¿Qué es la diferencia simétrica?

La diferencia simétrica de dos conjuntos se puede definir como el conjunto de elementos que pertenecen a uno de los conjuntos iniciales, pero que no pertenecen a los dos. Por ejemplo, la diferencia simétrica de {4,2,3,8} y {1,2,3,7} es {1,4,8}.

Qué es la teoría de los conjuntos

El desarrollo de la teoría de conjuntos se debe al matemático alemán Georg Cantor, a mediados del siglo XIX. Actualmente, la teoría de conjuntos forma parte de la lógica matemática y se enfoca en el estudio de las propiedades y las relaciones entre los conjuntos.

Un conjunto es una colección abstracta de elementos, que se consideran objetos en sí mismos. Los conjuntos y las operaciones que se realizan con ellos constituyen una de las herramientas más básicas en la formulación de las teorías matemáticas.

La teoría de los conjuntos también incluye el resto de los objetos y estructuras matemáticas, como números, figuras geométricas, funciones, y otros. Incluso, la teoría de conjuntos también es un objeto de estudio por sí misma y casi siempre va acompañada de la aplicación de la lógica.

Que son los conjuntos

Los conjuntos se definen como una serie de objetos bien definidos, a los que se suele denominar elementos, que se diferencian entre sí. En ocasiones un conjunto se expresa según la propiedad o propiedades que cumplen sus elementos.

Un conjunto puede tener un número finito o infinito de elementos. En matemáticas es común nombrar a los elementos mediante letras minúsculas y a los conjuntos con letras mayúsculas. Además, los conjuntos y sus operaciones se pueden representar de manera gráfica con los diagramas de Venn.

Operaciones de los conjuntos

En los conjuntos y sus elementos se pueden realizar operaciones básicas que son semejantes a las operaciones aritméticas, y conforman lo que se conoce como el álgebra de conjuntos. Estas operaciones son:

• Intersección: esta operación da como resultado un conjunto A ∩ B donde están todos los elementos que tienen en común los conjuntos A y B.
• Diferencia simétrica: la diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto A Δ B. Aquí se incluyen todos los elementos que forman parte de A o de B, pero no de ambos a la vez.
• Diferencia: se conoce como diferencia a la operación entre dos conjuntos, en este caso, A y B. Se obtiene el conjunto A \ B que incluye todos los elementos del conjunto A que no pertenecen al conjunto B.
• Complemento: el complemento de un conjunto A es el conjunto A∁. Este contiene todos los elementos que no pertenecen a A.
• Producto cartesiano: esta operación da como resultado el conjunto A × B donde sus elementos son pares ordenados. El primer elemento pertenece A y el segundo pertenece a B.
• Unión: es la unión de dos o más conjuntos. Por ejemplo, la unión de los conjuntos A y B se expresa como el conjunto A ∪ B. Este contiene todos los elementos que estaban en ellos.

La diferencia simétrica: concepto y características

Según lo mencionado anteriormente, la diferencia simétrica de dos conjuntos es otro conjunto donde se incluyen los elementos que pertenecen a los conjuntos iniciales, pero que no están en los dos a la vez. Por ejemplo, la diferencia simétrica de los conjuntos A={2,5,3} y B={4,2,3,7} es el conjunto A Δ B={4,5,7}.

Es decir, la diferencia simétrica se trata de una operación donde se observa la diferencia entre dos o más conjuntos.

Otros ejemplos para comprender la diferencia simétrica son:

• Si tenemos los conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={2,4,6}, entonces la diferencia simétrica entre estos conjuntos es el conjunto A ∆ B={1,3,5,6}.
• La diferencia simétrica de los conjuntos R={a, b, c, d } y S={a, b, e, f } es el conjunto R ∆ S={c, d, e, f}.

La diferencia simétrica entre A y B también se puede definir como la diferencia entre la unión y la intersección de A y B. Esto se expresa: A ∆ B = (A ∪ B ) – (A ∩ B).

Otra manera equivalente de expresar la diferencia simétrica utilizando las operaciones de unión e intersección es: (A – B) ∪ (B – A). Aquí se puede observar que la diferencia simétrica es el conjunto de elementos en A pero no en B, o en B pero no en A. Por lo tanto, se excluyen esos elementos en la intersección de A y B.

Propiedades de la diferencia simétrica

A partir de los conceptos mencionados sobre la diferencia simétrica se pueden deducir distintas propiedades:

• La diferencia simétrica de un conjunto con respecto a sí mismo es el conjunto vacío: A Δ B = Ø
• Por lo tanto, la diferencia simétrica de un conjunto A con el conjunto vacío es el mismo conjunto A: A Δ Ø = A
• La diferencia simétrica de un conjunto y uno de sus subconjuntos es la diferencia entre ellos: B ⊆ A → A Δ B= A \ B
• Y la diferencia simétrica de los conjuntos A Δ B y C es igual que la de los conjuntos A Δ B y C. Esto se expresa: (A Δ B) Δ C = A Δ (B Δ C)
• Asimismo, la diferencia simétrica de los conjuntos A y B es igual a la diferencia simétrica de los conjuntos B y A. Lo cual se representa así: A Δ B = B Δ A

Bibliografía

• Morra, J. Tema 11. Conceptos básicos de la teoría de conjuntos. Estructuras algebraicas. (2020, edición Kindle. España. B085WBRJNC.
• López Mateos, M. Conjuntos, Lógica y Funciones. (2019, 2da. edición). España. Manuel López Mateos.
• Uzcátegui Aylwin, C. Una introducción a la teoría descriptiva de conjuntos. (2020). España. Ediciones Uniandes.