¿Qué son los números reales?

Los números tienen distintas propiedades y se pueden clasificar en varios grupos. Uno de estos grupos, de amplias aplicaciones en diversas ramas de las matemáticas, son los números reales. Para entenderlos mejor, veamos primero cuáles son los distintos tipos de números.

Los números

Lo primero que aprendemos sobre los números es cómo usarlos para contar; comenzamos con hacerlos coincidir con nuestros dedos para hacer operaciones simples. Así, nuestros diez dedos son la base del sistema decimal. De ahí contamos cantidades tan grandes como podemos y notamos que los números son infinitos. Y así, agregando el cero (0) cuando no tenemos nada que contar, se forman los números naturales.

Con los números naturales hacemos operaciones aritméticas y cuando restamos a un número otro número mayor tenemos que introducir los números negativos. Entonces, agregando los números negativos a los naturales, obtenemos el conjunto de números enteros.

Entre las operaciones aritméticas que realizamos con los números está la división. Y encontramos que hay casos en los que al dividir un número entre otro el resultado no es un número entero; en muchos casos, este resultado de la división solo se puede representar en forma exacta por la propia expresión de la división, es decir, una fracción. Así se construye el conjunto de los números racionales, en el que todos los números se escriben como una fracción y los enteros tienen el número 1 como denominador.

Fueron las civilizaciones antiguas las que observaron que había números que no se podían representar como fracciones. Al trabajar con figuras geométricas encontraron el número pi, la relación entre el radio y la longitud de una circunferencia, número que no se puede expresar como el cociente entre dos números enteros. También es el caso de la raíz cuadrada del número 2 (o sea, el número que multiplicado por sí mismo daría como resultado el número 2). Y son muchos los números que emergen en diversas ramas del conocimiento que no son parte del conjunto de los números racionales. A estos números, a los que no pueden representarse en forma exacta como el cociente de dos números enteros, se los llama números irracionales. El conjunto de los números racionales y los irracionales constituye, entonces, el conjunto de los números reales.

Los números reales son parte de un conjunto de números aún más extenso: los números complejos. Esta ampliación del conjunto de números reales surge cuando queremos calcular la raíz cuadrada de un número negativo; dado que el producto de dos números negativos es siempre positivo, no hay ningún número real que multiplicado por sí mismo sea negativo. Entonces se define el número imaginario i, que representa la raíz cuadrada de -1, y surge el conjunto de los números complejos.

Representación decimal

Todos los números se pueden expresar en forma decimal; por ejemplo, el número racional 1/2 se puede expresar en forma decimal como 0.5. A diferencia del número racional 1/2 que se puede representar de forma exacta con una sola cifra decimal, otros números racionales tienen una cantidad infinita de cifras decimales y no se pueden expresar en forma exacta con la representación decimal. Este es el caso del número 1/3; su representación decimal es 0.33333…, con infinita cantidad de cifras decimales. Estos números racionales se denominan números decimales periódicos, ya que en todos los casos hay una secuencia de números que se repite infinitas veces. En el caso del número 1/3 esa secuencia es 3; en el caso del número 1/7 su forma decimal es 0.1428571428571…, y la secuencia que se repite infinitas veces es 142857. Los números irracionales no son números decimales periódicos; no hay secuencia alguna que se repita infinitas veces en su representación decimal.

Representación visual

Los números reales se pueden visualizar asociando cada uno de ellos a uno de los infinitos puntos a lo largo de una línea recta, como muestra la figura. En esta representación gráfica se ubica el número pi, cuyo valor es aproximadamente 3.1416, el número e, que se aproxima a 2.7183, y la raíz cuadrada del número 2, aproximadamente 1.4142. A partir del número 0 hacia la derecha se ubican los números reales positivos en forma creciente, y hacia la izquierda los negativos aumentando su valor absoluto en esa dirección.

Algunas propiedades de los números reales

Los números reales se comportan como los números enteros o los racionales, con los que estamos más familiarizados. Podemos sumarlos, restarlos, multiplicarlos y dividirlos de la misma forma; la única excepción es la división entre el número 0, operación que no es posible. El orden de las sumas y las multiplicaciones no es importante, ya que sigue valiendo la propiedad conmutativa, y la propiedad distributiva se aplica de la misma forma. De la misma manera, dos números reales x e y se ordenan de una única forma, y solo una de las siguientes relaciones es correcta:

x = y, x < y o x > y

Los números reales son infinitos, tal como los enteros y los racionales. En principio esto resulta obvio ya que tanto los enteros como los racionales son subconjuntos de los números reales. Pero hay una diferencia: en el caso de los números enteros y racionales se dice que son números infinitos numerables; en cambio, los números reales son infinitos innumerables.

Se dice que un conjunto es numerable o contable cuando se puede asociar cada uno de sus componentes con un número natural. La asociación es obvia en el caso de los números enteros; en el caso de los números racionales se puede ver como la asociación con un par de números naturales, el numerador y el denominador. Pero esta asociación no es posible en el caso de los números reales.

Fuentes

• Arias Cabezas, José María, Maza Sáez, Ildefonso. Aritmética y Álgebra. En Carmona Rodríguez, Manuel, Díaz Fernández, Francisco Javier, eds. Matemáticas 1. Grupo Editorial Bruño, Sociedad Limitada, Madrid, 2008.
• Carlos Ivorra. Lógica y teoría de conjuntos. 2011.