Cómo se calcula la varianza de una distribución de Poisson

La varianza de una variable aleatoria es una medida de su dispersión en torno a la media. Esto quiere decir que es una cantidad que indica la dispersión en promedio de los valores de dicha variable a ambos lados de la media o la amplitud de su distribución de probabilidad. Este parámetro es una cantidad importante para cualquier variable aleatoria, sea cual sea la distribución de probabilidad que presente.

Por otro lado, la distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta que sirve para modelar la frecuencia con la que ocurren eventos discretos dentro de un intervalo de tiempo, aunque también puede referirse en relación con otras variables continuas, tales como una longitud de un alambre, una superficie, etcétera.

La distribución de Poisson es de gran importancia, ya que permite modelar procesos tan cotidianos como el número de personas que llega a una fila en la taquilla de un cajero, así como procesos tan complejos como el número de decaimientos radiactivos en un intervalo de tiempo determinado de una muestra de desechos nucleares.

Definición matemática de la distribución de Poisson

Una variable aleatoria X sigue una distribución de Poisson si su función de masa de probabilidad o PMF tiene la siguiente forma:

En la fórmula, λ es un parámetro siempre positivo de la distribución y x representa los distintos valores que puede adoptar la variable aleatoria. En los procesos de Poisson, el parámetro λ generalmente representa la rapidez o la frecuencia por unidad de tiempo, por unidad de área, etcétera.

Como demostraremos más adelante, λ es, a su vez, la media de la distribución de Poisson, así como su varianza.

Ahora que sabemos qué es esta función de distribución y para qué sirve, veamos una definición más formal de varianza, la forma general de calcularla y, por último, cómo se calcula la varianza para el caso particular de la distribución de Poisson.

¿Qué es la varianza?

Matemáticamente, la varianza de una variable aleatoria X, denotada en estadística por Var(X), corresponde al valor esperado del cuadrado de la desviación de dicha variable respecto a su media, lo que se expresa con la siguiente fórmula:

A pesar de poder utilizarse la definición anterior para calcular la varianza de cualquier variable aleatoria, esta también se puede calcular de manera más sencilla utilizando el primer y segundo momento ordinario, o momentos alrededor del origen (m₁, m₂) como sigue:

Esta forma de calcular la varianza resulta más conveniente que la primera, así que será la que utilizaremos en el presente artículo para calcular la varianza de la distribución de Poisson.

Cálculo de la varianza de la distribución de Poisson

Cálculo de la media o primer momento ordinario

Recordemos que, para cualquier distribución discreta, la media o esperanza de X se puede determinar por medio de la siguiente expresión, que define el primer momento:

Podemos tomar esta suma desde x=1 en adelante, ya que el primer término es cero. Además, si ahora multiplicamos y dividimos todo por λ y además reemplazamos x!/x por (x-1)!, obtenemos:

Esta expresión se puede simplificar haciendo el cambio de variable y = x – 1, quedando:

La función dentro de la sumatoria es nuevamente la función de probabilidad de Poisson, que, por definición, es la sumatoria de todas las probabilidades desde cero hasta infinito de cualquier función de probabilidad debe ser igual a 1.

Ya tenemos el primer momento o la media de la función de Poisson. Ahora utilizaremos este resultado y la esperanza del cuadrado de X para hallar la varianza.

Cálculo del segundo momento ordinario

El segundo momento viene dado por:

Podemos utilizar un pequeño truco para resolver esta sumatoria que consiste en reemplazar x² por x(x-1)+x:

Donde utilizamos el resultado anterior en el segundo término de la sumatoria, multiplicamos y dividimos por λ² para obtener el exponente λ^x-2 y aplicamos el cambio de variable y = x – 2.

Ahora solo falta reemplazar estos dos momentos en la fórmula para la varianza, y tendremos el resultado esperado:

Referencias

Devore, J. (2021). Probabilidad y Estadística para Ingeniería y Ciencias. CENGAGE LEARNING.

Rodó, P. (2020, 4 noviembre). Distribución de Poisson. Economipedia. https://economipedia.com/definiciones/distribucion-de-poisson.html

UNAM [Luis Rincón]. (2013, 16 diciembre). 0625 Distribución Poisson [Vídeo]. YouTube. https://www.youtube.com/watch?v=y_dOx8FhHpQ