Los axiomas de probabilidad

Los axiomas son una serie de enunciados que se aceptan como ciertos sin necesidad de demostración, y sobre los cuales se basan todas las teorías y los teoremas de la ciencia. Por lo tanto, los axiomas de la probabilidad son aquellos enunciados fundamentales en los que se basa la teoría de probabilidad. Representan el marco referencial último al que se deben referir, de manera lógica, todos los teoremas existentes en la teoría de probabilidad. Fueron postulados por el matemático ruso Andrey Nikolaevich Kolmogorov en 1933 y se derivan únicamente del sentido común.

La finalidad de los axiomas de probabilidad es formalizar el concepto matemático de la probabilidad para asegurar que los valores numéricos que le asignamos a la probabilidad de que algo ocurra sean consistentes con nuestra noción intuitiva de la probabilidad.

Definiciones preliminares

La teoría de probabilidad está fundamentada en tan solo tres axiomas, pero antes de entrar en detalles, es necesario establecer algunas definiciones básicas, así como algunas convenciones en torno a la simbología que se utiliza en la probabilidad:

• Experimento. Es cualquier acción o proceso que genere un resultado u observación. Por ejemplo, lanzar una moneda al aire es un experimento (un proceso o acción) que puede traer como resultado una cara o una cruz.
• Espacio muestral (S). Se refiere al conjunto de todos los posibles resultados de un experimento y se denota con el símbolo S. En el ejemplo anterior del lanzamiento de la moneda, el espacio muestral está formado por el conjunto de solo dos resultados: S={cara, cruz}.
• Evento (E). Un evento es un subconjunto del espacio muestral, es decir, cualquier número de resultados posibles del experimento. Los eventos se suelen identificar con letras mayúsculas y subíndices (como E₁, E₂, E₃, etc.) o con letras diferentes (A, B, C,…). Por ejemplo, que salga cara al lanzar una moneda es un evento. Que salga cruz es otro evento diferente.
• Probabilidad (P): Se trata de un valor numérico que se le asigna a un evento, y que indica el grado de certeza que se tiene sobre la ocurrencia del mismo. Como regla general, mientras más seguro se esté de que un evento (por ejemplo E₁) vaya a ocurrir, mayor será el valor de probabilidad que se le asigne a dicho evento.

Conjuntos

Además de estas definiciones, también es útil recordar algunas operaciones relacionadas con los conjuntos. La intersección entre dos conjuntos da como resultado un nuevo conjunto con los elementos comunes a ambos, se denota con el símbolo ∩ y se lee «y». Por otro lado, la unión entre dos conjuntos es un nuevo conjunto con todos los elementos comunes y no comunes de ambos, se representa con el símbolo ∪ y se lee «o».

Ejemplo:

• La expresión P(E₁ ∩ E₂) se lee «Probabilidad de que ocurra el evento E₁ y el evento E₂ simultáneamente»
• La expresión P(E₁ ∪ E₂) se lee «Probabilidad de que ocurra el evento E₁ o el evento E₂«

Axioma 1 de la Probabilidad

El primer axioma de probabilidad dice que, dado un experimento, la probabilidad de que ocurra un evento cualquiera (E) debe ser un número real no negativo. Esto se expresa formalmente como:

El axioma 1 representa la noción intuitiva de que no tiene sentido hablar de una probabilidad negativa. También establece como límite inferior la probabilidad cero, la cual se asigna a un evento imposible. Este último se define formalmente como cualquier resultado (o conjunto de resultados) que no esté contenido en el espacio muestral del experimento.

Ejemplo:

Al lanzar un dado una sola vez, el espacio muestral estará formado, únicamente, por el conjunto S={1, 2, 3, 4, 5, 6}. El primer axioma establece que la probabilidad de que salga cualquiera de los resultados (4, por ejemplo) debe ser un número mayor que cero (P(4)>0). Por otro lado, la probabilidad de que el resultado sea 7, el cual no forma parte del espacio muestral, es cero (P(7)=0).

Nótese que el primer axioma no establece la magnitud de la probabilidad de los eventos posibles, es decir, no establece cuál debe ser la probabilidad de que el lanzamiento del dado dé como resultado, por ejemplo, 4. Solo especifica que debe ser algún numero positivo.

Axioma 2 de la Probabilidad

El segundo axioma de probabilidad dice que, para todo experimento, la probabilidad del espacio muestral es 1, o, formalmente:

Una forma sencilla de entender el axioma 2 es que la probabilidad de que en el experimento se obtenga algún resultado, cualquiera que sea, es 1.

Ejemplo:

Como se mencionó anteriormente, al lanzar una moneda solo hay dos posibles resultados: cara o cruz, así que la probabilidad de que salga cara o cruz, según el axioma 2, es 1.

Si el primer axioma fija el límite inferior de la probabilidad en cero, el segundo axioma establece su límite superior en 1. Esto se debe a que el espacio muestral es un evento seguro y su probabilidad debe ser, por lo tanto, la máxima probabilidad posible.

Axioma 3 de la Probabilidad

Si los eventos E₁, E₂, …, E_n no tienen resultados en común (su intersección es un conjunto vacío), se dice que son mutuamente excluyentes, ya que la ocurrencia de uno excluye la ocurrencia del otro. El tercer axioma establece que la probabilidad de unión de eventos mutuamente excluyentes es igual a la suma de las probabilidades de cada evento individual. Dicho de otra forma:

Para el caso más sencillo de solo dos eventos mutuamente excluyentes (como en el caso del lanzamiento de una moneda), el axioma 3 queda así formulado:

Este axioma formaliza la idea de que mientras más resultados posibles haya en un evento, más probable será. Esto se desprende del hecho de que que la union de dos eventos mutuamente excluyentes por definición debe contener la suma de todos los resultados en ambos eventos.

Aplicación de los Axiomas

Además de los ejemplos antes mencionados, los tres axiomas se pueden utilizar para construir y demostrar teoremas útiles en la teoría de la probabilidad. Un ejemplo sencillo consiste en determinar la relación entre las probabilidades de un evento cualquiera y su complemento.

Si E es un evento cualquiera, entonces su complemento (representado por E^c) se define como el evento de que ocurra cualquier cosa menos E, o, lo que es lo mismo, que no ocurra E. Esta definición trae dos consecuencias:

• Que E y E^c son mutuamente excluyentes.
• La unión entre E y E^c da como resultado el espacio muestral, S (E ∪ E^c = S).

Ya que son mutuamente excluyentes, en base al tercer axioma, se tiene que

Pero como esta unión da como resultado S, entonces

Ahora, aplicando el segundo axioma, esto se convierte en

Que se reordena como

Finalmente, como sabemos del primer axioma que P(E^c) debe ser una cantidad no negativa, se concluye que la probabilidad de que ocurra un evento cualquiera, siempre será igual a 1 menos la probabilidad de que el evento no ocurra, y que cualquiera de las dos probabilidades debe tener un valor en el intervalo [0, 1].

Fuentes

Devone, J. L. (1998). Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias (4ta ed.). International Thomson Editores.