaktor.

geometrisk gjennomsnitt (GM)

Ved å beregne det geometriske gjennomsnittet, i stedet for å ta summen av dataene og dele den med antall data, multipliseres de n individuelle dataene sammen og den n-te roten av fellesproduktet tas.

Dette gjennomsnittet har egenskapen å være null hvis noen av dataene som gjennomsnittliggjøres er null. Dessuten, hvis antallet dataelementer er partall, er det geometriske gjennomsnittet ikke definert for negative data, og det er grunnen til at dets nytte er begrenset til strengt positive tall.

Denne typen gjennomsnitt brukes ofte ved beregning av prosentvise gjennomsnitt.

Harmonisk gjennomsnitt (HM)

Den harmoniske middelverdien, eller HM, er en type gjennomsnitt som ofte brukes til å gjennomsnittlige mengder som beregnes som produkter eller kvotienter. Noen viktige eksempler er beregning av gjennomsnittshastigheter over turer av samme lengde, pris/inntektsforhold (PER) på investeringer i aksjemarkedet, etc.

Formelen for å beregne det harmoniske gjennomsnittet består av inversen av det aritmetiske gjennomsnittet av inversene til de individuelle dataene. Med andre ord, det er gitt av følgende ligning:

Root Mean Square (RMS)

Også kjent som rotmiddelkvadrat, representerer RMS en type gjennomsnitt som er egnet for data som har både positive og negative verdier. Dette er fordi det tilsvarer kvadratroten av det aritmetiske gjennomsnittet av kvadratene til de individuelle dataene. Ved å kvadrere hvert stykke data, vil resultatet som oppnås alltid være positivt, så påvirkningen av dette tegnet på beregningen av gjennomsnittet elimineres.

RMS er gitt av:

Den vanligste anvendelsen av RMS er beregningen av den effektive spenningen til AC-strømmen med sinusformet bølge. I dette tilfellet er det viktigste den gjennomsnittlige amplituden til bølgen og ikke den gjennomsnittlige verdien av spenningen, som er null på grunn av symmetri rundt 0 V.

Andre mål på sentral tendens: medianen og modusen

I tillegg til de ulike virkemidlene som vi så tidligere, er det også andre mål på sentral tendens som hovedsakelig brukes i statistikk. Dette er medianen og modusen.

Medianen (X̃)

I et sett med kvantitative data sortert fra minste til største, representerer medianen de sentrale dataene, eller verdien av variabelen som deler dataserien i to halvdeler eller sett med samme antall data. På denne måten avhenger bestemmelsen av medianen, som er representert ved å plassere en tilde eller tilde over symbolet til variabelen av interesse (for eksempel kan ṽ representere medianen til en serie hastighetsdata), av det totale antallet data tilgjengelig.

Medianen beregnes ikke nødvendigvis, men identifiseres i et datasett. For å identifisere medianen er det første du må gjøre å bestille alle dataene fra minste til største og deretter nummerere dem i rekkefølge fra 1 og utover. Det neste trinnet avhenger av om det totale antallet data (n) tilstede er partall eller oddetall:

Antall odde data: Hvis serien inneholder et oddetall data, vil medianen være dataene identifisert med tallet (n+1)/2. For eksempel, hvis det er 15 datapunkter totalt, vil medianen være datapunktet (15+1)2=8, siden dette etterlater 7 datapunkter under og 7 datapunkter over medianen.

Antall like data: I dette tilfellet er det ingen sentrale data som deler serien i to like halvdeler, så medianen beregnes som det aritmetiske gjennomsnittet av de to sentrale dataene, det vil si av datanummeret n/2 og dataene (n/2) +1. For eksempel, hvis en dataserie inneholder 24 dataelementer, vil medianen være det enkle gjennomsnittet mellom dataelementet 2/2=12 og dataelementet (2/24)+1=13.

Medianen gir fordelen av å være mindre følsom for ekstreme verdier enn gjennomsnittet. Det er imidlertid ikke et godt mål på sentral tendens hvis dataene er skjeve.

Modusen (Mo _X )

Modusen er ganske enkelt den hyppigst forekommende verdien eller kategorien i et datasett. Det er noe sånt som den «hotteste» verdien i serien og representerer den høyeste toppen når dataene er representert i form av et histogram.

Eksempel på beregning av ulike gjennomsnitt

Anta at vi har følgende serie med data som tilsvarer høyden til 30 elever i en matematikkavdeling på en skole i hovedstaden. Alle høyder er i meter.

Fra disse dataene bestemme a) det aritmetiske gjennomsnittet; b) det geometriske gjennomsnittet; c) det harmoniske gjennomsnittet; d) RMS, og e) medianen.

Løsning

Siden vi blir bedt om å bestemme medianen, og for dette må vi ha dataene ordnet og identifisert, vil vi starte der, siden dette vanligvis letter de andre beregningene:

Nå, ved å bruke denne tabellen, vil vi beregne gjennomsnittene som vi blir bedt om å beregne. I begge tilfeller er det bare et spørsmål om å bruke ligningene vist ovenfor:

Aritmetisk gjennomsnitt

Geometrisk gjennomsnitt

harmonisk middel

RMS

Median

Siden det er et partall med data, vil medianen være det aritmetiske gjennomsnittet av dataene 30/2=15 og (30/2)+1=16, det vil si at det vil være gjennomsnittet mellom 1,58 og 1,59:

Referanser

Conthe, M. (2017, 21. juli). Aritmetisk gjennomsnitt eller geometrisk gjennomsnitt? Ekspansjon. https://www.expansion.com/blogs/conthe/2017/07/21/un-calculo-poco-armonico.html

Nyt matematikk. (2011). Definisjon: Gjennomsnittlig . Enjoythemathematics.com. https://www.disfrutalasmatematicas.com/definiciones/average.html

Larios, R. (2020, 9. september). Hva er gjennomsnittet i matematikk? Lær hjemme II . Jalisco Union. https://www.unionjalisco.mx/2020/09/09/que-es-el-promedio-en-matematicas-aprende-en-casa-ii/

López, JF (2021, 2. februar). geometrisk gjennomsnitt . Economipedia. https://economipedia.com/definiciones/media-geometrica.html

Matematikk, M. (2020, 25. juni). gjennomsnitt; Aritmetikk; geometriske og harmoniske; egenskaper; applikasjoner . Matte. https://matematicas.review/promedios-aritmetico-geometrico-y-armonico-propiedades-aplicaciones/

Pérez P., J., & Merino, M. (2011). Definisjon av gjennomsnitt . Definisjon av. https://definicion.de/average/

Det åpne universitetet. (2020). Grunnvitenskap: forstå tall . OpenLearn. Tilgjengelig på https://www.open.edu/openlearn/science-maths-technology/basic-science-understanding-numbers/content-section-overview .