¿Qué son los momentos en estadística?

Los momentos en los cálculos en estadística se relacionan con la determinación de parámetros como la media, la varianza o la asimetría de una distribución de probabilidad. El término momento deriva de la física, del cálculo del centro de gravedad de un conjunto de cuerpos de distinta masa.

Definición de momento

Si se tiene un conjunto de n datos discretos x₁, x₂, x₃, … x_n, se define el momento de orden s como:  

(x₁^s+ x₂^s + x₃^s +…+ x_n^s)/n

El orden en que se realiza el cálculo es importante. Primero hay que hacer la elevación a la potencia s, luego hacer la suma y por último la división entre n.

Aplicando esta definición, se tiene el momento de primer orden cuando s = 1 y la fórmula anterior toma la forma:

(x₁+ x₂ + x₃ +…+ x_n)/n

Esta es la expresión de la fórmula de la media de un conjunto de valores.

Si el conjunto que estamos analizando está compuesto por los 4 números 1, 3, 6, 10, el momento de primer orden de este conjunto es:

(1 + 3 + 6 + 10)/4 = 5

En este ejemplo se observa que el momento de primer orden es el promedio del conjunto de valores que se estudia.

El momento de segundo orden corresponde a s = 2, y la definición entonces queda de la siguiente manera:

(x₁²+ x₂² + x₃² +…+ x_n²)/n

Si la aplicamos el ejemplo anterior se obtiene:

(1² + 3² + 6² + 10²)/4 = (1 + 9 + 36 + 100)/4 = 36,5

De forma similar, el momento de tercer orden corresponde a s = 3 y la fórmula tiene la forma:

(x₁³+ x₂³ + x₃³ +…+ x_n³)/n

Y el cálculo en el ejemplo que consideramos tiene la expresión:

(1³ + 3³ + 6³ + 10³)/4 = (1 + 27 + 216 + 1000)/4 = 311

Los momentos de la media de un conjunto de valores

Otra aplicación del concepto de momento es su cálculo de la media de un conjunto de valores. Esto es, a los valores que se obtienen de la diferencia de cada valor de un conjunto respecto de la media. Para ello primero hay que calcular el valor medio del conjunto, después definir la variable sobre la que se calcularán los momentos como la diferencia entre el promedio y cada valor del conjunto, y finalmente aplicar la fórmula anterior a esta nueva variable.

Entonces, si m es el promedio del conjunto de valores x₁, x₂, x₃, … x_n, los momentos alrededor del promedio m_s de un conjunto de valores tendrán la forma:

m_s = [(x₁ – m)^s+ (x₂ – m)^s + (x₃ – m)^s +…+ (x_n – m)^s]/n

De acuerdo con este cálculo, el momento de primer orden de la media es 0. Veamos cómo se obtiene este resultado:

m₁ = [(x₁ – m)+ (x₂ – m) + (x₃ – m) +…+ (x_n – m)]/n

m₁ = [x₁+ x₂ + x₃ +…+ x_n – n.m)]/n

m₁ = [x₁+ x₂ + x₃ +…+ x_n]/n – [n.m]/n

m₁ = m – m = 0

El momento de segundo orden de la media tiene la siguiente expresión:

m₂ = [(x₁ – m)²+ (x₂ – m)² + (x₃ – m)² +…+ (x_n – m)²]/n

Esta es la fórmula de la varianza de un conjunto de valores.

Si aplicamos esta fórmula al ejemplo anterior tenemos que la media que ya calculamos es 5, por lo que la fórmula se transforma en

m₂ = [(1 – 5)²+ (3 – 5)² + (6 – 5)² + (10 – 5)²]/4 = 11,5

De esta forma vemos que el momento de primer orden de un conjunto de valores es la media y el momento de segundo orden sobre la media es la varianza de ese conjunto. El momento de tercer orden de la media fue utilizado por Karl Pearson para el cálculo de la asimetría del conjunto de valores, mientras que el momento de cuarto orden de la media se utiliza en el cálculo de la curtosis estadística.

Fuentes

Alexander Mood, Franklin A. Graybill, Duane C. Boes, Introduction to the Theory of Statistics. Tercera edición, McGraw-Hill, 1974.

Peter H. Westfall, Understanding Advanced Statistical Methods. Boca Raton, FL: CRC Press, 2013.