Cómo calcular el valor esperado en la ruleta

En probabilidad, el valor esperado de una variable aleatoria se refiere al valor promedio de un gran número de veces que ocurre dicha variable. Se calcula como un promedio ponderado de todos los posibles valores de la variable aleatoria, en donde el factor de ponderación no es más que la probabilidad de que ocurra cada valor.

La probabilidad es un área de estudio de gran importancia en el campo de los juegos de azar, entre los cuales la ruleta es uno de los más populares y más fáciles de entender.

¿Qué es la ruleta y cómo se juega?

Una ruleta americana típica consiste en una rueda provista de una serie de ranuras identificadas con los números del 1 al 36, 18 de los cuales son de color negro mientras que los otros 18 son de color rojo. Además, hay dos casillas o ranuras verdes ubicadas en los extremos opuestos de la rueda identificadas con los números 0 y 00 respectivamente, para dar un total de 38 casillas.

Existen también ruletas francesas, las cuales no tienen la casilla del 00 y tienen, por lo tanto, 37 casillas en total.

El juego consiste en hacer girar la rueda mientras una pequeña bola se lanza en dirección contraria. A medida que la ruleta y la bola pierden velocidad, la bola termina situándose en una de las37 ó 38 casillas o ranuras. Antes de que la bola se detenga, los participantes pueden hacer distintos tipos de apuestas. Algunas de las apuestas posibles son:

• Apostar a un número específico (generalmente se paga 35:1)
• Apostar a dos números adyacentes (generalmente se paga 17:1)
• Apostar al rojo o al negro (generalmente se paga 1:1)
• Números pares o impares (generalmente se paga 1:1)
• Apuesta baja o alta, es decir, los 18 primeros números (del 1 al 18) o los últimos 18 (del 19 al 36) (generalmente se paga 1:1)
• Primera docena (del 1 al 12) (generalmente se paga 2:1)
• Segunda docena (del 13 al 24) (generalmente se paga 2:1)
• Tercera docena (del 25 al 36) (generalmente se paga 2:1)

Como se puede ver, cada una de estas apuestas ofrece un pago específico, que depende de la probabilidad de que suceda.

A continuación, calcularemos el valor esperado de las ganancias de acuerdo con los distintos tipos de apuestas que podemos hacer en una ruleta americana. Los resultados aquí obtenidos son fácilmente extrapolables a la ruleta francesa, simplemente cambiando el número total de posibles resultados en los denominadores de todas las probabilidades.

En todos los casos, determinaremos el valor esperado de la ganancia por cada dólar que apostemos, aunque el valor numérico se puede trasladar a cualquier otra moneda. Además, multiplicar este valor esperado por el valor real de la apuesta producirá el valor esperado de dicha apuesta. Así, si en lugar de apostar $1 apostamos $100, sólo necesitamos multiplicar el valor esperado de la apuesta de $1 por 100.

Fórmula para calcular el valor esperado de una apuesta en la ruleta

La variable aleatoria cuyo valor esperado queremos determinar es la cantidad de dinero que ganaremos, en promedio, si hacemos una misma apuesta en la ruleta un gran número de veces. Cuando hacemos una apuesta, estamos llevando a cabo un experimento que solo tiene dos posibles resultados: que ganemos o que perdamos. Ganaremos si la bola cae en una casilla que concuerde con nuestra apuesta, y de lo contrario perderemos.

Si llamamos X a la ganancia obtenida por apostar (nuestra variable aleatoria), p a la probabilidad de éxito, x₁ a la ganancia que obtendremos si ganamos, q a la probabilidad de fracaso y x₂ a la ganancia (o pérdida) que tendremos si perdemos, entonces podemos calcular el valor esperado de una apuesta como:

Ahora veremos cómo aplicar esta fórmula a las distintas apuestas que podemos hacer.

Valor esperado de apostar en la ruleta a un número particular

Supongamos que apostamos $1 a un número particular (0, 00, 1, 2, 3, …).

El pago de esta apuesta, en caso de que ganemos, es de 35 a 1, lo que quiere decir que recibimos $35 por cada $1 que apostamos, y además recibimos nuestro $1 apostado. Diremos entonces que el valor de nuestra variable aleatoria en caso de éxito (x₁) será, en este caso, +$35, ya que esa es la ganancia neta. La probabilidad de éxito (p) es de 1/38, ya que hay en total 38 casillas distintas en las que la bola puede caer mientras que solo 1 con la que ganaremos.

Por otro lado, si la bola cae en cualquier otro número, perderemos la apuesta, en cuyo caso la casa se queda con el $1 que apostamos. Así, nuestra “ganancia” será de – $1 ya que en realidad perdemos dinero. La probabilidad de perder (q) es de 37/38, ya que cualquier casilla que no sea la del número al que apostamos nos hará perder. Con estos datos, podemos aplicar la fórmula y determinar el valor esperado de esta apuesta:

En otras palabras, el valor esperado de apostar a cualquier número particular en la ruleta es una pérdida de 5,3 centavos por cada dólar que apostemos.

Valor esperado de apostar a dos números adyacentes

Supongamos que apostamos $1 colocando una ficha entre dos números adyacentes, tales como el 2 y el 3 o el 17 y el 20 (los cuales son adyacentes verticalmente).

El pago de esta apuesta, a diferencia de la anterior, es de 17 a 1, lo que quiere decir que recibimos $17 por cada $1 que apostamos, y además recibimos nuestro $1 de vuelta. La ganancia será, en este caso, +$17, mientras que la probabilidad de éxito (p) será de 2/38, ya que hay dos números que nos harán ganar mientras que sigue habiendo las mismas 38 casillas en total.

Por otro lado, si perdemos, volvemos a perder el mismo $1 que apostamos, pero la probabilidad de perder (q) es ahora de 36/38. El valor esperado de esta apuesta es, entonces:

Nuevamente, se espera que, al apostar a cualquier par de números adyacentes en la ruleta múltiples veces, en promedio perderemos 5,3 centavos por cada dólar que apostemos.

Valor esperado de apostar por docenas

Hay seis apuestas diferentes que podemos hacer en la ruleta que incluyen una docena de posibles resultados favorables; tres de ellos consisten en apostar a la primera, segunda o tercera docena de números (sin incluir el 0 ni el 00), y las otras tres consisten en apostar a una de las tres columnas en las que están ordenados los números en la mesa de la ruleta.

El pago de cualquiera de estas apuestas es de 2 a 1, lo que significa que ganamos $2 por cada $1 que apostamos y nos devuelven el $1 de la apuesta. La probabilidad de éxito es de 12/38 ya que estamos apostando a una canasta de 12 números distintos. Finalmente, la probabilidad de fracaso es de 26/38 con la misma pérdida de $1 (o ganancia de – $1, que es lo mismo).

El valor esperado de nuestra variable aleatoria es, en este caso:

Valor esperado de apostar al rojo o al negro, a los pares o a los impares, o de apostar bajo o alto

Finalmente, hay otras seis apuestas diferentes que podemos hacer en la ruleta que presentan tanto la misma probabilidad de éxito, como el mismo pago si ganamos, así como la misma probabilidad de fracaso y la misma pérdida de dinero si perdemos, por lo que calcularemos su valor esperado de la misma forma para todas. Estas apuestas son:

• Apostar al rojo.
• Apostar al negro
• Apostar a los números pares
• Apostar a los números impares
• Apostar a los 18 números bajos (los números del 1 al 18)
• Apostar a los 18 números altos (los números del 19 al 36)

A pesar de que parecen apuestas muy diferentes, en realidad son exactamente iguales. Todas pagan $1 por cada $1 apostado, además de devolver este último, por lo que todas dan una ganancia neta de +$1.

Además, todas tienen la misma probabilidad de éxito (y, por complemento, de fracaso). Por ejemplo, la mitad de los números del 1 al 36 están identificados con el color rojo mientras que la otra mitad están identificados con el negro, así que hay una probabilidad 18/38 de que salga rojo o negro (recordemos que las casillas del 0 y del 00 son verdes, completando así el total de 38 posibles resultados).

En cuanto a números pares e impares, dado que hay 36 números consecutivos, la mitad serán números pares (2, 4, 6, 8, 10, 12, ,…,34 y 36) y la otra mitad serán impares (1, 3, 5, 7, 9, 11, …,33 y 35). Debemos recordar que el cero no se considera un número par ni impar, así que ni la casilla 0 ni la 00 forman parte de ninguno de los dos resultados.

Finalmente, hay 18 número bajos y 18 número altos, por lo que la probabilidad de que salga uno u otro resultado es también 18/38.

Por otro lado, el fracaso en todos estos casos incluye la otra mitad de los números no contados en la apuesta más el 0 y el 00, por lo que hay en total 20 posibles resultados adversos. Esto implica una probabilidad de fracaso de 20/38.

El valor esperado de cualquiera de estas apuestas es, entonces:

¿Cómo se interpretan estos resultados?

Este resultado no significa que si entramos en un casino y apostamos $1 al 21, por ejemplo, perderemos $0,053. En realidad, si jugamos una solo vez, o bien nos iremos a casa con $1 menos, o bien con $35 más.

Lo que este resultado significa es que, si apostamos a la ruleta muchísimas veces y hacemos siempre una apuesta a un solo número, algunas a veces ganaremos $35 y otras veces perderemos $1, pero, en promedio, terminaremos perdiendo $0,053 por cada dólar apostado.

Este resultado confirma el dicho popular de que “la banca siempre gana,” haciendo referencia al hecho de que, aunque algunas veces le toque a un casino pagar un premio gordo a algún afortunado apostador, siempre terminará ganando todo lo que perdió, y más a partir de todas las pequeñas apuestas en las que los participantes pierden.

Referencias

DeVore, J. (2002). Probabilidad y Estadistica Para Ingenieria y Ciencias (5th ed.). Thomson International.

Elisa, M. (2021, April 23). How to Win at Roulette: Intro to Probabilities and Expected Values. Medium. https://www.cantorsparadise.com/how-to-win-at-roulette-intro-to-probabilities-and-expected-values-f23baed1065e

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Media (valor esperado), varianza y desviación estándar de variable aleatoria discreta | Matemóvil. (2021, January 1). MateMovil. https://matemovil.com/media-varianza-y-desviacion-estandar-de-una-variable-aleatoria-discreta/

Study Force. (2021, June 8). Expected Value in Statistics: Definition and Calculations [Video]. Statistics How To. https://www.statisticshowto.com/probability-and-statistics/expected-value/