Cómo calcular la mediana de la distribución exponencial

¿Qué es la distribución exponencial?

La distribución exponencial es un caso particular de la distribución gama. Se trata de una distribución continua que se utiliza para describir la distribución de probabilidad del tiempo transcurrido entre eventos en un proceso de Poisson. Esto se refiere a aquellos procesos en los que los eventos ocurren de manera continua e independiente unos de otros, pero a una frecuencia promedio constante.

La distribución exponencial sigue la siguiente función de probabilidad:

donde X es una variable aleatoria continua y lambda (λ) es un parámetro característico de cada distribución particular. La siguiente figura muestra la gráfica de esta función de distribución para distintos valores de λ.

Como se puede observar, esta función decae exponencialmente desde un valor inicial igual a λ y se acerca asintóticamente a cero a medida que x aumenta.

La media de esta función de distribución viene dada por μ = 1/ λ y su varianza es σ² = (1/ λ)². En las siguientes secciones se muestra cómo calcular la mediana.

Importancia de la distribución exponencial

Como se mencionó al principio, la distribución exponencial se puede aplicar a cualquier sistema que siga un proceso de Poisson. Esto quiere decir que sirve para describir los tiempos entre eventos tales como las llegadas de clientes en instalaciones de servicio, los tiempos entre fallas de los sistemas o componentes electrónicos y la supervivencia de los seres vivos.

¿Qué es la mediana?

Antes de proceder a calcular la mediana, debemos comprender qué es. La mediana de una distribución de probabilidad, corresponde al valor de la variable aleatoria que divida a dicha distribución por la mitad. En el caso de las variables discretas, esto significa dejar igual número de valores a ambos lados de la mediana. En el caso de la función exponencial y de las demás funciones de distribución continua, la mediana es el punto que deja la misma área bajo la curva de la densidad de probabilidad a ambos lados.

Otra manera más práctica de ver a la mediana, y que es la que utilizaremos para hallarla en el presente artículo, es que corresponde al punto en el que la función de distribución tiene un valor de 0,5. Es decir, corresponde a la solución de la siguiente ecuación:

Cálculo de la mediana de la distribución exponencial

Para hallar la mediana de la distribución exponencial, utilizaremos la función de distribución y hallaremos el valor de la variable aleatoria para la cual dicha función tiene un valor de 0,5, tal como se explicó en la sección anterior. En otras palabras, diremos que la mediana (Me) es el valor de la variable aleatoria, x, para la cual se verifica que:

Todo lo que debemos hacer ahora es sustituir la función de densidad de probabilidad (f(x)) correspondiente a la distribución exponencial e integrar:

Donde hemos hecho uso de la definición por partes de la función de distribución de probabilidad, la cual tiene un valor de cero para todos los valores de la variable aleatoria menores o iguales que cero. Esta es una integral sencilla:

Ahora, igualamos a ½, y resolvemos la ecuación para hallar la mediana, Me.

Finalmente, se reordena, se toma el logaritmo natural en ambos miembros y se despeja Me:

Por lo tanto, la mediana de la distribución exponencial viene dada por ln2/λ.

El sesgo de la distribución exponencial

Si comparamos el valor de la mediana que acabamos de obtener, ln2/λ, con el valor de la mediana de esta distribución que mencionamos al principio, 1/λ, rápidamente nos damos cuenta que la mediana es menor que la media, debido a que el ln2 es un número menor que 1.

Siempre que la media no coincida con la mediana, se dice que la distribución está sesgada. Como en este caso la media es mayor que la mediana, se dice que la función exponencial está sesgada a la derecha.

Como la mediana es una medida de tendencia central menos sensible a los valores extremos que la media, en casos como este en el que se determina que hay un sesgo, se prefiere utilizar la mediana para representar dicha tendencia central.

Referencias

LesKanaris. (s. f.). Cómo calcular la mediana de la distribución exponencial – Interesante – 2021. Recuperado de https://us.leskanaris.com/2916-exponential-distribution-medians.html

Lifehackk. (2018). Cómo calcular la mediana de la distribución exponencial – 2021. Recuperado de https://esp.lifehackk.com/14-calculate-the-median-of-exponential-distribution-3126442-7366

Matemáticas Simples. (2021, 6 septiembre). Mediana – distribución exponencial [Archivo de vídeo]. Recuperado de https://www.youtube.com/watch?v=0s3h1Tfysog

Mtz De Lejarza E., J., & Mtz De Lejarza E., I. (1999). Distribución exponencial. Recuperado de https://www.uv.es/ceaces/base/modelos%20de%20probabilidad/exponencial.htm