Hvordan beregne forventet verdi i rulett

Sannsynligvis refererer forventet verdi av en tilfeldig variabel til gjennomsnittsverdien av et stort antall ganger variabelen oppstår . Det beregnes som et vektet gjennomsnitt av alle mulige verdier av den tilfeldige variabelen, der vektingsfaktoren ikke er mer enn sannsynligheten for at hver verdi vil inntreffe.

Sannsynlighet er et studieområde av stor betydning innen sjansespill, blant annet er rulett en av de mest populære og enkleste å forstå.

Hva er rulett og hvordan spilles det?

Et typisk amerikansk ruletthjul består av et hjul med en serie spor merket 1 til 36, hvorav 18 er svarte mens de andre 18 er røde. I tillegg er det to grønne celler eller spor plassert i motsatte ender av hjulet identifisert med henholdsvis tallene 0 og 00, for totalt 38 celler.

Det finnes også franske rulett, som ikke har 00-boksen og derfor har 37 bokser totalt.

Spillet består av å snurre hjulet mens en liten ball kastes i motsatt retning. Når spinneren og ballen bremser ned, ender ballen opp i en av de 37 eller 38 lommene eller sporene. Før ballen hviler, kan deltakerne gjøre ulike typer spill. Noen av de mulige innsatsene er:

• Spill på et spesifikt nummer (betaler vanligvis 35:1)
• Sats på to tilstøtende tall (betaler vanligvis 17:1)
• Spill på rød eller svart (betaler vanligvis 1:1)
• Oddetall eller partall (betaler vanligvis 1:1)
• Lav eller høy innsats, det vil si de første 18 tallene (fra 1 til 18) eller de siste 18 (fra 19 til 36) (betaler vanligvis 1:1)
• First Dozen (1-12) (betaler vanligvis 2:1)
• Andre dusin (fra 13 til 24) (betaler vanligvis 2:1)
• Tredje dusin (fra 25 til 36) (betaler vanligvis 2:1)

Som du kan se, tilbyr hver av disse innsatsene en spesifikk utbetaling, som avhenger av sannsynligheten for at det skjer.

Deretter vil vi beregne den forventede verdien av gevinstene i henhold til de forskjellige typene innsatser som vi kan gjøre i et amerikansk ruletthjul. Resultatene som oppnås her ekstrapoleres enkelt til fransk rulett, ganske enkelt ved å endre det totale antallet mulige resultater i nevnerne for alle sannsynligheter.

I alle tilfeller vil vi bestemme den forventede verdien av gevinsten for hver dollar vi satser, selv om den numeriske verdien kan overføres til en hvilken som helst annen valuta. Videre, å multiplisere denne forventede verdien med den faktiske verdien av innsatsen vil produsere den forventede verdien av den innsatsen. Så hvis vi i stedet for å satse $1 satser $100, trenger vi bare å multiplisere den forventede verdien av $1 innsatsen med 100.

Formel for å beregne forventet verdi av en innsats i rulett

Den tilfeldige variabelen hvis forventede verdi vi ønsker å bestemme er hvor mye penger vi vil vinne, i gjennomsnitt, hvis vi gjør samme rulettsatsing et stort antall ganger. Når vi gjør en innsats, gjennomfører vi et eksperiment som bare har to mulige utfall: vi vinner eller vi taper. Vi vinner hvis ballen lander i en boks som matcher innsatsen vår, og ellers vil vi tape.

Hvis vi kaller X for fortjenesten oppnådd ved å satse (vår tilfeldighetsvariabel), p sannsynligheten for suksess, x ₁ fortjenesten vi vil oppnå hvis vi vinner, q sannsynligheten for å mislykkes og x ₂ fortjenesten (eller tapet) vi vil ha hvis vi taper, så kan vi beregne den forventede verdien av et spill som:

Nå skal vi se hvordan vi bruker denne formelen på de forskjellige innsatsene vi kan gjøre.

Forventet verdi av å satse på et bestemt tall i rulett

Anta at vi satser $1 på et bestemt tall (0, 00, 1, 2, 3, …).

Utbetalingen for denne innsatsen, hvis vi vinner, er 35 til 1, noe som betyr at vi får $35 for hver $1 vi satser, pluss at vi får satset $1. Vi vil da si at verdien av vår tilfeldige variabel i tilfelle suksess (x ₁ ) vil være, i dette tilfellet, +$35, siden det er nettofortjenesten. Sannsynligheten for suksess (p) er 1/38, siden det er totalt 38 forskjellige ruter der ballen kan falle mens bare 1 vi vinner med.

På den annen side, hvis ballen lander på et annet tall, taper vi innsatsen, i så fall beholder huset $1 vi satser. Dermed vil «profitt» vår være –$1 siden vi faktisk taper penger. Sannsynligheten for å tape (q) er 37/38, siden enhver annen boks enn tallet vi satser på vil få oss til å tape. Med disse dataene kan vi bruke formelen og bestemme den forventede verdien av denne innsatsen:

Med andre ord, den forventede verdien av å satse på et bestemt tall i roulette er et tap på 5,3 cent for hver dollar vi satser.

Forventet verdi av å satse på to tilstøtende tall

Anta at vi satser $1 ved å plassere en sjetong mellom to tilstøtende tall, for eksempel 2 og 3 eller 17 og 20 (som er vertikalt ved siden av hverandre).

Utbetalingen for denne innsatsen, i motsetning til den forrige, er 17 til 1, noe som betyr at vi får $17 tilbake for hver $1 vi satser, pluss at vi får $1 tilbake. Gevinsten vil i dette tilfellet være +$17, mens sannsynligheten for suksess (p) vil være 2/38, siden det er to tall som vil få oss til å vinne mens det fortsatt er de samme 38 cellene totalt.

På den annen side, hvis vi taper, taper vi igjen den samme $1 som vi satser, men sannsynligheten for å tape (q) er nå 36/38. Den forventede verdien av dette spillet er da:

Igjen er det forventet at ved å satse på et hvilket som helst par av tilstøtende tall i rulett flere ganger, vil vi i gjennomsnitt tape 5,3 cent for hver dollar vi satser.

Forventet verdi av veddemål med dusinvis

Det er seks forskjellige innsatser vi kan gjøre i roulette som inkluderer et dusin mulige gunstige utfall; tre av dem består av å satse på det første, andre eller tredje dusin tallene (ikke inkludert 0 eller 00), og de tre andre består av å satse på en av de tre kolonnene der tallene er arrangert på roulettebordet.

Utbetalingen for noen av disse spillene er 2 til 1, noe som betyr at vi vinner $2 for hver $1 vi satser og får $1 tilbake. Sannsynligheten for suksess er 12/38 siden vi satser på en kurv med 12 forskjellige tall. Til slutt er sannsynligheten for feil 26/38 med samme tap på $1 (eller gevinst på -$1, som er det samme).

Den forventede verdien av vår tilfeldige variabel er i dette tilfellet:

Forventet verdi av å satse på rødt eller svart, partall eller oddetall, eller satse lavt eller høyt

Til slutt er det seks andre forskjellige innsatser som vi kan gjøre i roulette som gir både samme sannsynlighet for suksess, og samme betaling hvis vi vinner, samt samme sannsynlighet for å mislykkes og samme tap av penger hvis vi taper, så vi vil beregne deres forventede verdi på samme måte for alle. Disse spillene er:

• Sats på rødt.
• satse på svart
• Sats på partall
• Sats på oddetall
• Sats på de nederste 18 tallene (tallene fra 1 til 18)
• Sats på de høye 18 tallene (tallene fra 19 til 36)

Selv om de ser ut som veldig forskjellige spill, er de faktisk helt like. De betaler alle $1 for hver $1 som satses, pluss $1 returnert, så alle netto +$1.

I tillegg har de alle samme sannsynlighet for suksess (og, som komplement, for fiasko). For eksempel er halvparten av tallene fra 1 til 36 identifisert med fargen rød mens den andre halvparten er identifisert med svart, så det er en 18/38 sannsynlighet for at det kommer opp rødt eller svart (husk at cellene til 0 og 00 er grønne, og fullfører dermed de totalt 38 mulige resultatene).

Når det gjelder oddetall og partall, siden det er 36 påfølgende tall, vil halvparten være partall (2, 4, 6, 8, 10, 12, ,…,34 og 36) og den andre halvparten vil være oddetall (1, 3 , 5, 7, 9, 11, …, 33 og 35). Vi må huske at null ikke regnes som et partall eller oddetall, så verken 0- eller 00-boksen er en del av noen av de to resultatene.

Til slutt er det 18 lave tall og 18 høye tall, så sannsynligheten for å få det ene eller det andre resultatet er også 18/38.

På den annen side inkluderer fiasko i alle disse tilfellene den andre halvparten av tallene som ikke regnes med i innsatsen pluss 0 og 00, så det er totalt 20 mulige uønskede utfall. Dette innebærer en sannsynlighet for feil på 20/38.

Den forventede verdien av noen av disse spillene er da:

Hvordan tolkes disse resultatene?

Dette resultatet betyr ikke at hvis vi går inn i et kasino og satser $1 på 21, for eksempel, vil vi tape $0,053. I virkeligheten, hvis vi bare spiller én gang , vil vi enten gå hjem $1 mindre, eller $35 mer.

Hva dette resultatet betyr er at hvis vi satser på rulett mange ganger og alltid satser på et enkelt tall, noen ganger vil vi vinne $35 og andre ganger vil vi tape $1, men i gjennomsnitt vil vi ende opp med å tape $0,053 for hver satsede dollar.

Dette resultatet bekrefter det populære ordtaket om at «banken alltid vinner», med henvisning til det faktum at selv om et kasino noen ganger betaler ut en jackpot til en heldig gambler, vil de alltid ende opp med å vinne alt de tapte, og mer enn det. alle de små innsatsene der deltakerne taper.

Referanser

DeVore, J. (2002). Sannsynlighet og statistikk for ingeniørvitenskap og vitenskap (5. utg.). Thomson International.

Elisa, M. (2021, 23. april). Hvordan vinne på rulett: Introduksjon til sannsynligheter og forventede verdier . Medium. https://www.cantorsparadise.com/how-to-win-at-roulette-intro-to-probabilities-and-expected-values-f23baed1065e

Forventet verdi i statistikk: Definisjon og beregninger . (2021, 8. juni). Statistikk Hvordan. https://www.statisticshowto.com/probability-and-statistics/expected-value/

Gjennomsnitt (forventet verdi), varians og standardavvik for diskret tilfeldig variabel | matermobil . (2021, 1. januar). MateMobile. https://matemovil.com/media-varianza-y-desviacion-estandar-de-una-variable-aleatoria-discreta/

Studiekraft. (2021, 8. juni). Forventet verdi i statistikk: Definisjon og beregninger [Video]. Statistikk Hvordan. https://www.statisticshowto.com/probability-and-statistics/expected-value/