La forma pendiente-intersección de la ecuación lineal

La forma pendiente-intersección de una ecuación de primer grado es una forma de expresar dicha ecuación en forma de la ecuación de una línea recta. En otras palabras, se expresa con la misma forma matemática de una función que, al graficarla en un sistema de coordenadas cartesianas, da como resultado una recta. Una ecuación lineal expresada así tiene la siguiente forma matemática:

Como se puede ver, esta forma de representar las ecuaciones lineales se caracteriza por tener a la variable que comúnmente consideramos como variable dependiente (en la mayoría de los casos y, aunque esto puede variar) aislada en uno de los miembros de la ecuación (normalmente el izquierdo) con coeficiente 1; mientras, el otro miembro está compuesto por un término que contiene a la variable independiente (normalmente x) y un término independiente.

Interpretación de la ecuación lineal en forma pendiente-intersección

Cuando se expresa de esta manera, el coeficiente de la variable independiente, en este caso m, representa la pendiente de la recta cuando esta ecuación se grafica en un sistema de coordenadas cartesianas.

Por otro lado, el término independiente, en este caso b, indica el punto en el que la recta corta o intersecta al eje de las ordenadas o eje y, como se muestra en la siguiente gráfica. Es precisamente por eso que se denomina forma pendiente-intersección.

Interpretación de la pendiente

La pendiente (m) indica qué tanto cambia el valor de y de un punto de la recta al incrementar en una unidad el valor de x, así que representa la inclinación de la recta. Este valor puede ser cualquier número racional tanto positivo como negativo. Existen tres posibles rangos de valores que se interpretan de forma distinta:

• Una pendiente positiva (m>0) indica que la recta sube cuando nos desplazamos de izquierda a derecha en la gráfica.
• Cuando el término de la variable independiente no aparece (es decir, cuando no hay x en la ecuación) significa que la pendiente es cero (m=0). En este caso, la recta es horizontal o paralela al eje de las abscisas (eje x).
• Cuando la pendiente en negativa (m<o), la recta baja cuando nos desplazamos de izquierda a derecha en la gráfica.

Interpretación de la intersección

El término independiente, b, representa el punto de corte de la recta con el eje de las ordenadas, es decir, con el eje y en el sistema de coordenadas cartesianas. En aquellos casos en los que no exista un término independiente, se entiende que su valor es cero (b=0) por lo que la recta pasa por el origen del sistema de coordenadas.

Casos especiales de la ecuación de una recta en forma pendiente-intersección

Caso 1: y = b

Cuando la ecuación tiene la forma anterior, es decir, cuando el término de la variable independiente no aparece, se entiende que la pendiente es cero y que, por lo tanto, la ecuación representa una recta horizontal que pasa por el punto (0;b).

Caso 2: y  =  m x

Cuando no hay término independiente significa que su valor es cero, y por lo tanto, corta al eje y en 0. Esto significa que la recta pasa por el origen del sistema de coordenadas.

Caso 3: 0 = mx  +  b

En este caso consiste en una recta vertical (paralela al eje y) que corta al eje de las abscisas (o eje x) en el punto x = – b/m, como se muestra en la gráfica anterior.

Esta es una forma poco común de la ecuación de una recta en la que el coeficiente m y el término independiente b pierden su significado normal. Una recta vertical tiene una pendiente indefinida, es decir, su pendiente no existe. Esto no es lo mismo que decir que su pendiente es cero.

Por otro lado, como se trata de una recta vertical paralela al eje y, esta nunca corta a dicho eje. Por ello, el término independiente, b, ya no indica la intersección como lo hacía en los casos anteriores.

Ventajas de la forma pendiente-intersección

Comparada con las otras formas de representar las ecuaciones lineales, la forma pendiente-intersección tiene las siguientes ventajas:

• Proporciona inmediatamente los valores de la pendiente y de la intersección de la recta con el eje y.
• Lo anterior permite visualizar de forma muy sencilla y rápida la gráfica de una ecuación lineal en un sistema de coordenadas cartesianas.
• Al proporcionar el valor de la pendiente, permite calcular rápidamente el ángulo que forma la recta con el eje x por medio de la tangente.
• Permite saber rápidamente si dos rectas son o no paralelas entre sí, simplemente comparando sus pendientes.
• Permite determinar rápidamente si dos rectas son o no perpendiculares entre sí.
• Con tan solo mirar la forma de la ecuación, nos permite saber inmediatamente si se trata de una recta creciente, decreciente, horizontal o vertical.
• Permite calcular la coordenada y de cualquier punto de la recta dado su valor de x en un solo paso.
• Facilita el método de sustitución para la solución de sistemas de ecuaciones lineales de dos variables porque la ecuación ya está resuelta para una de ellas (y).

Pasos para transformar la forma estándar a la forma pendiente-intersección

Además de la forma pendiente-intersección, la ecuación de una recta también se puede representar de otras maneras, la más importante de las cuales es la forma estándar:

En este caso, los coeficientes A, B y C son números enteros. Cuando se tiene una ecuación expresada de esta manera y se desea escribir en forma pendiente-intersección, solo se deben seguir los siguientes pasos:

Paso 1: se resta Ax en ambos miembros de la ecuación.

Paso 2: se dividen todos los coeficientes y el término independiente entre el coeficiente B (incluyendo su signo).

Paso 3: de ser posible, se simplifica cualquier fracción que haya surgido de la división.

Ejemplos de transformación de forma estándar a la forma pendiente-intersección

Ejemplo 1: 3x + 2y = 4

Paso 1:

Paso 2:

Paso 3:

Como se puede ver, esta ecuación corresponde a una recta descendente que corta al eje y en 2.

Ejemplo 2: x – 4y = 6

Paso 1:

Paso 2:

Paso 3:

En este caso, el resultado es una recta descendente que corta al eje y en -1,5.

Referencias

• Graficando Ecuaciones con Forma Pendiente-Intersección (s. f.). Recuperado de https://content.nroc.org/Algebra.HTML5/U04L1T3/TopicText/es/text.html
• Khan Academy (s. f.). Slope-intercept form introduction | Algebra (article). Recuperado 20 de julio de 2021, de https://www.khanacademy.org/math/algebra/x2f8bb11595b61c86:forms-of-linear-equations/x2f8bb11595b61c86:intro-to-slope-intercept-form/a/introduction-to-slope-intercept-form
• MiProfe (2020, 12 mayo). Ecuación de la recta en su forma pendiente – intersección. Recuperado 20 de julio de 2021, de https://miprofe.com/ecuacion-de-la-recta-en-su-forma-pendiente-interseccion/
• Rodrigo, R. (2020, 18 septiembre). ▷ Ecuaciones lineales: intersecciones, forma estándar y gráficos. Recuperado 20 de julio de 2021, de https://estudyando.com/ecuaciones-lineales-intersecciones-forma-estandar-y-graficos/