Tabla de Contenidos
I matematikk er forventet verdi , også kjent som forventningen , det langsiktige gjennomsnittet av verdien av en tilfeldig variabel. På en måte tilsvarer den verdien av den tilfeldige variabelen som vi i gjennomsnitt ville forvente å få etter å ha gjentatt et tilfeldig eksperiment mange ganger (derav navnet «forventet verdi»).
Det er to forskjellige måter å beregne forventet verdi på avhengig av hvilken type tilfeldig variabel det er snakk om. Denne variabelen er vanligvis representert med stor bokstav X, og kan enten være kontinuerlig eller diskret. I hvert av tilfellene endres måten å beregne forventningen til X (angitt med E[X]), som vil bli sett nedenfor.
Beregning av forventet verdi av en diskret tilfeldig variabel
En tilfeldig variabel er enhver funksjon som tildeler et tall eller en numerisk verdi til hvert utfall av et tilfeldig eksperiment, enten det er kvantitativt eller kvalitativt. Når det gjelder diskrete tilfeldige variabler, refererer disse til de tilfeldige variablene som har et begrenset antall mulige utfall, eller hvis utfall kan sorteres som første, andre, tredje osv.
Et eksempel på en diskret tilfeldig variabel kan være antall partall som kastes når to 6-sidige terninger kastes. I dette tilfellet vil de eneste mulige verdiene for den tilfeldige variabelen være 0, 1 og 2.
Den forventede verdien av en diskret tilfeldig variabel beregnes ved å legge til produktet av hver verdi av variabelen og sannsynligheten for den verdien. Dette kan skrives matematisk ved å bruke følgende formel:
I denne ligningen er E[X] forventningen til X (verdien vi ønsker å bestemme), x i tilsvarer den ith-verdien til den tilfeldige variabelen, og P(x i ) tilsvarer sannsynligheten for at utfallet av eksperimentet er x i .
Eksempel på beregning av forventet verdi av en diskret tilfeldig variabel
En praktisk og enkel måte å forstå begrepet forventet verdi på er gjennom sjansespill. Se for deg et spill med lucky roulette, som showet som, med lokale variasjoner, sendes på TV i mange land. I dette ruletthjulet er det i visse tilfeller 4 wedges som resulterer i å tape $400, det er 5 wedges som inneholder 0, 6 som inneholder $1000 og 1 wedge med jackpotten på $6000. Spørsmålet er, hva er den forventede verdien av pengebeløpet som roulette-deltakere vil vinne i det lange løp?
Når vi står overfor et problem som dette, er det første vi må gjøre å bestemme alle mulige resultater av eksperimentet som består av å snurre ruletthjulet. I tillegg må det være mulig å bestemme sannsynligheten for å oppnå hver av de mulige verdiene til den tilfeldige variabelen.
I dette tilfellet er det bare 4 mulige utfall som er -$400, $0, $1000 og $6000. Totalt er det 4 + 5 + 6 + 1 = 16 kiler, så sannsynlighetene for hvert utfall av den tilfeldige variabelen er 1/4, 5/16. 3/8 og 1/16.
| X | P(x) |
| -$400 | 4/16 = 1/4 |
| $0 | 16/5 |
| $1000 | 6/16 = 3/8 |
| $6000 | 1/16 |
Nå har vi allerede det vi trenger for å utføre summeringen for å bestemme forventet verdi:
Dette betyr at i det lange løp betaler roulette sine deltakere $650.
Beregning av forventet verdi av en kontinuerlig tilfeldig variabel
Når en tilfeldig variabel er kontinuerlig, betyr det at settet med dens mulige verdier består av et intervall med reelle tall, enten dette intervallet er endelig eller uendelig. For kontinuerlige tilfeldige variabler erstattes sannsynligheten med pdf og summeringen erstattes av integralet:
I denne ligningen er x den kontinuerlige tilfeldige variabelen, og f (x) tilsvarer sannsynlighetsfordelingsfunksjonen til x. Som du kan se her, må integralet gjøres over alle mulige verdier av den tilfeldige variabelen, X-
Eksempel på beregning av forventet verdi av en kontinuerlig tilfeldig variabel
Tenk på en kontinuerlig tilfeldig variabel hvis distribusjonsfunksjon er gitt av:
Du blir bedt om å bestemme hva gjennomsnittet eller forventet verdi av denne kontinuerlige tilfeldige variabelen er.
Når du løser dette problemet, bør det tas i betraktning at funksjonen er definert stykkevis, og deler den reelle linjen i 3 intervaller, som er (-∞; -2 ), [-2 ; 2] og (2; + ∞). På denne måten, når du bruker formelen for forventningen til X, blir integralet delt inn i summen av tre integraler:
Men siden den tilfeldige variabelen, x, er null i det første og siste intervallet, er begge integralene null, noe som bare gir senterintegralet, evaluert mellom -2 og +2:
Referanser
Kalkulator for forventet verdi. (nd). Hentet fra http://www.learningaboutelectronics.com/Articulos/Calculadora-de-valor-esperado.php
del Rio, AQ (2019, 4. september). 5.4 Matematisk forventning til en tilfeldig variabel | Sweetened Basic Statistics. Hentet fra https://bookdown.org/aquintela/EBE/esperanza-matematica-de-una-variable-aleatoria.html
López, JF (2021, 15. februar). Matematisk håp. Hentet fra https://economipedia.com/definiciones/esperanza-matematica.html
MateMobile. (2021, 1. januar). Gjennomsnittlig eller forventet verdi, varians og standardavvik for en kontinuerlig tilfeldig variabel | matmobil. Hentet fra https://matemovil.com/media-o-valor-esperado-varianza-y-desviacion-estandar-de-una-variable-aleatoria-continua/
Webster, A. (2001). Statistikk brukt på næringsliv og økonomi (spansk utgave) . Toronto, Canada: Irwin Professional Publishing.
