Gjensidig eksklusiv – betydning, anvendelse og eksempler

Definisjonen av gjensidig utelukkende hendelser kan gis på forskjellige måter. Til å begynne med sies to hendelser å være gjensidig utelukkende eller usammenhengende hvis forekomsten av den ene utelukker muligheten for at den andre inntreffer . Dette betyr at de er hendelser som ikke kan skje samtidig . For eksempel, når du kaster en terning bare én gang, utelukker resultatet av landing på en av de seks flatene den fra å lande på noen av de fem andre. Dermed utelukker hendelsen som lander 4 og hendelsen som lander, for eksempel 3, gjensidig, siden terningen ikke kan lande på både 4 og 3 samtidig.

På den annen side, i feltet sannsynlighet sies det at to hendelser er gjensidig utelukkende så lenge de ikke deler resultater med hverandre . Dette kommer fra det faktum at en hendelse sannsynligvis betraktes som et sett med mulige resultater av et eksperiment. Ulike hendelser kan defineres som deler eller ikke deler resultater, og de som ikke deler resultater anses som gjensidig utelukkende.

I mer formelle matematiske termer, og ved bruk av settteori-notasjon, vil hendelser A og B være gjensidig utelukkende hvis skjæringspunktet deres er det tomme settet , det vil si at de ikke krysser hverandre. Med andre ord vil A og B være gjensidig utelukkende så lenge A ∩ B = Ø.

Når utelukker to arrangementer hverandre?

I tilfeller der logikken ikke forteller oss på forhånd om to hendelser utelukker hverandre, gir mengdteori og sannsynlighet løsningen. Her er tre enkle måter å avgjøre, uten tvil, når to hendelser er gjensidig utelukkende eller usammenhengende.

Observer elementene i hvert sett

Når to hendelser inneholder et begrenset og lite sett med elementer, er det veldig enkelt å avgjøre om de er usammenhengende eller ikke, ganske enkelt ved å sjekke om de inneholder elementer til felles eller ikke.

Eksempel

Tenk for eksempel på eksperimentet med å kaste to terninger samtidig. La oss nå definere følgende to hendelser:

• La A være hendelsen at summen av de to terningene er større enn eller lik 10.
• La B være hendelsen der summen av de to terningene er nøyaktig lik 8.

Det er enkelt å finne ut hvilke resultater som er inkludert i hvert arrangement. I den første, bare resultatene (5,5); (5,6) og (6,6) resulterer i en sum større enn eller lik 10. På den annen side er det bare resultatene (4,4); (5,3) og (6,2) gir 8. Så nå kan vi skrive, ved å bruke settteoretisk symbolologi:

Siden det ikke er noen felles elementer, er skjæringspunktet det tomme settet, og derfor er hendelsene gjensidig utelukkende.

Bruke Venn-diagrammer

En annen veldig enkel måte å avgjøre om to hendelser utelukker hverandre er å representere dem i et Venn-diagram. I disse diagrammene er prøverommet representert av et rektangel (eller annen form), mens alle hendelser er representert som interne områder av prøverommet.

I et Venn-diagram blir gjensidig utelukkende hendelser lett gjenkjent som de områdene i rektangelet som ikke berører eller overlapper.

Etter sannsynligheten for forening

I noen tilfeller kan de to ovennevnte metodene ikke brukes. En alternativ måte å sjekke om to hendelser utelukker hverandre eller ikke er gjennom sannsynlighet. Hvis de individuelle sannsynlighetene for hver hendelse er kjent, det vil si P(A) og P(B), samt sannsynligheten for at den ene eller andre hendelsen inntreffer, det vil si P(AUB), så vet vi at to hendelser er usammenhengende. hvis det er oppfylt at:

En alternativ måte er gjennom sannsynligheten for kryss. To hendelser vil være gjensidig utelukkende så lenge P(A ∩ B) = 0 .

Eksempler på gjensidig utelukkende arrangementer

Enkle hendelser utelukker alltid hverandre

Enkle hendelser er de som inneholder ett enkelt resultat. Når du kaster en sekssidig terning, er begivenheten at den kommer opp 6 en enkel begivenhet, fordi den består kun av resultatet 6. På den annen side er hendelsen som den kommer opp til og med ikke enkel, siden den er består av tre resultater, som er 2, 4 og 6.

Alle enkle hendelser i et eksperiment vil alltid være gjensidig utelukkende.

Eksempel

Anta at en studie bestemmer antall menn født per uke på et sykehus. Prøverommet, S , for dette eksperimentet er

Noen enkle hendelser vil være:

Som man kan se, siden de ikke har mer enn ett resultat og alle er forskjellige, kan ingen av disse hendelsene dele elementer med andre, og derfor vil de alltid utelukke hverandre.

Kast tre terninger samtidig

Å kaste tre terninger samtidig er et eksperiment som kan ha 36 forskjellige resultater, siden rekkefølgen på terningene spiller ingen rolle: resultatene (1,2,3); (1,3,2); (2,1,3); (2,3,1); (3,1,2) og (3,2,1) representerer alle det samme resultatet.

Tenk deg at følgende tre hendelser skjer:

• A = hendelse der alle terningene gir samme resultat.
• B = hendelse der bare to terninger gir samme resultat.
• C = hendelse der alle terningene gir forskjellige resultater.

Med sunn fornuft alene kan det konkluderes med at A, B og C alle er gjensidig utelukkende hendelser, siden hvis alle terninger gir samme resultat (hendelse A inntreffer) er det umulig for bare to å være like og en forskjellig, eller at alle er forskjellige.

Kortspill

Se for deg et eksperiment der to kort trekkes tilfeldig fra en kortstokk med 52 pokerkort. La oss nå definere følgende hendelser:

• A = kun røde prikker tegnes.
• B = kun svarte prikker tegnes.

Disse hendelsene utelukker hverandre, siden hvis kortene begge er røde, kan de ikke begge være svarte og omvendt.

Eksempler på hendelser som ikke utelukker hverandre

Kast tre terninger samtidig

La oss ta det samme eksperimentet med tre terninger beskrevet ovenfor, men nå definere følgende hendelser:

• A = hendelse hvor alle terninger er like = {(1,1,1); (2,2,2); (3,3,3);…}
• B = hendelse der alle terningene er partall = { (2,2,2); (2,2,4); (2,2,6)…}

Ved å sammenligne elementene inne i A og B er det lett å se at det vil være treff, og at skjæringspunktet mellom A og B vil være:

Siden krysset ikke er det tomme settet, er ikke disse hendelsene usammenhengende.

Kortspill

Ved å gjenta det samme eksperimentet med å trekke to kort fra en kortstokk, la oss vurdere følgende nye hendelser:

• A = minst ett kort er hjerter.
• B = minst ett kort er en konge.

I dette tilfellet, når en konge av hjerter trekkes, skjer A og B samtidig. Faktisk er dette ikke det eneste resultatet som skjer, siden hvis en sparkonge og et hjerteess trekkes, vil A og B også skje samtidig. Derfor er ikke A og B gjensidig utelukkende hendelser.

Viktigheten og anvendelsen av gjensidig utelukkende arrangementer

I matematikk avhenger beregningen av sannsynligheten for flere hendelser i stor grad av om de utelukker hverandre eller ikke. For eksempel sier en av sannsynlighetsaksiomene at foreningssannsynligheten for flere hendelser er lik summen av den individuelle sannsynligheten for hver hendelse hvis, og bare hvis, alle hendelsene er gjensidig utelukkende . Med andre ord,

Bare hvis A og B er usammenhengende eller gjensidig utelukkende hendelser.

Hvis de ikke utelukker hverandre, teller summen av sannsynlighetene to ganger sannsynligheten for utfall som er felles for begge hendelsene, dvs. sannsynligheten for skjæring. Av denne grunn, i disse tilfellene, beregnes fagforeningssannsynligheten på en annen måte:

For tre hendelser, A, B og C som ikke utelukker hverandre og som også krysser hverandre, blir ting enda mer komplisert:

I dette tilfellet må sannsynligheten for skjæringspunktet mellom de tre hendelsene, P( A ∩ B ∩ C) , legges til sist, siden den ble trukket fra tre ganger ved å subtrahere skjæringspunktene til de forskjellige hendelsesparene.