¿Qué es un promedio en matemáticas?

En matemáticas, un promedio, también llamado media, es un número que resume en uno solo el valor de un conjunto de números o datos. Se le conoce como una medida de tendencia central ya que representa, de alguna manera, un valor que se encuentra en el centro de una colección de datos.

¿Para qué sirven los promedios?

Los promedios son de gran ayuda, ya que nos permiten ver a grandes rasgos el comportamiento de un gran número de datos sin perdernos en los detalles de cada uno de los valores individuales. Por usar una analogía, calcular un promedio nos permite ver el bosque como un todo, en lugar de enfocarnos en los árboles.

Por ejemplo, podemos contar con una tabla en la que están los valores de la estatura de 100 estudiantes del mismo grado de un plantel educativo. Lo más probable es que ninguna de estas personas tenga exactamente la misma estatura, por lo que la mayoría de los valores de la tabla serán diferentes.

¿Qué sucedería si alguien nos preguntase cuánto miden los alumnos de ese grado en ese plantel? Sería incorrecto dar como respuesta la estatura de cualquiera de ellos. Aquí es donde los promedios comienzan a ser de ayuda. En lugar de reportar 100 estaturas diferentes, el promedio permite resumir toda esa información en un solo número. Podríamos, entonces, decir que los alumnos del plantel miden, en promedio, 1,67 m de estatura (si así fuera el caso).

Esto no significa que ni que todos los estudiantes miden 1,67, ni siquiera que alguno de ellos tenga esta estatura. Simplemente que el número que mejor representa la estatura de los estudiantes de ese grado en ese plantel es 1,67 m.

Pérdida de información con el cálculo de promedios

Evidentemente, al resumir datos en un promedio, se está perdiendo mucha información. Se sacrifica información en pro de obtener claridad. El cálculo de promedios forma parte de lo que se conoce como estadística descriptiva, que no es más que un conjunto de técnicas y cálculos que permiten describir con pocos números el comportamiento o las características de una gran colección de datos.

Los promedios por sí solos no suelen aportar información suficiente para muchas de las aplicaciones que les damos. Para recuperar parte de la información perdida, los promedios frecuentemente se reportan junto con alguna medida de la dispersión de los datos individuales alrededor de la media, tal como la varianza o la desviación estándar.

Tipos de promedio y sus fórmulas

Existen diferentes formas de calcular un promedio a partir de una colección de datos. Esto da origen a distintos tipos de promedios o, mejor dicho, de medias.

• Media aritmética (X̅ o AM, por sus siglas en inglés)
• Media aritmética ponderada (WAM, por sus siglas en inglés)
• Media geométrica (GM, por sus siglas en inglés)
• Media armónica (HM, por sus siglas en inglés)
• Raíz de la media de los cuadrados (RMS, por sus siglas en inglés)

Media aritmética (X̅ o AM)

La media aritmética, o AM por sus siglas en inglés, es la forma de promedio más comúnmente utilizada en la vida diaria. Se trata de una sumatoria simple de los elementos que se desea promediar, dividida entre el número total de elementos o datos.

La media aritmética se representa en muchos contextos matemáticos por medio del símbolo con el que se representa a la variable que se está promediando con una barra encima. Por ejemplo, la media aritmética de la variable X se representa como X̅ (X-barra). A veces también se representa por medio de AM_X. Su fórmula viene dada por:

En esta ecuación, X_i representa el i-ésimo dato individual y n es el número total de datos que se está promediando.

Esta media tiene la característica de que se encuentra en el centro de todos los datos, de manera tal que la suma de las desviaciones de todos los datos individuales con respecto a la media siempre es cero.

La media aritmética es muy sensible a datos atípicos o extremos. Es decir, cuando en un conjunto de datos existe un valor que es o mucho más grande que la gran mayoría de los demás datos o mucho más pequeño, estos datos extremos halan el promedio hacia ellos, alejándolos de la mayoría de los demás datos.

Media aritmética ponderada (WAM o W)

La media aritmética le da la misma importancia o ponderación a todos los datos que se está promediando. Sin embargo, esto no siempre resulta conveniente, ya que puede que haya datos que sean más importantes que otros. En estos casos se utiliza la media aritmética ponderada o promedio ponderado, el cual se suele representar con el símbolo W (del inglés weighed average).

En el promedio ponderado, la importancia relativa de cada dato se introduce en el cálculo en forma de un factor de ponderación (w_i) particular para cada dato (X_i). Mientras mayor sea la importancia del dato, mayor será su factor de ponderación, aumentando así su influencia sobre el promedio final. La fórmula para calcular el promedio ponderado es:

El factor de ponderación se puede elegir arbitrariamente, y en algunos casos se puede incluso calcular mediante una función de ponderación adecuada, según se considere necesario.

Un ejemplo de una situación en la que el promedio ponderado es más adecuado que el promedio simple se da en el caso del cálculo del promedio de calificaciones de un estudiante. La media aritmética o promedio simple no es adecuada para estos casos, ya que hay asignaturas que requieren mucho más trabajo y dedicación que otras, y también hay asignaturas que son más importantes que otras para el futuro académico del estudiante. Por esta razón, las mismas deberían contribuir más al promedio de calificaciones que las asignaturas menos importantes.

En estos casos, se suele utilizar como factor de ponderación el número de unidades crédito de la materia.

Media geométrica (GM)

En el cálculo de la media geométrica, en lugar de tomar la suma de los datos y dividirla entre el número de datos, se multiplican entre sí los n datos individuales y se toma la raíz n-ésima del producto conjunto.

Esta media tiene la propiedad de ser cero si cualquiera de los datos que se están promediando vale cero. Además, si el número de datos es par, entonces la media geométrica no está definida para datos negativos, razón por la que su utilidad se limita a números estrictamente positivos.

Este tipo de promedio se utiliza con frecuencia al calcular promedios de porcentajes.

Media armónica (HM)

La media armónica, o HM por sus siglas en inglés, es un tipo de promedio que se utiliza con frecuencia para promediar cantidades que se calculan como productos o cocientes. Algunos ejemplos importantes son el cálculo de velocidades promedio en trayectos de igual longitud, la relación precio/ganancia (PER, por sus siglas en inglés) de las inversiones en la bolsa de valores, etcétera.

La fórmula para calcular la media armónica consiste en el inverso de la media aritmética de los inversos de los datos individuales. En otras palabras, viene dada por la siguiente ecuación:

Raíz cuadrada de la media de los cuadrados (RMS)

También conocida como la media cuadrática, el RMS representa un tipo de promedio adecuado para datos que tienen valores tanto positivos como negativos. Esto se debe a que corresponde a la raíz cuadrada de la media aritmética de los cuadrados de los datos individuales. Al elevar al cuadrado cada dato, el resultado obtenido siempre será positivo, por lo que se elimina la influencia de este signo en el cálculo del promedio.

El RMS viene dado por:

La aplicación más común del RMS es la del cálculo del voltaje efectivo de la corriente AC con onda sinusoidal. En este caso, lo más importante es la amplitud promedio de la onda y no el valor promedio del voltaje, el cual es cero debido a la simetría en torno a 0 V.

Otras medidas de tendencia central: la mediana y la moda

Además de las distintas medias que vimos antes, también existen otras medidas distintas de tendencia central que se utilizan principalmente en estadística. Estas son la mediana y la moda.

La mediana (X̃)

En un conjunto de datos cuantitativos ordenados de menor a mayor, la mediana representa el dato central, o el valor de la variable que divide a la serie de datos en dos mitades o conjuntos con el mismo número de datos. De esta forma, la determinación de la mediana, la cual se representa colocando una tilde o virgulilla sobre el símbolo de la variable de interés (por ejemplo, ṽ podría representar la mediana de una serie de datos de velocidad), depende del número total de datos con los que se cuente.

La mediana no necesariamente se calcula sino que más bien se identifica en una serie de datos. Para identificar la mediana, lo primero que se debe hacer es ordenar todos los datos de menor a mayor y luego numerarlos en secuencia del 1 en adelante. El siguiente paso depende de si el número total de datos (n) presentes es par o impar:

Número de datos impares: Si la serie contiene un número impar de datos, entonces la mediana será el dato identificado con el número (n+1)/2. Por ejemplo, si hay 15 datos en total, la mediana será el dato (15+1)2=8, ya que este deja 7 datos por debajo y 7 datos por encima de la mediana.

Número de datos pares: En este caso no hay un dato central que divida en dos mitades iguales a la serie, entonces, la mediana se calcula como la media aritmética de los dos datos centrales, es decir del dato número n/2 y el dato (n/2) +1. Por ejemplo, si una serie de datos contiene 24 datos, entonces la mediana será el promedio simple entre el dato 24/2=12 y el dato (24/2)+1=13.

La mediana ofrece el beneficio de ser menos sensible a valores extremos que la media. Sin embargo, no es una buena medida de tendencia central si los datos están sesgados.

La moda (Mo_X)

La moda es simplemente el valor o la categoría que se repite con más frecuencia en una serie de datos. Es algo así como el valor “más popular” de la serie y representa el pico más alto cuando los datos se representan en forma de un histograma.

Ejemplo del cálculo de distintos promedios

Supongamos que tenemos la siguiente serie de datos correspondientes a la estatura de 30 alumnos de una sección de matemáticas en un colegio de la capital. Todas las estaturas están en metros.

A partir de estos datos determine a) la media aritmética; b) la media geométrica; c) la media armónica; d) el RMS, y e) la mediana.

Solución

Como se pide determinar la mediana, y para ello se necesita tener los datos ordenados e identificados, comenzaremos por allí, ya que esto suele facilitar los demás cálculos:

Ahora, utilizando esta tabla, calcularemos las medias que se pide calcular. En cualquiera de los casos, se trata simplemente de aplicar las ecuaciones mostradas anteriormente:

Media aritmética

Media geométrica

Media armónica

RMS

Mediana

Como se trata de un número par de datos, la mediana será la media aritmética de los datos 30/2=15 y (30/2)+1=16, es decir, será el promedio entre 1,58 y 1,59:

Referencias

Conthe, M. (2017, 21 julio). ¿Media aritmética o media geométrica? Expansion. https://www.expansion.com/blogs/conthe/2017/07/21/un-calculo-poco-armonico.html

Disfruta las Matemáticas. (2011). Definición: Promedio. Disfrutalasmatematicas.com. https://www.disfrutalasmatematicas.com/definiciones/promedio.html

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