Sannsynlighetsaksiomer

Aksiomene er en rekke utsagn som aksepteres som sanne uten behov for bevis, og som alle vitenskapsteoremer er basert på. Derfor er sannsynlighetsaksiomene de grunnleggende utsagnene som sannsynlighetsteorien er basert på . De representerer den ultimate referanserammen som alle eksisterende teoremer i sannsynlighetsteori logisk sett bør referere til. De ble postulert av den russiske matematikeren Andrey Nikolaevich Kolmogorov i 1933 og stammer utelukkende fra sunn fornuft.

Hensikten med sannsynlighetsaksiomene er å formalisere det matematiske sannsynlighetsbegrepet for å sikre at de numeriske verdiene vi tildeler sannsynligheten for at noe skal skje, stemmer overens med vår intuitive sannsynlighetsoppfatning.

Foreløpige definisjoner

Sannsynlighetsteori er basert på bare tre aksiomer , men før du går inn på detaljer, er det nødvendig å etablere noen grunnleggende definisjoner, samt noen konvensjoner rundt symbologien som brukes i sannsynlighet:

• Eksperiment. Det er enhver handling eller prosess som genererer et resultat eller observasjon. For eksempel er det å kaste en mynt et eksperiment (en prosess eller handling) som kan resultere i hoder eller haler.
• Prøveplass ( S ). Refererer til settet med alle mulige utfall av et eksperiment og er merket med symbolet S. I myntkasteksemplet ovenfor består prøverommet av settet med bare to utfall: S ={hoder, haler}.
• Hendelse ( E ). En hendelse er en delmengde av prøverommet, det vil si et hvilket som helst antall mulige utfall av eksperimentet. Hendelser identifiseres vanligvis med store bokstaver og tegninger (som E ₁ , E ₂ , E ₃ , etc.) eller med forskjellige bokstaver (A, B, C,…). For eksempel er det en begivenhet når du kaster en mynt. Tails kommer opp er en annen begivenhet.
• Sannsynlighet ( P ): Det er en numerisk verdi som tildeles en hendelse, og som indikerer graden av sikkerhet man har om dens forekomst. Som en generell regel, jo sikrere du er på at en hendelse (for eksempel E ₁ ) vil inntreffe, jo høyere er sannsynlighetsverdien du tildeler den hendelsen.

settene

I tillegg til disse definisjonene er det også nyttig å huske noen operasjoner relatert til sett. Skjæringspunktet mellom to sett resulterer i et nytt sett med elementene som er felles for begge, det er merket med symbolet ∩ og leses «og». På den annen side er foreningen mellom to sett et nytt sett med alle de vanlige og ikke-vanlige elementene av begge, det er representert med symbolet ∪ og det leses «eller».

Eksempel:

• Uttrykket P(E ₁ ∩ E ₂ ) leses «Sannsynlighet for at hendelse E ₁ og hendelse E ₂ inntreffer samtidig»
• Uttrykket P(E ₁ ∪ E ₂ ) leses «Sannsynlighet for forekomst av hendelse E ₁ eller hendelse E ₂ «

Sannsynlighetsaksiom 1

Det første sannsynlighetsaksiomet sier at gitt et eksperiment, må sannsynligheten for at enhver hendelse inntreffer (E) være et ikke-negativt reelt tall. Dette er formelt uttrykt som:

Aksiom 1 representerer den intuitive forestillingen om at det er meningsløst å snakke om en negativ sannsynlighet . Den etablerer også null sannsynlighet som den nedre grensen, som er tilordnet en umulig hendelse. Sistnevnte er formelt definert som ethvert utfall (eller sett med utfall) som ikke finnes i prøverommet til eksperimentet.

Eksempel:

Når du kaster en terning bare én gang, vil prøverommet kun dannes av settet S={1, 2, 3, 4, 5, 6}. Det første aksiomet sier at sannsynligheten for å få noen av utfallene (4, for eksempel) må være et tall større enn null ( P(4)>0 ). På den annen side er sannsynligheten for at resultatet er 7, som ikke er en del av prøverommet, null ( P(7)=0 ).

Merk at det første aksiomet ikke angir størrelsen på sannsynligheten for mulige hendelser, det vil si at det ikke står hva sannsynligheten må være for at terningkastet resulterer i for eksempel 4. Det spesifiserer bare at det må være et positivt tall..

Sannsynlighetsaksiom 2

Det andre sannsynlighetsaksiomet sier at for hvert eksperiment er sannsynligheten for prøverommet 1 , eller formelt:

En enkel måte å forstå aksiom 2 på er at sannsynligheten for at et eller annet utfall, uansett hva det måtte være, oppnås i eksperimentet er 1.

Eksempel:

Som nevnt ovenfor, når du kaster en mynt er det bare to mulige utfall: hoder eller haler, så sannsynligheten for at den vil komme opp med hoder eller haler, ifølge aksiom 2, er 1.

Hvis det første aksiomet setter den nedre sannsynlighetsgrensen til null, setter det andre aksiomet sin øvre grense til 1. Dette er fordi prøverommet er en bestemt hendelse og sannsynligheten må derfor være størst mulig sannsynlighet.

Aksiom 3 for sannsynlighet

Hvis hendelsene E ₁ , E ₂ , …, E _n ikke har noen felles utfall (deres skjæringspunkt er et tomt sett), sies de å være gjensidig utelukkende, siden forekomsten av den ene utelukker forekomsten av den andre. Det tredje aksiomet sier at unionssannsynligheten for gjensidig utelukkende hendelser er lik summen av sannsynlighetene for hver enkelt hendelse . Med andre ord:

For det enkleste tilfellet med bare to gjensidig utelukkende hendelser (som i tilfellet med myntkast), er Axiom 3 formulert som følger:

Dette aksiomet formaliserer ideen om at jo flere mulige utfall det er av en hendelse, jo mer sannsynlig er det. Dette følger av at foreningen av to gjensidig utelukkende hendelser per definisjon må inneholde summen av alle utfall i begge hendelser.

Anvendelse av aksiomer

I tillegg til de nevnte eksemplene kan de tre aksiomene brukes til å konstruere og bevise nyttige teoremer i sannsynlighetsteori. Et enkelt eksempel er å bestemme forholdet mellom sannsynlighetene for enhver hendelse og dens komplement.

Hvis E er en hvilken som helst hendelse, er dens komplement (representert av E ^c ) definert som hendelsen at noe annet enn E inntreffer , eller, det som kommer til det samme, at E ikke forekommer . Denne definisjonen har to konsekvenser:

• At E og E ^c utelukker hverandre.
• Unionen mellom E og E ^c resulterer i prøverommet, S ( E ∪ E ^c = S ).

Siden de er gjensidig utelukkende, basert på det tredje aksiomet, har vi det

Men siden denne foreningen resulterer i S , da

Nå, ved å bruke det andre aksiomet , blir dette

som er omorganisert som

Til slutt, siden vi vet fra det første aksiomet at P(E ^c ) må være en ikke-negativ størrelse, konkluderer vi med at sannsynligheten for at en hendelse vil inntreffe alltid vil være lik 1 minus sannsynligheten for at hendelsen ikke vil inntreffe, og at noen av de to sannsynlighetene må ha en verdi i intervallet [0, 1].

Kilder

Devone, JL (1998). Sannsynlighet og statistikk for ingeniørvitenskap og vitenskap (4. utg.). International Thomson Publishers.