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회전 관성 모멘트 또는 간단히 회전 관성은 질량을 가진 모든 물체의 전형적인 스칼라 물리량이며 특정 회전축을 중심으로 회전시키는 것이 얼마나 어려운지를 측정합니다. 이것은 선형 관성의 회전 등가물이며, 이와 같이 물체가 정지해 있거나 움직이고 있는지 여부에 관계없이 물체의 속도를 변경하는 데 어려움을 나타내는 양입니다. 속도.
이 양은 동일한 외부 모양과 질량을 가지고 있음에도 불구하고 토크 힘을 받을 때 다르게 거동하는 물체의 거동 차이를 이해할 수 있게 해주기 때문에 회전 운동을 설명하는 데 매우 중요합니다. 회전. 이 차이는 회전축을 중심으로 한 신체 질량 분포의 차이에서 발생합니다. 위의 내용은 같은 물체라도 회전축에 대한 상대적인 위치에 따라 다른 회전 관성 모멘트를 가질 수 있으므로 관성 모멘트를 계산하는 다른 공식이 발생한다는 것을 의미합니다.
위에서 말했듯이, 관성 모멘트를 구하는 공식은 기존 물체의 모양과 회전축만큼 가능하다는 것이 분명합니다. 그러나 실제로 자연스럽게 발생하는 축을 중심으로 회전하는 규칙적인 기하학적 모양의 특별한 경우가 있습니다. 다음 섹션에서는 이러한 바디의 회전 관성 모멘트를 결정하는 가장 중요한 공식을 볼 것입니다.
점 입자의 관성 모멘트 공식
점 입자의 관성 모멘트는 이 물리량의 원래 정의에 해당합니다. 이 표현은 각속도 w로 표시될 때 회전 운동 에너지에 대한 표현에서 나옵니다.
다음과 같이 중심축을 중심으로 회전하는 질량 m 의 입자가 있다고 가정합니다 .
이 입자의 운동 에너지는 다른 움직이는 입자와 마찬가지로 질량과 속도(속도의 크기) 사이의 곱의 절반, 즉 1/2 mv 2 에 의해 결정 됩니다 . 그러나 이 입자가 설명하는 유일한 움직임이 축 주위의 회전(병진 이동 없음)인 경우 입자의 선형 속도를 각속도의 함수로 표현할 수 있습니다(v = rω). 이렇게 함으로써, 이 경우에 독점적으로 회전 운동 에너지인 운동 에너지는 다음과 같이 표현됩니다:
여기서 입자의 관성 모멘트 I 는 다음과 같이 정의됩니다.
이 식에서 m 은 점 입자의 질량이고 r 은 회전 반경 또는 회전축에서 입자까지의 거리입니다.
점 입자 집합체의 관성 모멘트 공식
이제 축을 중심으로 회전하는 단일 입자가 없지만 n개의 입자 로 구성된 시스템이 있고 각 입자는 특정 질량 mi를 가지며 각 입자는 회전축에서 거리 r i로 회전한다고 가정 합니다 . , 아래에 표시된 세 입자 시스템과 같은.
이 시스템의 전체 운동 에너지를 계산하려면 세 입자 각각의 운동 에너지만 더하면 됩니다. 이 아이디어를 n개 입자의 일반적인 경우로 확장하고 모두 같은 각속도로 움직인다고 가정하면(함께 회전하기 때문에) 시스템의 총 회전 운동 에너지는 다음과 같이 주어집니다.
동일한 축 주위를 함께 회전하는 n개의 입자 시스템의 총 관성 모멘트는 다음과 같이 주어집니다.
이 공식은 회전축이 구 밖에 있는 한 점 입자와 모든 크기의 구형 입자 모두에 적용됩니다. 이 조건이 충족되면 반경은 축과 구 중심 사이의 거리에 해당하고 질량은 구의 총 질량에 해당합니다.
강체의 관성 모멘트 적분식
위의 관성 모멘트 공식은 점 및 이산 입자로 구성된 시스템에 적용됩니다. 그러나 대략 거시적 물체에서 발생하는 것처럼 연속적인 질량 분포를 갖는 강체로 확장할 수 있습니다.
이 경우 관성 모멘트 계산은 몸체를 작은 질량 요소(Δm i )로 나누고 각 요소는 회전축에서 거리 ri에 위치한 다음 이전 방정식을 적용하는 것으로 구성됩니다. 그러나 질량 요소의 크기를 무한소 요소 또는 질량 미분(dm)이 되는 한계까지 밀어붙이면 아래와 같이 합계가 적분이 됩니다.
이것은 모양이나 질량 분포에 관계없이 강체의 관성 모멘트를 찾는 일반적인 표현입니다. 대부분의 경우 적분을 수행하기 위해 질량 요소 dm은 체적 차이 dV를 곱한 물체의 밀도의 곱으로 대체됩니다 . 이렇게 하면 질량 분포가 균일하지 않더라도(위치에 따라 어떻게 달라지는지 알 수 있는 한) 강체의 전체 체적에 걸쳐 통합을 수행할 수 있습니다.
이 경우 관성 모멘트의 적분식은 다음과 같습니다.
다음으로 고리, 원기둥, 구 등과 같은 규칙적인 모양을 가진 서로 다른 강체에 대해 이전 표현을 통합한 결과를 제시합니다. 아래에 설명된 모든 경우에서 고려되는 신체의 치수와 질량은 통합 변수와 구별하기 위해 대문자로 표시됩니다.
중심축에 대한 반경 R의 얇고 균일한 링의 관성 모멘트에 대한 공식
이전 방정식을 적분할 때 가장 간단한 경우 중 하나는 대칭 중심을 중심으로 회전하는 균일한 링의 경우입니다. 다음 그림은 이 경우를 보여줍니다.
반지의 두께가 반지름에 비해 무시할 수 있는 특별한 경우에 두께 없이 원주를 따라 분포된 질량으로 간주할 수 있으므로 모든 질량 요소는 기본적으로 동일한 반지름에 있습니다. 이 경우, R. 이러한 조건이 주어지면 반지름은 적분을 떠나 미분 질량 dm의 적분만 남기고 이는 단순히 링의 질량 M입니다. 결과는 다음과 같습니다.
이 표현에서 CM은 질량 중심에 대한 관성 모멘트임을 나타냅니다.
중심을 중심으로 회전하는 반지름 R의 고체 구의 관성 모멘트 공식
반지름이 R이고 밀도가 균일한 고체 구가 아래에 표시된 것과 같이 직경(중심을 통과하는 축)을 중심으로 회전하는 경우 이전 적분은 여러 가지 방법으로 풀 수 있습니다. 구형 좌표계를 사용합니다.
이 경우 통합 결과는 다음과 같습니다.
중심에 대한 내부 반지름 R 1 및 외부 반지름 R 2 인 구형 쉘의 관성 모멘트 공식
단단한 구 대신 속이 빈 구 또는 벽이 두꺼운 구형 쉘인 경우 외부 및 내부의 두 반지름을 고려해야 합니다. 이는 다음 그림에 나와 있습니다.
이 경우 해결책은 반지름이 R1인 구가 중심에서 제거된 반지름이 R2인 구로 구형 쉘을 고려하는 것입니다. 큰 구의 질량과 원래 껍질의 밀도를 통해 빼낸 작은 구의 질량을 결정한 후 두 구의 관성을 빼서 다음을 얻습니다.
반지름이 R인 얇은 구형 쉘의 중심에 대한 관성 모멘트 공식
구형 껍질의 두께가 반지름에 비해 무시할 수 있는 경우 또는 R 1 이 실질적으로 R 2 와 같은 경우 관성 모멘트를 질량의 표면 분포인 것처럼 계산할 수 있습니다. 모두 중심에서 R 거리에 있습니다.
이 경우 두 가지 옵션이 있습니다. 첫 번째는 처음부터 적분을 해결하는 것입니다. 두 번째는 이전 결과인 두꺼운 구형 쉘의 결과를 취하여 R1이 R2가 될 때의 극한을 구하는 것입니다. 결과는 다음과 같습니다.
길이가 L인 가는 막대의 질량 중심을 통과하는 수직 축에 대한 관성 모멘트 공식
얇은 막대가 있는 경우 본질적으로 프로파일의 모양에 관계없이(즉, 원통형, 사각형 또는 다른 모양의 막대인지 여부에 관계없이) 질량의 선형 분포로 생각할 수 있습니다. 이 경우 중요한 것은 반죽이 막대의 길이를 따라 고르게 분포된다는 것입니다.
이 경우 관성 모멘트는 다음과 같이 표현됩니다.
한쪽 끝을 통과하는 수직 축에 대한 길이 L의 얇은 막대의 관성 모멘트 공식
이것은 위와 동일한 경우이지만 전체 막대가 한쪽 끝에서 수직인 축을 중심으로 회전합니다.
막대의 질량은 평균적으로 회전축에서 더 멀리 떨어져 있기 때문에 관성 모멘트가 더 커집니다. 실제로 다음 식과 같이 이전의 경우보다 4배 더 큽니다.
이 경우 축이 질량 중심을 통과하지 않으므로 관성 모멘트 기호의 CM 첨자가 생략되었습니다.
중심축에 대한 반지름이 R인 원통형 막대의 관성 모멘트 공식
이 경우는 원통 좌표계를 사용하고 원통이 길이는 같지만 반지름이 다른 동심 원통 쉘로 형성된 것처럼 고려하는 매우 간단한 방법으로 해결됩니다. 그런 다음 반경은 r = 0에서 r = R까지 적분됩니다.
이 프로세스의 결과는 다음과 같은 원통형 막대의 관성에 대한 공식입니다.
이 결과는 실린더의 길이에 의존하지 않으므로 원형 디스크의 경우에도 동일한 표현을 사용할 수 있습니다.
중심축에 대한 내부 반지름 R 1 및 외부 반지름 R 2 인 중공 실린더의 관성 모멘트 공식
이 경우는 두꺼운 구형 껍질의 경우와 유사합니다. 쉘의 두께 또는 외부 반지름과 내부 반지름의 차이가 반지름 자체와 같은 크기일 때 적용되므로 질량이 표면에 집중되어 있다고 생각할 수 없습니다. 반대로 쉘의 두께에 따른 질량의 3차원 분포임을 고려해야 합니다.
두꺼운 구형 쉘의 경우와 같이 내부 반지름이 R1이고 외부 반지름이 R2인 중공 실린더의 관성 모멘트 는 직접 적분 하거나 이 두 관성 각각에 대해 이전 섹션의 공식을 사용하여 쉘과 동일한 밀도를 갖는 솔리드 실린더의 관성 모멘트의 중앙 구멍을 열 때 인출된 실린더.
이 두 전략 중 하나의 결과는 동일하며 아래에 제시되어 있습니다.
앞의 경우와 같이 이 결과는 원통의 길이에 의존하지 않기 때문에 중앙에 구멍이 있는 원형 원판의 관성 모멘트를 계산하는 데 사용할 수 있습니다. 블루레이 디스크.
중심축에 대한 반지름이 R인 얇은 원통형 쉘의 관성 모멘트 공식
다음 그림과 같이 원통형 쉘의 두께가 원통의 반지름에 비해 매우 작은 속이 빈 원통이 있는 경우 질량은 반지름 R의 표면에만 분포한다고 가정할 수 있습니다. .
다른 경우와 마찬가지로 면적 질량 밀도를 사용하여 직접 적분을 수행하거나 R1이 R2로 경향이 있는 한계에서 두꺼운 원통형 쉘의 결과를 평가할 수 있습니다. 결과는 다음과 같습니다.
다시 우리는 이 결과가 길이와 무관하다는 것을 주목합니다. 이것은 얇은 후프에 동일하게 적용된다는 것을 의미합니다. 실제로 얇은 고리에 해당하는 구간에서 얻은 것과 같은 결과임을 확인할 수 있다.
중심을 통과하는 수직 축에 대한 정사각 판의 관성 모멘트 공식
마지막으로 아래에 표시된 것과 같이 표면에 수직인 축을 중심으로 회전하고 질량 중심을 통과하는 직사각형 플레이트의 경우를 고려하십시오.
직접 통합의 결과는 다음과 같습니다.
이전 사례에서와 같이 이 결과는 판의 높이나 두께와 무관하므로 단단한 시멘트 블록과 마찬가지로 종이에도 동일하게 적용됩니다.
참조
칸아카데미. (일차). 회전 관성(기사) . https://en.khanacademy.org/science/physics/torque-angular-momentum/torque-tutorial/a/rotational-inertia
원클래스. (2020년 10월 6일). OneClass: 막대의 관성 모멘트 공식으로 시작합니다 . https://oneclass.com/homework-help/physics/6942744-moment-of-inertia-bar.en.html
Serway, RA, Beichner, RJ, & Jewett, JW (1999). 현대 물리학과 과학자 및 엔지니어를 위한 물리학: 2: 제1권 (제5판). 맥그로 힐.
스냅솔브. (일차). 속이 빈 두꺼운 구형 쉘의 관성 모멘트 . https://www.snapsolve.com/solutions/Themoment-of-inertia-of-a-hollow-thick-spherical-shell-of-mass-M-and-its-inner-r-1681132593667073
