¿Qué son las leyes de De Morgan?

La lógica es una rama de las matemáticas, y parte de ella es la teoría de conjuntos. Las leyes de De Morgan son dos postulados sobre la interacción entre los conjuntos. Estas leyes registran antecedentes en Aristóteles y en William de Ockham. Augustus De Morgan vivió entre 1806 y 1871 y fue el primero en incluir las leyes que postuló en la estructura formal de la lógica matemática.

Operadores en teoría de conjuntos

Antes de avanzar con los postulados de De Morgan, veamos algunas definiciones de la teoría de conjuntos.

Si se tienen dos conjuntos de elementos cualesquiera, que llamaremos A y B, la intersección de estos dos conjuntos es el conjunto de elementos comunes a ambos conjuntos. La intersección de dos conjuntos se nota con el símbolo ∩, y es otro conjunto que podemos llamar C; C = A∩B, y C es el conjunto de los elementos que aparecen tanto en el grupo A como en el grupo B. De manera similar, la unión de dos conjuntos A y B es un nuevo conjunto que contiene a todos los elementos de A y de B, y se nota con el símbolo U. El conjunto C, unión de A y B, C = AUB, es un conjunto que se integra con todos los elementos de A y de B. La tercera definición que debemos recordar es la de complemento de un conjunto: si se tiene un cierto universo de elementos y un conjunto A de este universo, el complemento de A es el conjunto de elementos de ese universo que no pertenece al conjunto A. El conjunto complemento de A se nota como A^C.

Estos tres operadores entre conjuntos pueden generalizarse a la operación entre varios conjuntos, es decir, a la intersección, unión y complemento de varios conjuntos. Veamos un ejemplo sencillo. En la siguiente figura de muestra el diagrama de Venn de tres conjuntos: las aves, representadas por el loro, el avestruz, el pato y el pingüino; los seres vivos que vuelan, representados por el loro, el pato, la mariposa y el pez volador, y los seres vivos que nadan, representados por el pato, el pingüino, el pez volador y la ballena. El pato es el conjunto intersección de los tres conjuntos: el conjunto unión de las aves y los seres vivos que vuelan se compone con el avestruz, el loro, la mariposa, el pato, el pingüino y el pez volador. Y el complemento de los seres vivos que vuelan y de los que nadan es el conjunto que contiene el avestruz.

Las leyes de De Morgan

Ahora sí podemos ver los postulados de las leyes de De Morgan. El primer postulado dice que el complemento del conjunto intersección de dos conjuntos A y B es igual al conjunto unión del complemento de A y el complemento de B. Utilizando los operadores definidos en el párrafo anterior, la primer ley de De Morgan se escribe de la siguiente manera:

(A∩B)^C = A^CUB^C

La segunda ley de De Morgan postula que el complemento del conjunto unión de A y B es igual a la intersección del conjunto complemento de A con el conjunto complemento de B, y se nota de la siguiente forma:

(AUB)^C = A^C∩B^C

Veamos un ejemplo. Consideremos el conjunto de números enteros de 0 a 5. Esto se nota como [0,1,2,3,4,5]. En este universo definimos dos conjuntos A y B. A es el conjunto de los números 1, 2 y 3; A = [1,2,3]. Y B es el conjunto de los números 2, 3 y 4; B = [2,3,4]. La primer ley de De Morgan se aplicaría de la siguiente forma.

A = [1,2,3]; B = [2,3,4]

Primera ley de De Morgan: (A∩B)^C = A^CUB^C

(A∩B)^C

A∩B = [1,2,3]∩[2,3,4] = [2,3]

(A∩B)^C = [2,3]^C = [0,1,4,5]

A^CUB^C

A^C = [1,2,3]^C = [0,4,5]

B^C = [2,3,4]^C = [0,1,5]

A^CUB^C = [0,4,5]U[0,1,5] = [0,1,4,5]

El resultado de la aplicación de los operadores en ambos lados de la igualdad muestra que se verifica la primer ley de De Morgan. Veamos la aplicación del ejemplo al segundo postulado.

Segunda ley de De Morgan: (AUB)^C = A^C∩B^C

(AUB)^C

AUB = [1,2,3]U[2,3,4] = [1,2,3,4]

(AUB)^C = [1,2,3,4]^C = [0,5]

A^C∩B^C

A^C = [1,2,3]^C = [0,4,5]

B^C = [2,3,4]^C = [0,1,5]

A^C∩B^C = [0,4,5]∩[0,1,5] = [0,5]

Al igual que con el primer postulado, en el ejemplo planteado también se aplica la segunda ley de De Morgan

Fuentes

A. G. Hamilton. Lógica para matemáticos. Editorial Paraninfo, Madrid, 1981.

Carlos Ivorra Castillo. Lógica y teoría de conjuntos. Consultado noviembre de 2021