Regla de multiplicación para eventos independientes

Hay muchas situaciones en las que nos interesa encontrar la probabilidad de que ocurran dos eventos de manera simultánea. Algunas de ellas son:

• Calcular la probabilidad de obtener un doble seis al lanzar dos dados de manera simultánea o uno después de otro.
• Averiguar la probabilidad de que una persona elegida al azar de un grupo sea al mismo tiempo de sexo femenino y de piel morena.
• La probabilidad de elegir una pareja de estudiantes de sexos opuestos de una sección del colegio.
• La probabilidad de que fallen al mismo tiempo dos sistemas redundantes de control en el lanzamiento de un cohete espacial.

Esta clase de problemas se puede resolver por medio de la regla general de la multiplicación de probabilidades. Esta regla establece que, para dos eventos A y B, la probabilidad de que ocurran de manera simultánea, es decir, la probabilidad de intersección, viene dada por:

En esta ecuación, P(A|B) es la probabilidad condicional de que ocurra el evento A dado B. La anterior es la regla general de la multiplicación y aplica a cualquier par de eventos. En algunos casos, la probabilidad condicional resulta desconocida o difícil de determinar; sin embargo, en el caso de eventos independientes, esta probabilidad se simplifica para dar origen a la regla de multiplicación para eventos independientes.

Regla de multiplicación para eventos independientes

¿Qué son eventos independientes?

Dos eventos A y B son independientes el uno del otro si la ocurrencia de uno de ellos no afecta la probabilidad de que ocurra el otro. En términos matemáticos, esto implica que la probabilidad condicional de que ocurra cualquiera de los dos eventos, dado que sabemos que ha ocurrido el otro, es igual a la probabilidad simple de que ocurra el primero. En otras palabras, dos eventos serán independientes solo si:

La interpretación de lo anterior es que la probabilidad de que ocurra A dado que ha ocurrido B es igual a la probabilidad de que ocurra A. Esto implica que la ocurrencia de B no afectó la probabilidad de que ocurriera A, por lo que ambos eventos ocurren de forma independiente.

Cualquier par de eventos que no cumplan la condición anterior serán eventos dependientes.

¿Cómo se ve afectada la regla de la multiplicación en este caso?

Como podemos ver, la primera expresión de la condición de independencia puede utilizarse para simplificar la regla de la multiplicación general, ya que el primer factor puede reemplazarse por la probabilidad simple de A, obteniéndose así la siguiente expresión:

La expresión anterior se conoce como la regla de la multiplicación de las probabilidades para eventos independientes. La misma implica que, si sabemos que dos eventos son independientes entre sí y conocemos sus probabilidades de ocurrencia, entonces podemos hallar la probabilidad de que ocurran ambos al mismo tiempo simplemente multiplicando estas probabilidades.

Ejemplos de eventos independientes

La falta de información puede hacer que resulte difícil identificar si dos eventos son independientes. Por ejemplo, podríamos pensar que tener cabello color castaño no tiene nada que ver con la ocurrencia del cáncer de mama, pero la fisiología del cuerpo humano es tan compleja que ningún médico se atrevería a hacer esa aseveración.

Sin embargo, existen muchos experimentos sencillos en los que podemos identificar fácilmente si dos eventos son independientes o no.

• Lanzar dos dados al mismo tiempo. Al lanzar dos dados, el resultado de uno no afecta de ninguna manera el resultado que pueda salir en el otro, por lo que el evento en que un dado caiga en un número determinado es independiente del evento en que el otro dado caiga en otro número o el mismo, incluso.
• Los resultados de lanzar el mismo dado dos veces seguidas también son independientes el uno del otro por las mismas razones.
• Lanzar una moneda al aire dos veces. El hecho de que la primera vez caiga en cara o cruz no afectará el resultado del siguiente lanzamiento.
• En una fábrica de refrigeradores que tiene dos líneas de producción independientes de componentes que utilizan materia prima y mano de obra separada, es aceptable asumir que la probabilidad de que uno de los dos componentes falle sea independiente de la probabilidad de que falle el otro.
• Sacar al azar una carta o baraja de un mazo, reponerla y luego sacar otra carta del mazo al azar son eventos independientes, ya que al reponer la carta original en el mazo se restablecen las probabilidades de extraer cualquier de las cartas originales.

Ejemplos de eventos que no son independientes

• Sacar al azar una carta o baraja de un mazo y luego sacar otra carta del mismo mazo sin reponer la primera no son eventos independientes, ya que al sacar la primera se reduce el número total de cartas presentes en el mazo, lo cual afecta la probabilidad de que salga cualquier otra carta. Además, si no reponemos la primera carta, la probabilidad de vuelva a salir dicha carta la segunda vez se hace cero.
• En un automóvil en funcionamiento, la probabilidad de que el motor del auto se recaliente y la probabilidad de que falle la bomba de agua que refrigera el motor no son eventos independientes, ya que, si falla la bomba de agua, se hace mucho más probable que el motor se recaliente.
• Un ejemplo aún más sencillo de entender es que obtener buenas calificaciones en la asignatura de estadística no es independiente del hecho de estudiar, ya que, si estudiamos, es más probable que obtengamos buenas notas.

Ejemplos de cálculos de probabilidades utilizando la regla de la multiplicación para eventos independientes

Ejemplo 1: Lanzamiento de una moneda dos veces

Supongamos que queremos calcular la probabilidad de que al lanzar una moneda dos veces el resultado sea cara en ambos lanzamientos.

Si llamamos A al evento en el que el primer lanzamiento cae cara y B al evento en el que el segundo lanzamiento cae cara, entonces la probabilidad que se pide calcular es la probabilidad de intersección de A con B, ya que se quiere que ambos eventos ocurran. Es decir, la incógnita es P(A∩B).

Como hay solo dos posibles resultados en cada lanzamiento, la probabilidad de que ocurra cualquiera de los dos eventos es la misma:

Ahora, como sabemos que los eventos son independientes, podemos utilizar la regla de la multiplicación para determinar la probabilidad de intersección:

Ejemplo 2: Lanzamiento de dos dados

Calculemos la probabilidad de que, al lanzar dos dados comunes de seis caras, uno de ellos caiga en uno y el segundo caiga en un número par.

Llamemos A y B a los siguientes eventos:

       A = uno de los dados cae en 1.

       B = uno de los dados cae en un número par.

Lo que queremos calcular es, nuevamente, P(A∩B).

Como el resultado de cada dado es independiente del número que resulte en el otro, podemos calcular P(A∩B) utilizando la regla de la multiplicación para eventos independientes. Pero primero, necesitamos las probabilidades de A y de B.

El dado tiene 6 caras con los números del 1 al 6, los cuales no se repiten. Por lo tanto, solo hay un 1 y hay tres números pares, a saber, 2, 4 y 6. Por lo tanto, las probabilidades de que ocurran los eventos por separado son:

Utilizando estas probabilidades y la regla de la multiplicación, obtenemos la probabilidad deseada:

Ejemplo 3: Piezas que fallan

Una fábrica que construye equipos de computación utiliza, entre otros componentes, dos chips o circuitos integrados distintos provenientes de dos fabricantes diferentes. De acuerdo al fabricante del primer chip, la probabilidad de que este falle bajo condiciones normales de funcionamiento es de 0,00133. Por su parte, el segundo fabricante alardea de que solo dos de sus chips fallan por cada 5.000 unidades instaladas. El dueño de la fábrica desea calcular la probabilidad de que fallen ambos componentes al mismo tiempo. La falla de cada marca de chips se puede considerar independiente de la otra.

En este caso, el enunciado en sí especifica que los dos eventos son independientes, así que podemos utilizar la regla de la multiplicación anterior. Además, también se proporciona la probabilidad de que falle el primer chip, evento que llamaremos A. La probabilidad de que falle el segundo (evento B) la podemos calcular a partir de la información proporcionada por el fabricante:

Así que la probabilidad de que fallen ambos componentes al mismo tiempo es de:

Referencias

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Devore, J. L. (1998). PROBABILIDAD Y ESTADISTICA PARA INGENIERIA Y CIENCIAS. International Thomson Editores, S.A.

Frost, J. (2021, 10 mayo). Multiplication Rule for Calculating Probabilities. Statistics By Jim. https://statisticsbyjim.com/probability/multiplication-rule-calculating-probabilities/

Regla de la multiplicación, ejercicios resueltos. (2021, 1 enero). MateMovil. https://matemovil.com/regla-de-la-multiplicacion-o-producto-de-probabilidades/

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Regla de la Multiplicación (Probabilidad) [Ejemplos]. (s. f.). Fhybea. https://www.fhybea.com/regla-multiplicacion.html

The general multiplication rule. (s. f.). Khan Academy. https://www.khanacademy.org/math/ap-statistics/probability-ap/probability-multiplication-rule/a/general-multiplication-rule