Forskjellen mellom standardavvikene til et utvalg og en populasjon

Ved beregning av standardavviket må to situasjoner vurderes: standardavviket til en populasjon eller et sett med verdier, og standardavviket til et utvalg.

La oss huske, før vi går videre i de to definisjonene, at standardavviket σ er en parameter som gjør det mulig å evaluere spredningen av et sett med verdier . Hvis gjennomsnittet av et sett med verdier beregnes, evaluerer standardavviket forskjellen mellom verdiene i settet fra gjennomsnittet. Og gjennomsnittet av et sett med n verdier er definert som summen av dem alle delt på antall n verdier . Den generelle formelen som brukes til å beregne standardavviket σ er vist nedenfor; består av å trekke fra hver verdi av settet som vi analyserer, som vi noterer med subscript i, gjennomsnittet av alle verdier; vi kvadrerer hver av disse forskjellene og legger dem til; Vi deler resultatet med antall verdier i settet minus 1, og beregner kvadratroten av denne verdien.

Selv om begge definisjonene av standardavvik vurderer variabilitet, er det konseptuelle forskjeller mellom å beregne på en populasjon og på et utvalg. Forskjellen har å gjøre med skillet mellom en statistisk variabel og en matematisk parameter. Hvis data samles inn fra alle medlemmer av en populasjon eller et definert datasett studeres, er dette beregningen av standardavviket til en populasjon. Hvis du analyserer data som representerer et utvalg fra en større populasjon, er det beregningen av standardavviket til et utvalg. Figuren nedenfor illustrerer forskjellen grafisk. Standardavviket til en populasjon er en matematisk parameter med en bestemt verdi; Standardavviket til et utvalg er en statistisk parameter som evaluerer et sett med data hvis resultat projiseres på et større sett. Denne evalueringen avhenger av utvalget, det er ikke en bestemt verdi, slik det er i tilfellet med en populasjon.

Kvalitativt innebærer forskjellen i definisjon en litt annen beregning; Når det gjelder standardavviket til en prøve, deles forskjellen mellom hver verdi og kvadratgjennomsnittet på antall verdier minus 1 ( n – 1), som vist i forrige formel. I tilfellet med standardavviket til en populasjon deles det på n .

Eksempel

La oss se et eksempel for å fikse ideer. La oss ta et sett med verdier og beregne standardavviket i henhold til de to definisjonene. Gruppen er som følger, og inneholder 5 verdier ( n = 5), som er som følger:

1, 2, 4, 5, 8

Gjennomsnittet av disse verdiene har følgende uttrykk

(1 + 2 + 4 + 5 + 8)/5 = 20/5 = 4

Forskjellene til hver verdi og gjennomsnittet i andre er representert med følgende sekvens

(1 – 4) ² = 9

(2 – 4) ² = 4

(4 – 4) ² = 0

(5 – 4) ² = 1

(8 – 4) ² = 16

Summen av de fem verdiene er 30.

Ved beregning av standardavviket til populasjonen må denne verdien deles på n , 5 i dette eksemplet og resultatet er 6 . Når det gjelder standardavviket til prøven, er det nødvendig å dele mellom n – 1; 4 i dette tilfellet og resultatet er 7,5 . For å fullføre regnestykket må vi få kvadratroten; omtrent 2,4495 hvis det var en populasjon, og omtrent 2,7386 hvis det var et utvalg.

Fontene

Yadolah Dodge. The Concise Encyclopaedia of Statistics . New York: Springer, 2010.