Tabla de Contenidos
Variansen til en tilfeldig variabel er et mål på spredningen rundt gjennomsnittet . Dette betyr at det er en mengde som indikerer den gjennomsnittlige spredningen av verdiene til nevnte variabel på begge sider av gjennomsnittet eller amplituden til sannsynlighetsfordelingen. Denne parameteren er en viktig størrelse for enhver tilfeldig variabel, uavhengig av sannsynlighetsfordelingen.
På den annen side er Poisson -fordelingen en diskret sannsynlighetsfordeling som tjener til å modellere frekvensen som diskrete hendelser inntreffer innenfor et tidsintervall , selv om den også kan refereres til i forhold til andre kontinuerlige variabler, for eksempel lengden på en ledning , en overflate osv.
Poisson-fordelingen er av stor betydning, siden den tillater modelleringsprosesser like daglig som antall personer som ankommer i en kø ved billettkontoret til en minibank, samt prosesser så komplekse som antall radioaktive henfall i et gitt tidsintervall. fra en prøve av atomavfall.
Matematisk definisjon av Poisson-fordelingen
En tilfeldig variabel X følger en Poisson-fordeling hvis dens sannsynlighetsmassefunksjon eller PMF har følgende form:
I formelen er λ en alltid positiv parameter for fordelingen og x representerer de forskjellige verdiene som den tilfeldige variabelen kan ta. I Poisson-prosesser representerer parameteren λ generelt hastighet eller frekvens per tidsenhet, per arealenhet og så videre.
Som vi skal vise senere, er λ i sin tur gjennomsnittet av Poisson-fordelingen, så vel som dens varians.
Nå som vi vet hva denne fordelingsfunksjonen er og hva den er for, la oss se på en mer formell definisjon av varians, den generelle måten å beregne den på, og til slutt, hvordan variansen beregnes for det spesielle tilfellet med Poisson-fordelingen.
Hva er variansen?
Matematisk tilsvarer variansen til en tilfeldig variabel X, angitt i statistikk med Var(X) , den forventede verdien av kvadratet av avviket til nevnte variabel fra gjennomsnittet, som uttrykkes med følgende formel:
Selv om den forrige definisjonen kan brukes til å beregne variansen til enhver tilfeldig variabel, kan den også beregnes lettere ved å bruke det første og andre ordinære momentet, eller momentene rundt origo (m 1 , m 2 ) som følger :
Denne måten å beregne variansen på er mer praktisk enn den første, så det vil være den vi vil bruke i denne artikkelen for å beregne variansen til Poisson-fordelingen.
Beregning av variansen til Poisson-fordelingen
Beregning av gjennomsnittet eller første ordinære øyeblikk
La oss huske at, for enhver diskret fordeling, kan gjennomsnittet eller forventningen til X bestemmes ved hjelp av følgende uttrykk, som definerer det første øyeblikket:
Vi kan ta denne summen fra x=1 og utover, siden det første leddet er null. Dessuten, hvis vi nå multipliserer og deler alt med λ og også erstatter x!/x med (x-1)! , vi oppnår:
Dette uttrykket kan forenkles ved å gjøre endringen av variabel y = x – 1 , og etterlate:
Funksjonen inne i summeringen er igjen Poisson-sannsynlighetsfunksjonen, som per definisjon er summeringen av alle sannsynligheter fra null til uendelig av enhver sannsynlighetsfunksjon som må være lik 1.
Vi har allerede det første øyeblikket eller gjennomsnittet av Poisson-funksjonen. Vi skal nå bruke dette resultatet og forventningen til kvadratet av X for å finne variansen.
Beregning av det andre ordinære øyeblikket
Det andre øyeblikket er gitt av:
Vi kan bruke et lite triks for å løse denne summen som består av å erstatte x 2 med x(x-1)+x:
Der vi bruker det forrige resultatet i andre ledd av summeringen, multipliserer og deler vi med λ 2 for å få eksponenten λ x-2 og vi bruker endringen av variabelen y = x – 2 .
Nå gjenstår det bare å erstatte disse to momentene i formelen for variansen, og vi vil få det forventede resultatet:
Referanser
Devore, J. (2021). Sannsynlighet og statistikk for ingeniørfag og naturvitenskap . CENGAGE LÆRING.
Rodó, P. (2020, 4. november). Giftfordeling . Economipedia. https://economipedia.com/definiciones/distribucion-de-poisson.html
UNAM [Luis Rincon]. (2013, 16. desember). 0625 Poisson Distribution [Video]. Youtube. https://www.youtube.com/watch?v=y_dOx8FhHpQ
