La regla del complemento en estadística

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En estadística y en probabilidad, la regla del complemento establece que la probabilidad de que ocurra cualquier evento A siempre será igual a la unidad menos la probabilidad de que ocurra el evento contrario o complementario a A. En otras palabras, es una regla que indica que las probabilidades de un evento y su complemento están relacionados por medio de la siguiente expresión:

La regla del complemento en estadística ejemplo de probabilidad

Esta regla es una de las propiedades básicas de la probabilidad y nos indica que siempre podemos calcular la probabilidad de cualquier evento si conocemos la probabilidad de su complemento y viceversa. Esto resulta particularmente importante, ya que en muchas situaciones reales en las que debemos calcular la probabilidad de un evento resulta mucho más fácil calcular, en su lugar, la probabilidad de su complemento de manera directa. Luego, una vez calculada esta, utilizamos la regla del complemento para determinar la probabilidad que queríamos inicialmente.

Algunos ejemplos sencillos de la aplicación de esta regla son:

Si la probabilidad de que el Real Madrid gane un partido de fútbol de la Liga de Campeones es de 34/57 o de 0,5965, la probabilidad de que no gane un partido en la Liga de Campeones es de 1-34/57 = 23/57 o de 0,4035.
La probabilidad de que un dado común de 6 caras caiga en un número par menor que 6 es de 1/3, así que la probabilidad de que el dado no caiga en un número par menor que 6 es de 2/3.

Demostración de la regla del complemento

Se puede demostrar la regla del complemento de varias maneras distintas y cualquiera de ellas le permitirá al lector recordarla con mayor facilidad. Para poder hacer esta demostración, debemos comenzar por definir algunos términos básicos tales como qué es un evento y qué es su complemento. Además, debemos enunciar algunos de los axiomas principales en los que se basa la probabilidad.

Experimentos, resultados, espacio muestral y eventos

En estadística y probabilidad hablamos de llevar a cabo experimentos, tales como lanzar monedas al aire, lanzar un dado, elegir una carta o una baraja de un mazo revuelto al azar, etcétera. Cada vez que llevamos a cabo un experimento, obtenemos un resultado, como por ejemplo, elegir el 2 de bastos del mazo de barajas españolas.

Al conjunto total de todos los posibles resultados diferentes que puede dar un experimento se le denomina espacio muestral y se suele representar con la letra S.

Por otro lado, a un resultado o conjunto de resultados particulares del experimento se le conoce como evento. Los eventos pueden ser resultados individuales, en cuyo caso se denominan eventos simples, o pueden ser eventos compuestos que están formados por más de un elemento o resultado.

¿Qué es el complemento de un evento?

El complemento de un evento no es más que el conjunto de todos los demás posibles resultados del espacio muestral que no incluyen a los resultados del evento mismo. En el caso del ejemplo del lanzamiento de un dado, el complemento del evento en el que el dado cae en 5, por ejemplo, es otro evento en el que el dado cae en 1, 2, 3, 4 o 6 o, lo que es lo mismo, que no cae en 5.

Los complementos se suelen representar de maneras distintas. Las dos formas más comunes son:

Colocando una barra encima del nombre del evento (por ejemplo, A̅ representa el complemento del evento A).
Colocando una C como superíndice (A^C).

En cualquiera de los dos casos, se lee “A-complemento,” “complemento de A,” o “No A.”

Una manera sencilla para entender tanto el concepto de complemento como la misma regla del complemento es utilizando los diagramas de Venn. La siguiente figura muestra un diagrama sencillo de un experimento cualquiera y de un único evento al que llamaremos A.

En los diagramas de Venn como este, el rectángulo completo representa el espacio muestral de experimento, mientras que el área total del rectángulo (en este caso, tanto la zona gris como al azul) representa la probabilidad del espacio muestral, la cual, por definición, vale 1. Esto se debe a que, si llevamos a cabo un experimento, es absolutamente seguro que se obtendrá algún resultado contenido en el espacio muestral, ya que este contiene todos los posibles resultados.

El círculo de color azul encierra el área del espacio muestran en el que se supone se encuentran todos los posibles resultados del evento A. Por ejemplo, si el evento A es obtener un número par al lanzar un dado, entonces esta zona azul debe contener a los resultados 2, 4 y 6. Por otro lado, toda el área que se encuentra fuera del evento A (es decir, la zona gris), es el complemento de A ya que contiene a los demás resultados (1, 3 y 5).

La regla del complemento y los diagramas de Venn

Una clave para entender la regla del complemento utilizando los diagramas de Venn es que el área de cualquier evento dentro en estos diagramas es proporcional a su probabilidad; el área total del rectángulo corresponde a una probabilidad de 1. Como podemos ver claramente, el evento A (círculo azul) y su complemento, A̅ (zona gris) unidos forman el rectángulo entero.

Por esta razón, la suma de sus áreas, que representan sus probabilidades respectivas, debe ser igual a 1 que es el área del espacio muestral, S. Reordenando esto, obtendríamos:

Esta es la regla del complemento.

La regla del complemento a partir de los axiomas de la probabilidad

Cualquier evento y su complemento forman un par de eventos disjuntos o mutuamente excluyentes, ya que si sucede uno, es imposible, por definición, que suceda el otro. En estas condiciones, la probabilidad de unión de estos dos eventos viene dada simplemente por la suma de las probabilidades individuales. Es decir:

Además, como dijimos antes, la unión de los eventos A y su complemento, A^C, dan como resultado el espacio muestral:

Sustituyendo P(AUC^C) en la ecuación anterior y luego sustituyendo la probabilidad de S que por definición es 1, obtenemos:

Reordenando los últimos dos miembros obtenemos la regla del complemento.

Ejemplo de un problema de aplicación de la regla del complemento

El siguiente es un ejemplo de un problema típico en el que el uso de la regla del complemento es particularmente útil.

Enunciado

Supongamos que tenemos un circuito formado por 5 chips iguales conectados en serie, o sea, uno después del otro. La probabilidad de que un chip falle durante el primer año de su fabricación es de 0.0002. Si cualquiera de los 5 chips llegara a fallar, falla todo el sistema. Se desea calcular la probabilidad de que falle el sistema durante el primer año.

Solución

Denominemos F (de falla) al resultado en el que un componente o chip del sistema falla y E (de éxito) al resultado en el que el componente no falla o, lo que es lo mismo, sí funciona. Entonces, el dato que nos proporciona el enunciado es:

Ejemplo de la regla del complemento en estadística

El experimento en el que se determina si el sistema entero falla corresponde en realidad a llevar a cabo 5 experimentos simultáneos en los que se determina si cualquiera de los componentes falla. Entonces, el espacio muestral de este experimento está formado por todas las combinaciones de resultados de éxito o fracaso en cada uno de los 5 componentes. Al estar conectados en serie, sabemos que el orden sí importa. Por lo tanto, el espacio muestral está formado por:

Este espacio muestral contiene 2⁵=32 posibles resultados correspondiente a todas las posibles combinaciones de Es y Fs. Como queremos calcular la probabilidad de que el sistema falle, el evento en el que estamos interesados, al cual llamaremos evento A, viene dado por todos los resultados en los que al menos uno de los componentes falla. En otras palabras, viene dado por el siguiente conjunto de resultados:

De hecho, hay 2⁵-1=31 posibles resultados en los que por lo menos uno de los cinco componentes falla. Si quisiéramos calcular la probabilidad de A (es decir, P(A)), necesitaríamos calcular la probabilidad de cada uno de estos resultados; sería una labor considerable.

Sin embargo, consideremos ahora el evento complementario de A, es decir, el evento en el que el sistema sí funciona (al cual llamaremos A^C). Como podemos ver, la única manera de que todo el sistema funciones es que todos los cinco componentes del circuito funcionen, es decir:

Calcular esta probabilidad es mucho más fácil que calcular la anterior. Luego, teniendo esta probabilidad, utilizamos la regla del complemento para calcular la probabilidad de A. Como los resultados de cada chip son eventos independientes unos de otros, la probabilidad de A^C es simplemente el producto de la probabilidad de que cada chip funcione, es decir:

Pero, ¿cuál es la probabilidad de E? Recordemos que cada chip o funciona o no funciona, así que E es el complemento de F. Por lo tanto, si tenemos la probabilidad de F (la cual viene dada en el ejercicio), podemos calcular la probabilidad de E utilizando la regla del complemento: