룰렛에서 예상 가치를 계산하는 방법

확률에서 랜덤 변수의 기대값은 변수가 발생하는 많은 횟수의 평균값을 의미합니다 . 확률 변수의 가능한 모든 값의 가중 평균으로 계산되며, 여기서 가중 요소는 각 값이 발생할 확률에 지나지 않습니다.

확률은 확률 게임 분야에서 매우 중요한 연구 영역이며, 그 중 룰렛은 가장 인기 있고 이해하기 쉬운 것 중 하나입니다.

룰렛이란 무엇이며 어떻게 플레이하나요?

전형적인 미국식 룰렛 휠은 1에서 36까지 레이블이 지정된 일련의 슬롯이 있는 휠로 구성되며, 그 중 18개는 검은색이고 나머지 18개는 빨간색입니다. 또한 각각 숫자 0과 00으로 식별되는 바퀴의 반대쪽 끝에 위치한 두 개의 녹색 셀 또는 슬롯이 있어 총 38개의 셀이 있습니다.

프렌치 룰렛도 있는데 00 상자가 없어서 총 37개의 상자가 있습니다.

이 게임은 작은 공을 반대 방향으로 던지는 동안 바퀴를 돌리는 것으로 구성됩니다. 스피너와 공의 속도가 느려지면 공은 결국 37개 또는 38개의 포켓이나 슬롯 중 하나에 떨어지게 됩니다. 공이 정지하기 전에 참가자는 다양한 유형의 베팅을 할 수 있습니다. 가능한 베팅 중 일부는 다음과 같습니다.

• 특정 숫자에 베팅(보통 35:1 지급)
• 인접한 두 숫자에 베팅(일반적으로 17:1 지급)
• 레드 또는 블랙에 베팅(보통 1:1 지급)
• 홀수 또는 짝수(보통 1:1 지급)
• 낮거나 높은 배팅, 즉 처음 18개 숫자(1에서 18까지) 또는 마지막 18개(19에서 36까지)(일반적으로 1:1 지급)
• First Dozen(1-12)(보통 2:1 지급)
• 두 번째 다스(13시부터 24시까지)(보통 2:1 지불)
• 셋째 다스(25에서 36까지)(보통 2:1 지불)

보시다시피 이러한 각 베팅은 발생 확률에 따라 특정 지불금을 제공합니다.

다음으로, 우리는 미국식 룰렛 휠에서 할 수 있는 다양한 유형의 베팅에 따라 상금의 예상 가치를 계산할 것입니다. 여기에서 얻은 결과는 모든 확률의 분모에서 가능한 결과의 총 수를 간단히 변경하여 프렌치 룰렛으로 쉽게 외삽됩니다.

모든 경우에, 숫자 값이 다른 통화로 이월될 수 있지만, 우리는 우리가 베팅하는 모든 달러에 대한 승리의 예상 가치를 결정할 것입니다. 또한 이 예상 값에 실제 베팅 금액을 곱하면 해당 베팅의 예상 금액이 산출됩니다. 따라서 1달러를 베팅하는 대신 100달러를 베팅했다면 1달러 베팅의 예상 가치에 100을 곱하기만 하면 됩니다.

룰렛 베팅의 예상 가치를 계산하는 공식

우리가 결정하고자 하는 기대값의 랜덤 변수는 동일한 룰렛 베팅을 여러 번 할 경우 평균적으로 얻을 수 있는 금액입니다. 내기를 할 때 우리는 가능한 결과가 두 가지뿐인 실험을 수행하고 있습니다. 이기거나 지는 것입니다. 우리의 베팅과 일치하는 상자에 공이 들어가면 이기고 그렇지 않으면 지게 됩니다.

X를 베팅 으로 얻은 이익(우리의 랜덤 변수), p를 성공 확률, x _1을 이기면 얻을 수 있는 이익, q 를 실패 확률, x _2를 다음과 같은 경우 얻게 될 이익(또는 손실)이라고 하면 우리가 지면 베팅의 예상 가치를 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

이제 우리가 할 수 있는 다양한 내기에 이 공식을 적용하는 방법을 살펴보겠습니다.

룰렛에서 특정 숫자에 대한 베팅의 기대값

특정 숫자(0, 00, 1, 2, 3, …)에 1달러를 걸었다고 가정합니다.

우리가 이기면 이 내기에 대한 지불금은 35 대 1입니다. 즉, 우리가 $1를 걸 때마다 $35를 받고 $1를 베팅하게 됩니다. 그런 다음 성공할 경우 임의 변수의 값(x ₁ )은 순이익이므로 이 경우 +$35가 될 것이라고 말할 것입니다. 성공 확률(p)은 1/38입니다. 왜냐하면 공이 떨어질 수 있는 사각형은 총 38개이고 우리가 이길 수 있는 사각형은 1개뿐이기 때문입니다.

반면에 공이 다른 번호에 떨어지면 우리는 내기에서 지고, 이 경우 하우스는 우리가 내기한 $1을 유지합니다. 따라서 실제로 돈을 잃기 때문에 “이익”은 -$1이 됩니다. 잃을 확률(q)은 37/38입니다. 우리가 베팅한 숫자 이외의 상자는 우리를 잃게 만들 것이기 ​​때문입니다. 이 데이터를 사용하여 공식을 적용하고 이 베팅의 예상 가치를 결정할 수 있습니다.

다시 말해, 룰렛에서 특정 숫자에 대한 베팅의 예상 가치는 우리가 베팅한 1달러당 5.3센트의 손실입니다.

인접한 두 숫자에 대한 베팅의 기대값

2와 3 또는 17과 20(수직으로 인접한)과 같이 인접한 두 숫자 사이에 칩을 배치하여 1달러를 걸었다고 가정합니다.

이 내기에 대한 지불금은 이전 것과 달리 17대 1입니다. 즉, $1를 걸 때마다 $17를 돌려받고 $1를 돌려받습니다. 이 경우 승리는 +$17이고 성공 확률(p)은 2/38이 될 것입니다. 왜냐하면 총 38개의 셀이 여전히 동일한 상태에서 우리를 이길 수 있는 두 개의 숫자가 있기 때문입니다.

반면에 지면 우리가 베팅한 것과 동일한 $1을 다시 잃게 되지만 잃을 확률(q)은 이제 36/38입니다. 이 베팅의 예상 가치는 다음과 같습니다.

다시 말하지만, 룰렛에서 인접한 숫자 쌍에 여러 번 베팅하면 평균적으로 우리가 베팅한 1달러당 5.3센트를 잃을 것으로 예상됩니다.

수십 배팅의 기대 가치

우리가 룰렛에서 할 수 있는 6가지 다른 내기가 있으며 여기에는 12가지 가능한 유리한 결과가 포함됩니다. 그 중 3개는 첫 번째, 두 번째 또는 세 번째 다스 숫자(0 또는 00 제외)에 대한 베팅으로 구성되고 나머지 세 개는 룰렛 테이블에 숫자가 배열된 세 개의 열 중 하나에 대한 베팅으로 구성됩니다.

이 베팅에 대한 지불금은 2대 1입니다. 즉, 베팅한 $1당 $2를 얻고 $1을 돌려받습니다. 12개의 서로 다른 숫자가 담긴 바스켓에 베팅하고 있기 때문에 성공 확률은 12/38입니다. 마지막으로 실패 확률은 26/38이며 $1의 동일한 손실(또는 –$1의 이익, 이는 동일한 것)입니다.

이 경우 임의 변수의 예상 값은 다음과 같습니다.

빨간색 또는 검은색, 짝수 또는 홀수 또는 낮거나 높은 베팅의 예상 값

마지막으로, 룰렛에서 동일한 성공 확률과 승리 시 동일한 지불금, 동일한 실패 확률 및 패배 시 동일한 손실을 나타내는 6가지 다른 베팅이 있습니다. 우리는 모두에 대해 동일한 방식으로 그들의 기대 가치를 계산할 것입니다. 이 베팅은 다음과 같습니다.

• 빨간색에 베팅하십시오.
• 블랙에 내기
• 짝수에 베팅
• 홀수에 베팅
• 하위 18개 숫자(1에서 18까지의 숫자)에 베팅
• 높은 18개의 숫자(19에서 36까지의 숫자)에 베팅

그들은 매우 다른 베팅처럼 보이지만 실제로는 정확히 동일합니다. 그들 모두 $1를 베팅할 때마다 $1를 지불하고 $1을 반환하므로 모두 +$1의 수익을 얻습니다.

게다가, 그것들은 모두 같은 성공 확률을 가지고 있습니다. 예를 들어, 1에서 36까지의 숫자 중 절반은 빨간색으로 식별되고 나머지 절반은 검은색으로 식별되므로 빨간색 또는 검은색이 나올 확률은 18/38입니다(0과 00은 녹색이므로 총 38개의 가능한 결과를 완성합니다.

홀수와 짝수는 연속된 수가 36개이므로 절반은 짝수(2, 4, 6, 8, 10, 12, ,…,34, 36)이고 나머지 절반은 홀수(1, 3, 5, 7, 9, 11, …,33 및 35). 0은 짝수나 홀수로 간주되지 않으므로 0과 00 상자는 두 결과 중 하나에 속하지 않는다는 점을 기억해야 합니다.

마지막으로 18개의 낮은 숫자와 18개의 높은 숫자가 있으므로 하나의 결과를 얻을 확률도 18/38입니다.

반면에 이 모든 경우의 실패에는 베팅에서 계산되지 않은 숫자의 나머지 절반과 0과 00이 포함되므로 총 20개의 불리한 결과가 발생할 수 있습니다. 이것은 20/38의 실패 확률을 의미합니다.

이러한 베팅의 예상 가치는 다음과 같습니다.

이 결과는 어떻게 해석됩니까?

이 결과는 예를 들어 카지노에 들어가 21에 1달러를 걸면 0.053달러를 잃는다는 의미는 아닙니다. 실제로 한 번만 플레이하면 집에 1달러 덜 가거나 35달러 더 가게 됩니다.

이 결과가 의미하는 바는 우리가 룰렛에 여러 번 베팅하고 항상 단일 번호에 베팅하면 때때로 $35를 따고 다른 경우에는 $1를 잃지만 평균적으로 베팅한 1달러당 $0.053를 잃게 된다는 것입니다.

이 결과는 카지노가 가끔 운이 좋은 도박꾼에게 잭팟을 지불하더라도 결국에는 그들이 잃은 모든 것, 그 이상을 얻게 된다는 사실을 언급하는 “은행은 항상 이깁니다”라는 속담을 확인시켜 줍니다. 참가자가지는 모든 작은 내기.

참조

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