세 개의 주사위를 동시에 굴릴 때 가능한 결과는 무엇입니까?

동전과 주사위를 던지거나 상자에서 무작정 공을 꺼내는 것은 통계와 관련된 다양한 개념에 대한 이해를 테스트하기 위해 수행할 수 있는 가장 간단한 실험 중 일부입니다. 누구나 집에서 할 수 있는 쉬운 실험이며, 명확하고 모호하지 않은 결과를 제공하고 쉽게 수치 데이터로 변환할 수 있습니다.

주사위 던지기의 경우, 그것들과 확률 게임 사이에도 명확한 관계가 있습니다. 이는 많은 사람들의 일상 생활의 일부인 어떤 것, 또는 적어도 거의 모든 사람들이 우리 중 적어도 한 번은 그들의 삶에서 만났습니다.

세 개의 주사위를 동시에 굴리는 것은 우리가 다른 방식으로 해석할 수 있는 다른 유형의 결과를 생성할 수 있습니다. 개별 결과 자체에 관심을 가질 수도 있고, 합계의 값이나 주사위 사이에 나오는 짝수 또는 홀수 결과의 수 등에 관심을 가질 수도 있습니다. 세 가지 중 가장 일반적인 것은 세 개의 주사위 값의 합에 대한 결과에 관심을 갖는 것입니다. 다음 섹션에서는 세 개의 주사위를 동시에 굴릴 때 각 합의 발생 확률을 계산하는 방법을 살펴보겠습니다.

세 개의 주사위를 굴리기 위한 샘플 공간

단일 큐브 주사위를 굴리는 것은 가능한 결과가 6개뿐인 간단한 실험입니다. 즉, 주어진 결과 S ₁ = {1; 2; 삼; 4; 5; 6}.

두 개의 주사위를 동시에 굴릴 때 각 주사위의 결과가 서로 독립적이라고 가정할 수 있으므로 각 주사위는 이전 6개의 결과 중 하나를 얻을 수 있습니다. ^{결과적으로 한 다이의 6개 값과 다른 다이의 6개 값 사이의 모든 가능한 조합에 해당하는 6 2} = 36개의 가능한 결과가 제공될 수 있습니다 .

이 경우 _주어진 = {11; S 2의 표본 공간을 갖게 됩니다. 12; 13; 14; 열 다섯; 16; 이십 일; 22; 23; 24; 25; 26; …; 61; 62; 63; 64; 65; 66}. 이 36개의 결과 중에서 고유한 조합의 수(순서를 고려하지 않음)는 n = 2의 그룹(던지는 두 개의 주사위)을 선택하고 m = 6개의 가능한 결과를 갖는 반복 조합을 통해 계산할 수 있습니다. :

이 21개의 결과는 {11; 12; 13; 14; 열 다섯; 16; 22; 23; 24; 25; 26; 33; 3. 4; 35; 36; 44; 넷 다섯; 46; 55; 56; 66}. 이러한 각 결과의 확률은 1/36에 각 숫자의 숫자로 만들 수 있는 서로 다른 순열의 수를 곱한 것과 같습니다(11, 22 등과 같이 숫자가 반복되면 1, 12 또는 21, 13 또는 31 등을 가질 수 있으므로 숫자는 반복되지 않습니다.)

3개의 주사위를 굴리는 경우 표본 공간에서 가능한 결과의 총 수는 6 ³ = 216으로 제공됩니다. 이러한 결과는 S _{3 dice} = {111; 112; 113; 114; 115; 116; 121; …; 126; 131; …; 136; …; 166; 211; 212; …; 656; 666}. 이 경우 개별 결과의 확률은 1/216이어야 합니다.

세 개의 주사위를 굴릴 때 개별 결과의 확률

이제 주사위 3개를 던질 때 가능한 모든 결과의 표본 공간을 잘 정의했으므로 얻을 수 있는 서로 다른 결과 각각의 확률을 계산하는 방법을 살펴보겠습니다.

3개의 주사위를 던진 경우 결과가 나오는 순서가 무의미하다는 점을 고려하면 216개의 결과 중 많은 수가 실제로 반복될 것입니다. 고유한 결과의 총 수는 각각 6개의 옵션과 반복 가능성이 있는 3개 그룹의 조합으로 다시 계산할 수 있습니다.

이 56개의 결과 중 세 개의 동일한 숫자(AAA라고 하자)로 구성된 결과는 한 번만 발생합니다. 반면에 두 개의 동일한 숫자와 하나의 다른 숫자(AAB)가 있는 것은 각각 3회 반복됩니다(순열 AAB, ABA 및 BAA에 해당). 드디어 3개의 다른 도형(ABC)을 가지신 분들이 등장하실 3! = 6회(ABC, ACB, BAC, BCA, CAB 및 CBA).

이 정보와 가능한 결과의 총 수(216)에서 각 결과의 확률을 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

결과에 따라 1, 2 또는 3개의 다른 숫자가 있습니다. 56개의 가능한 결과와 그 확률은 다음 표에 나와 있습니다.

세 개의 주사위를 굴렸을 때 합계의 확률

앞에서 언급했듯이 주사위를 굴릴 때 각 앞면이 나오는 특정 숫자보다 더 중요한 결과는 주사위의 합입니다. 세 개의 주사위를 굴려 합을 구하는 실험에서 표본 공간은 1부터 6까지 세 숫자 사이의 가능한 모든 합으로 구성된다.

이 합계에서 나올 수 있는 가장 작은 값은 3개의 주사위가 1에 도달하여 합계가 1+1+1 = 3이 되는 반면 최대값은 6+6+6 = 18에 해당하며 가능성이 있습니다. 중간 금액을 얻는 것. 따라서 이 실험의 표본 공간은 다음과 같습니다.

에스 = {3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 열하나; 12; 13; 14; 열 다섯; 16; 17; 18}

테이블의 마지막 열에는 각 고유 조합의 모든 순열에서 얻은 등가 결과를 포함하여 각 합계가 제공하는 총 결과 수가 표시됩니다. 예를 들어 합이 15인 경우 주사위 굴림은 366, 356 또는 555여야 합니다. 그러나 366의 순열은 3개(366, 636 및 663)와 356의 순열은 6개(356, 365, 536, 563, 635 및 653) 및 555개 중 하나이므로 15와 동일한 가능한 결과의 총 수는 10입니다.

이전 표를 사용하여 세 개의 주사위를 던질 때 각 합계의 확률을 두 가지 방법으로 계산하는 연습을 할 수 있습니다. 아래에 자세히 설명되어 있습니다.

전략 1: 각 고유한 결과의 확률 사용

첫 번째 전략은 각 합계가 제공할 수 있는 모든 고유한 결과의 확률을 추가하는 것입니다. 여기에는 세 번째 열의 고유한 결과와 위에 제시된 각 결과의 각각의 확률을 사용하는 것이 포함됩니다.

예

세 개의 주사위의 합이 11(즉, P(11))일 확률을 계산한다고 가정합니다. 이 경우 총 11을 제공하는 6개의 고유한 조합(순서에 관계없이)이 있습니다. 이 결과는 다음과 같습니다(위 표의 세 번째 열에 따름). {146; 155; 236; 245; 335; 344}.

각 결과의 확률은 이전 섹션에서 설명한 대로 각 경우에 가능한 순열의 총 수에 따라 결정됩니다. 이 경우:

따라서 합계의 결과가 11일 확률은 다음과 같습니다.

마찬가지로 합계가 16일 확률을 원하면 결과는 466과 556의 확률의 합이 되며 둘 다 1/72이므로 확률은 다음과 같습니다.

전략 2: 각 합계에 해당하는 총 결과 수 사용

이 경우 순열을 포함하여 각 합계에 대해 가능한 모든 결과 목록이 있는 한 더 간단한 경로가 사용됩니다. 그런 다음 각 합계의 확률은 단순히 합계에 대한 총 결과 수를 가능한 결과의 총 수(216)로 나눈 값입니다.

예

합계 = 11인 경우 해당 합계를 제공하는 가능한 결과의 총 수는 27(이전 표의 세 번째 열 참조)이므로 합계 11이 될 확률은 다음과 같습니다.

보시다시피 결과는 이전과 동일하며 이미 구축된 이전 테이블과 같은 테이블이 있는 경우 매우 간단합니다. 그러나 가능한 결과가 더 복잡한 경우(예: 주사위 4개, 5개 또는 4개 굴림)에는 이 전략이 덜 편리하고 전자가 더 실용적일 수 있습니다.

참조

Graffe, S. (2021년 9월 21일). 주사위 3개를 굴렸을 때 합이 7이 될 확률은? 쿼라. https://en.quora.com/What%C3%A9-probabilidad-hay-que-al-lanzar-tres-dados-salga-una-sumatoria-de-7

Montagud Rubio, N. (2022년 3월 17일). 계산 기술: 유형, 사용 방법 및 예 . 심리학과 마음. https://psicologiaymente.com/miscelanea/tecnicas-de-conteo

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Valdés Gómez, J. (2016년 11월 23일). 반복과의 조합 . 유튜브. https://www.youtube.com/watch?v=WqHZx64RW-Q