Fórmulas para calcular áreas y volúmenes de formas geométricas

En diversos cálculos matemáticos, en geometría en particular, y en muchas aplicaciones en ciencia, es necesario calcular el área de una superficie, el volumen de un cuerpo o el perímetro de un contorno. Ya sea una esfera o un círculo, un rectángulo o un cubo, una pirámide o un triángulo, a cada forma geométrica le corresponde un fórmula específica para calcular el área de su superficie, su volumen o su perímetro.

Vamos a describir a continuación las fórmulas necesarias para calcular el área y el volumen de formas tridimensionales, y el área y el perímetro de formas geométricas bidimensionales. Se puede recorrer esta enumeración de fórmulas y guardarla luego para poder consultarla cuando sea necesario. Un aspecto a remarcar es que aunque son muchas las fórmulas, los parámetros básicos de cálculo se repiten haciendo mas fácil retener los procedimientos de cálculo. En muchas de la fórmulas necesitaremos usar el número pi (π). El número π tiene infinitas cifras pero se lo puede redondear como 3,14 o 3,14159.

1. Cálculo de la superficie y el volumen de una esfera

El giro de un círculo sobre su eje genera la forma tridimensional de una esfera. Para calcular el área de su superficie o su volumen se necesita conocer el radio r de la esfera. El radio r, como se muestra en la figura superior, es la distancia desde el centro de la esfera hasta el borde y siempre es el mismo, sin importar desde qué punto del borde de la esfera se mida.

Las fórmulas para calcular el área y el volumen de una esfera son

• Superficie = 4πr²
• Volumen = (4/3)πr³

2. Cálculo de la superficie y el volumen de un cono

Un cono es una pirámide con una base circular, cuyos lados inclinados se encuentran en un punto central sobre el eje el cono, recta perpendicular al plano de la base que pasa por el centro de la circunferencia que constituye la base del cono, tal como se puede observar en la figura superior. Para calcular el área de su superficie o su volumen se debe conocer el radio de la base r y la longitud del lado s. Si no se conoce el valor de la longitud del lado s, se lo puede calcular conociendo la altura del cono h (ver la figura superior).

s = √ (r² + h²)

El área de superficie total del cono se puede calcular como la suma del área de la base y el área de la superficie lateral.

• Área de la base: πr²
• Área del lado: πrs
• Superficie total = πr²  + πrs

Para calcular el volumen de un cono sólo se necesita el radio de la base y la altura.

• Volumen = 1/3 πr²h

3. Cálculo de la superficie y el volumen de un cilindro

Los cálculos de superficie y volumen son mas sencillos en el caso de un cilindro que en un cono. El cilindro tiene una base circular y las rectas que al rotar generan la superficie lateral son paralelas y perpendiculares a la base. Para calcular el área de su superficie o el volumen sólo se necesita el radio r y la altura h.

Al igual que en caso del cono, el área de la superficie es la suma de las superficies que lo componen; la suma del área de la base superior y de la base inferior (que son iguales), y el área de la superficie lateral.

• Superficie = 2πr² + 2πrh
• Volumen = πr²h

4. Cálculo de la superficie y el volumen de un prisma rectangular

Un rectángulo desplegado en tres dimensiones se convierte en un prisma rectangular; o simplemente, una caja. Cuando todos los lados de un prisma rectangular son iguales, el prisma se convierte en un cubo. Por lo tanto tanto el área de la superficie como el volumen se calculan con las mismas fórmulas. Para esto es necesario conocer la magnitud de los tres lados del prisma; a, b y c, en la figura superior.

• Superficie = 2(ab) + 2(bc) + 2(ac)
• Volumen = abc

Si se tiene un cubo de lado a, las fórmulas anteriores se transforman en

• Superficie de un cubo = 6a²
• Volumen de un cubo = a³

5. Cálculo de la superficie y el volumen de una pirámide de base cuadrada

En este caso vemos las fórmulas que se utilizan para calcular el área de la superficie y el volumen de una pirámide de base cuadrada y triángulos equiláteros en sus caras. Para los cálculos es necesario conocer el lado del cuadrado de la base b y la altura h, esto es la distancia desde el centro del cuadrado de la base a vértice, tal como lo muestra la figura superior. Y s será la altura de cada triángulo equilátero que compone las caras de la pirámide, que se puede calcular con la siguiente fórmula.

s = √ ((b/2)² + h²)

Como en los casos anteriores, el área de la superficie es la suma del área de la base mas el área de los cuatro triángulos equiláteros de las caras.

• Superficie = 2bs + b²
• Volumen = (1/3)b²h

6. Cálculo de la superficie y el volumen de un prisma triangular isósceles

Para aplicar las fórmulas de cálculo del área de la superficie y el volumen de un prisma triangular isósceles se necesitan tres parámetros, de acuerdo a la figura superior; la base de triángulo isósceles b, la altura del triángulo h y el largo del prisma l. Se completan las definiciones con el lado s del triángulo isósceles. El lado s del triángulo se puede calcular con los otros datos del triángulo con la siguiente fórmula.

s = √ ((b/2)² + h²)

Las fórmulas para calcular el área de la superficie y el volumen son las siguientes.

• Superficie = bh + 2ls + lb
• Volumen = (1/2)bhl

Si se quisiera calcular el área de la superficie y el volumen de un prisma que no fuese triangular isósceles, se puede aplicar el procedimiento siguiente. Se puede determinar el área A y el perímetro P de la base y usar las siguientes fórmulas.

• Superficie = 2A + Pl
• Volumen = Al

7. Cálculo del área y de la longitud de un sector circular

La figura superior muestra el sector de un círculo de radio r definido por el ángulo θ, que se puede expresar en grados o en radianes. Para el cálculo del área del sector circular y de la longitud del arco es necesario que el ángulo θ esté expresado en radianes, por lo cual si está expresado en grados hay que hacer la conversión usando la siguiente fórmula.

ángulo θ en radianes = (ángulo θ en grados)π/180

El área del sector circular y la longitud del arco se calculan con las siguientes fórmulas.

• Área = (θ/2) r²  θ en radianes
• Arco L = θr  θ en radianes

El área y la circunferencia de un círculo es un caso particular de un sector, que se produce cuando el ángulo θ es igual a 2π. Entonces, el área y la circunferencia de un círculo se calculan de la siguiente forma.

• Área de un círculo = πr² 
• Circunferencia = 2πr

8. Cálculo del área de una elipse

Una elipse, también conocida como óvalo y que se puede identificar como un círculo alargado, es el conjunto de puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. En la figura superior, los focos están representados por dos puntos. Una elipse se puede definir por sus dos semiejes, tal como se muestra en la figura; el semieje mayor a y el semieje menor b. El área de una elipse se calcula con la formula siguiente.

• Área = πab

9. Cálculo del área y del perímetro de un triángulo

El triángulo es una de las formas geométricas más simples y calcular el perímetro es sencillo, conociendo la longitud de cada uno se sus lados a, b y c. 

• Perímetro = a + b + c

Para calcular el área del triángulo se necesita la longitud de uno de sus lados, el b por ejemplo en la figura superior, y la altura h correspondiente a ese lado, determinada como la longitud del segmento trazado desde el vértice opuesto en forma perpendicular al lado b. El área del triángulo se calcula como

• Área = (1/2)bh

10. Cálculo del área y del perímetro de un paralelogramo

Un paralelogramo es un cuadrilátero cuyos lados enfrentados son paralelos, como muestra la figura superior. Al ser paralelos los lados opuesto, la longitud de los lados opuestos será igual. En el caso de la figura, son los lados de longitud a y b. El perímetro de un paralelogramo es la suma de sus lados

• Perímetro de un paralelogramo = 2a + 2b

Para calcular el área de un paralelogramo se necesita la altura h; la distancia entre dos lados paralelos. El área se puede calcular con la altura y el lado correspondiente a esa altura, b en el caso de la figura.

• Área de un paralelogramo = bh

Un rectángulo es un caso particular de paralelogramo; cuando la altura h es igual al lado a o, lo que es lo mismo, cuando los lados adyacentes son perpendiculares, el paralelogramo es un rectángulo y las fórmulas de perímetro y área son las siguientes.

• Perímetro de un rectángulo = 2a + 2b 
• Área de un rectángulo = ab

A su vez, un cuadrado es un caso particular de paralelogramo y de rectángulo; cuando los lados a y b son iguales y los lados adyacentes son perpendiculares. Las fórmulas de perímetro y área de un cuadrado de lado a son las siguientes.

• Perímetro de un cuadrado = 4a 
• Área de un rectángulo = a²

11. Cálculo del área y del perímetro de un trapezoide

El trapezoide es un cuadrilátero que tiene dos lados opuestos paralelos. Por lo tanto la longitud de sus cuatro lados es distinta, en la figura superior b, B, c y d, y para calcular su perímetro es necesario conocer los cuatro valores. El perímetro de un trapezoide se calcula sumando los cuatro valores.

• Perímetro = b + B + c + d

Para calcular el área de un trapezoide es necesario conocer la altura h que se puede observar en la figura superior, y que es la distancia entre los dos lados paralelos.

• Área = (1/2) (b + B)h

12. Cálculo del área y del perímetro de un hexágono regular

Un polígono de seis lados iguales es un hexágono regular. La longitud de cada lado r es igual a la distancia de cada vértice al centro del hexágono. El apotema (a en la figura superior) es la menor distancia del centro del hexágono a uno de los lados; es la altura de cada triángulo equilátero que conforma el hexágono. El perímetro de un hexágono regular se calcula como

• Perímetro = 6r

Mientras que para calcular el área de un hexágono regular se utiliza la siguiente fórmula

• Área = (3√3/2)r²

13. Cálculo del área y del perímetro de un octógono regular

Un octógono regular es un polígono de ocho lados iguales. Si la longitud de cada lado del octógono es r el perímetro de un octógono regular se calcula como

• Perímetro = 8r

Mientras que para calcular el área de un octógono regular se utiliza la siguiente fórmula

• Área = 2(1+√2)r²

Fuente

Wenninger, Magnus J. Modelos de poliedros Cambridge University Press, 1974.