Tabla de Contenidos
Eksponentialfordelingen er et spesialtilfelle av gammafordelingen. Det er en kontinuerlig fordeling som brukes til å beskrive sannsynlighetsfordelingen for tiden som har gått mellom hendelser i en Poisson-prosess. Dette refererer til de prosessene der hendelser skjer kontinuerlig og uavhengig av hverandre, men med en konstant gjennomsnittsfrekvens.
Eksponentialfordelingen følger følgende sannsynlighetsfunksjon:
hvor X er en kontinuerlig tilfeldig variabel og lambda ( λ ) er en karakteristisk parameter for hver spesiell fordeling. Følgende figur viser grafen til denne fordelingsfunksjonen for forskjellige verdier av λ.
Som man kan se, avtar denne funksjonen eksponentielt fra en startverdi lik λ og nærmer seg null asymptotisk når x øker.
Gjennomsnittet av denne fordelingsfunksjonen er gitt ved μ = 1/ λ og dens varians er σ 2 = (1/ λ) 2 . Følgende avsnitt viser hvordan du beregner medianen.
Viktigheten av eksponentialfordelingen
Som nevnt i begynnelsen, kan eksponentialfordelingen brukes på ethvert system som følger en Poisson-prosess. Dette betyr at det tjener til å beskrive tiden mellom hendelser som kundeankomst til serviceanlegg, tidene mellom feil på elektroniske systemer eller komponenter, og overlevelse av levende vesener.
Hva er medianen?
Før vi fortsetter med å beregne medianen, må vi forstå hva det er. Medianen av en sannsynlighetsfordeling tilsvarer verdien av den stokastiske variabelen som deler fordelingen i to. Når det gjelder diskrete variabler, betyr dette å la samme antall verdier ligge på begge sider av medianen. For eksponentialfunksjonen og de andre kontinuerlige fordelingsfunksjonene er medianen punktet som forlater det samme området under sannsynlighetstetthetskurven på begge sider.
En annen mer praktisk måte å se medianen på, og som er den vi skal bruke for å finne den i denne artikkelen, er at den tilsvarer punktet hvor fordelingsfunksjonen har en verdi på 0,5. Det vil si at det tilsvarer løsningen av følgende ligning:
Beregning av medianen av eksponentialfordelingen
For å finne medianen til eksponentialfordelingen skal vi bruke fordelingsfunksjonen og finne verdien av den tilfeldige variabelen som fordelingsfunksjonen har en verdi på 0,5 for, som forklart i forrige avsnitt. Med andre ord vil vi si at medianen (Me) er verdien av den tilfeldige variabelen, x, som det er bekreftet at:
Alt vi trenger å gjøre nå er å plugge inn pdf-en ( f(x) ) som tilsvarer eksponentialfordelingen og integrere:
Der vi har benyttet oss av den stykkevise definisjonen av sannsynlighetsfordelingsfunksjonen, som har en verdi på null for alle verdier av den tilfeldige variabelen mindre enn eller lik null. Dette er en enkel integral:
Nå setter vi lik ½, og vi løser ligningen for å finne medianen, Me.
Til slutt omorganiseres den, den naturlige logaritmen tas på begge medlemmene og Me blir slettet:
Derfor er medianen av eksponentialfordelingen gitt ved ln2/λ.
Forspenningen til eksponentialfordelingen
Hvis vi sammenligner verdien av medianen som vi nettopp oppnådde, ln2/λ, med verdien av medianen for denne fordelingen som vi nevnte i begynnelsen, 1/λ, innser vi raskt at medianen er mindre enn gjennomsnittet, fordi ln2 er et tall mindre enn 1.
Når gjennomsnittet ikke sammenfaller med medianen, sies fordelingen å være skjev. Siden gjennomsnittet i dette tilfellet er større enn medianen, sies den eksponentielle funksjonen å være skjev til høyre .
Fordi medianen er et mål på sentral tendens som er mindre følsom for ekstreme verdier enn gjennomsnittet, i tilfeller som dette hvor det er fastslått at skjevhet eksisterer, er det foretrukket å bruke medianen for å representere den sentrale tendensen.
Referanser
LesKanaris. (nd). Hvordan beregne medianen av eksponentialfordelingen – Interessant – 2021. Hentet fra https://us.leskanaris.com/2916-exponential-distribution-medians.html
Lifehackk. (2018). Slik beregner du medianen av eksponentialfordelingen – 2021. Hentet fra https://esp.lifehackk.com/14-calculate-the-median-of-exponential-distribution-3126442-7366
Enkel matematikk. (2021, 6. september). Median – eksponentiell distribusjon [Videofil]. Gjenopprettet fra https://www.youtube.com/watch?v=0s3h1Tfysog
Mtz De Lejarza E., J., & Mtz De Lejarza E., I. (1999). Eksponentiell fordeling. Hentet fra https://www.uv.es/ceaces/base/modelos%20de%20probabilidad/exponencial.htm
